中3数学 2学期の計算 第15回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-6-12\div3$
答え $-10$
\begin{eqnarray*} &&-6-12\div3\\ &=&-6-4\\ &=&-10 \end{eqnarray*}② $(-3)^2\times5+(-4^2)\div(-2)$
答え $53$
\begin{eqnarray*} &&(-3)^2\times5+(-4^2)\div(-2)\\ &=&9\times5-16\div(-2)\\ &=&45+8\\ &=&53 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{12}{5}+\cfrac{12}{13}\div\left(-\cfrac{16}{39}\right)$
答え $\cfrac{3}{20}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{12}{5}+\cfrac{12}{13}\div\left(-\cfrac{16}{39}\right)\\ &=&\cfrac{12}{5}+\cfrac{12}{13}\times\left(-\cfrac{39}{16}\right)\\ &=&\cfrac{12}{5}-\cfrac{9}{4}\\ &=&\cfrac{48}{20}-\cfrac{45}{20}\\ &=&\cfrac{3}{20} \end{eqnarray*}④ $\cfrac{6}{7}(28x-42)-\cfrac{5}{8}(16x-48)$
答え $14x-6$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{6}{7}(28x-42)-\cfrac{5}{8}(16x-48)\\ &=&24x-36-10x+30\\ &=&14x-6 \end{eqnarray*}⑤ $(72x^2y-90xy^2)\div\left(-\cfrac{18}{7}xy\right)$
答え $-28x+35y$
\begin{eqnarray*} &&(72x^2y-90xy^2)\div\left(-\cfrac{18}{7}xy\right)\\ &=&(72x^2y-90xy^2)\times\left(-\cfrac{7}{18xy}\right)\\ &=&72x^2y\times\left(-\cfrac{7}{18xy}\right)-90xy^2\times\left(-\cfrac{7}{18xy}\right)\\ &=&-28x+35y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{2x+3y}{8}-\cfrac{x+y}{3}$
答え $\cfrac{-2x+y}{24}\\\quad\left(-\cfrac{2x-y}{24},-\cfrac{1}{12}x+\cfrac{1}{24}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x+3y}{8}-\cfrac{x+y}{3}\\ &=&\cfrac{3(2x+3y)-8(x+y)}{24}\\ &=&\cfrac{6x+9y-8x-8y}{24}\\ &=&\cfrac{-2x+y}{24} \end{eqnarray*}⑦ $(x-4)(x-6)$
答え $x^2-10x+24$
⑧ $\left(0.2x-0.1y\right)^2$
答え $0.04x^2-0.04xy+0.01y^2$
⑨ $\left(\cfrac{15}{16}a+\cfrac{17}{18}b\right)\left(\cfrac{15}{16}a-\cfrac{17}{18}b\right)$
答え $\cfrac{225}{256}a^2-\cfrac{289}{324}b^2$
⑩ $-2(x+6)^2-(x+1)(3x-2)$
答え $-5x^2-25x-70$
\begin{eqnarray*} &&-2(x+6)^2-(x+1)(3x-2)\\ &=&-2(x^2+12x+36)-(3x^2-2x+3x-2)\\ &=&-2x^2-24x-72-(3x^2+x-2)\\ &=&-2x^2-24x-72-3x^2-x+2\\ &=&-5x^2-25x-70 \end{eqnarray*}⑪ $-18\sqrt{2}\div4\sqrt{3}+\sqrt{3}\times\sqrt{32}$
答え $\cfrac{5\sqrt{6}}{2}$
\begin{eqnarray*} &&-18\sqrt{2}\div4\sqrt{3}+\sqrt{3}\times\sqrt{32}\\ &=&-\cfrac{18\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}+\sqrt{3}\times4\sqrt{2}\\ &=&-\cfrac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}+4\sqrt{6}\\ &=&-\cfrac{9\sqrt{6}}{6}+4\sqrt{6}\\ &=&-\cfrac{3\sqrt{6}}{2}+4\sqrt{6}\\ &=&-\cfrac{3\sqrt{6}}{2}+\cfrac{8\sqrt{6}}{2}\\ &=&\cfrac{5\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}⑫ $-\sqrt{3}\div(-6\sqrt{66})\times4\sqrt{11}$
答え $\cfrac{\sqrt{2}}{3}$
\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{3}\div(-6\sqrt{66})\times4\sqrt{11}\\ &=&\cfrac{\sqrt{3}\times4\sqrt{11}}{6\sqrt{66}}\\ &=&\cfrac{2}{3\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{2}}{6}\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}}{3} \end{eqnarray*}⑬ $\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{10}\right)^2$
答え $85-60\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{10}\right)^2\\ &=&45-12\sqrt{50}+40\\ &=&85-60\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $9m^2n-6mn^2+3mn$
答え $3mn(3m-2n+1)$
② $x^2-15x-54$
答え $(x-18)(x+3)$
③ $x^2-12xy+36y^2$
答え $\left(x-6y\right)^2$
④ $a^2b^2-\cfrac{144}{121}$
答え $\left(ab+\cfrac{12}{11}\right)\left(ab-\cfrac{12}{11}\right)$
⑤ $36x^2-9y^2$
答え $9(2x+y)(2x-y)$
\begin{eqnarray*} &&36x^2-9y^2\\ &=&9(4x^2-y^2)\\ &=&9(2x+y)(2x-y) \end{eqnarray*}① $-\cfrac{7x}{8}-2=-\cfrac{x+18}{8}$
答え $x=\cfrac{1}{3}$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{7x}{8}-2&=&-\cfrac{x+18}{8}\quad(\times8) \\ -7x-16&=&-x-18 \\ -7x+x&=&-18+16\\ -6x&=&-2 \\ x&=&\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 0.3x-0.7y=3\\ 5(x+y)=3y+9 \end{array}\right.$
答え $x=3,y=-3$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 0.3x-0.7y=3\qquad…①\\ 5(x+y)=3y+9\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times10$ \begin{eqnarray*} 0.3x-0.7y&=&3\quad(\times10)\\ 3x-7y&=&30\qquad…③ \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 5(x+y)&=&3y+9\\ 5x+5y&=&3y+9\\ 5x+2y&=&9\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times2+④\times7$ \begin{eqnarray*} 6x-14y=\phantom{1}60\\ \underline{+) \quad 35x+14y=\phantom{1}63} \\ 41x\phantom{+112y}=123\\ x=3\phantom{28} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=3を④に代入\\ 5\times3+2y&=&9\\ 15+2y&=&9\\ 2y&=&9-15\\ 2y&=&-6\\ y&=&-3\\ \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $(x-8)(x-3)=84$
答え $x=15 ,\ x=-4$
\begin{eqnarray*} (x-8)(x-3)&=&84\\ x^2-11x+24&=&84\\ x^2-11x+24-84&=&0\\ x^2-11x-60&=&0 \\ (x-15)(x+4)&=&0\\ x&=&15,\ x=-4 \end{eqnarray*}④ $\cfrac{3}{2}x^2-4=0$
答え $x=\pm\cfrac{2\sqrt{6}}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{2}x^2-4&=&0 \quad\left(両辺に\times2\right)\\ 3x^2-8&=&0 \\ 3x^2&=&8\\ x^2&=&\cfrac{8}{3}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{8}{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\pm\cfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\pm\cfrac{2\sqrt{6}}{3} \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{3}{2}x^2=-4x$
答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{8}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{2}x^2&=&-4x\\ \cfrac{3}{2}x^2+4x&=&0\qquad\left(両辺に\times2\right)\\ 3x^2+8x&=&0\\ x(3x+8)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=-\cfrac{8}{3} \end{eqnarray*}⑥ $(7x+6)^2=x^2+12x+9$
答え $x=-\cfrac{3}{4}$
\begin{eqnarray*} (7x+6)^2&=&x^2+12x+9\\ 49x^2+84x+36&=&x^2+12x+9\\ 49x^2+84x+36&-&x^2-12x-9=0\\ 48x^2+72x+27&=&0\quad\left(両辺を3で割る\right)\\ 16x^2+24x+9&=&0\\ (4x+3)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{3}{4} \end{eqnarray*}⑦ $(x+6)^2=9$
答え $x=-3, \ x=-9$
\begin{eqnarray*} (x+6)^2&=&9\\ x+6&=&\pm\sqrt{9}\\ x+6&=&\pm3\\ x&=&-6\pm3\\ x&=&-3, \ x=-9 \end{eqnarray*}⑧ $x^2-2x-1=0$
答え $x=1\pm\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} x^2&-&2x-1=0\\ x&=&\cfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times1\times(-1)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm2\sqrt{2}}{2}\\ &=&1\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=-\cfrac{14x-7}{15}\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-15y+7}{14}\\\left(x=-\cfrac{15y-7}{14},-\cfrac{15}{14}y+\cfrac{1}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{14x-7}{15}\quad[x]\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ -\cfrac{14x-7}{15}&=&y\quad(両辺に\times15)\\ -14x+7&=&15y\quad(両辺に\times-1)\\ 14x-7&=&-15y\\ 14x&=&-15y+7\\ x&=&\cfrac{-15y+7}{14} \end{eqnarray*}$a=3-\sqrt{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$a^2-3a$
答え $-3\sqrt{2}+2$
\begin{eqnarray*} &&a^2-3a\\ &=&a(a-3)\\ &=&(3-\sqrt{2})(3-\sqrt{2}-3)\\ &=&(3-\sqrt{2})\times(-\sqrt{2})\\ &=&-3\sqrt{2}+2 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます。 \begin{eqnarray*} &&a^2-3a\\ &=&(3-\sqrt{2})^2-3(3-\sqrt{2})\\ &=&9-6\sqrt{2}+2-9+3\sqrt{2}\\ &=&-3\sqrt{2}+2 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-\cfrac{12}{5}$ のとき、$y=-\cfrac{3}{25}$ である。$x=15$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{3}{4}$
比例の式の形は $y=ax$ \begin{eqnarray*} y&=&axに\ x=-\cfrac{12}{5}, \ y=-\cfrac{3}{25}\ を代入する\\ -\cfrac{3}{25}&=&-\cfrac{12}{5}a\quad(両辺に\times25)\\ -3&=&-60a\\ \cfrac{3}{60}=&a\\ \cfrac{1}{20}=&a\\ y&=&\cfrac{1}{20}x \ に \ x=15 \ を代入する\\ y&=&\cfrac{1}{20}\times15=\cfrac{3}{4} \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=70$ のとき、$y=-\cfrac{3}{14}$ である。$x=3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-5$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=70\times\left(-\cfrac{3}{14}\right)=-15\\ y=-\cfrac{15}{x}\ に\ x=3\ を代入する\\ y=-\cfrac{15}{3}=-5$$⑤ $2$ 点 $(-3, \ 7), \ (-2, \ 4)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-3x-2$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{4-7}{-2-(-3)}=\cfrac{-3}{1}=-3\\ \\ y&=&-3x+bに x=-3, \ y=7 を代入する\\ 7&=&-3\times(-3)+b\\ 7&=&9+b\\ -2&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-\cfrac{1}{2}$ のとき、$y=-8$ である。$x=6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-1152$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ \begin{eqnarray*} y&=&ax^2に\ x=-\cfrac{1}{2}, \ y=-8\ を代入する\\ -8&=&a\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)^2\\ -8&=&\cfrac{1}{4}a\quad(両辺に\times4)\\ -32&=&a\\ \\ y&=&-32x^2 \ に \ x=-6 \ を代入する\\ y&=&-32\times(-6)^2=-32\times36=-1152 \end{eqnarray*}⑦ 下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
答え 放物線…$y=-\cfrac{2}{5}x^2$
点 $Q$ の座標…$\left(-3, \ -\cfrac{18}{5}\right)$
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P\left(4, \ -\cfrac{32}{5}\right)$ だから、 \begin{eqnarray*} y=ax^2&に&\ x=4, \ y=-\cfrac{32}{5}\ を代入する\\ -\cfrac{32}{5}&=&a\times4^2\\ -\cfrac{32}{5}&=&16a\quad(両辺に\times5)\\ -32&=&80a\\ -\cfrac{32}{80}&=&a\\ -\cfrac{2}{5}&=&a\\ \end{eqnarray*} ＜点 $Q$ の座標＞
$x$ 座標は $-3$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=-\cfrac{2}{5}x^2$ に $x=-3$ を代入
$ y=-\cfrac{2}{5}\times(-3)^2=-\cfrac{18}{5} $
⑧ 袋の中に赤玉が $2$ 個と白玉が $3$ 個はいっている。袋の中から玉を $2$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の色がちがっている確率を求めなさい。
答え $\cfrac{3}{5}$
①，②，③，④，⑤と、$5$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②が赤玉、③と④と⑤が白玉ということにします。①②③④⑤という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を同時に取り出す」ときは、同じ玉を取り出せないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{12}{20}=\cfrac{3}{5}$$
⑨ $2$ 個のサイコロを投げるとき、出る目の和が $4$ の倍数になる確率を求めなさい。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-10②53③\cfrac{3}{20}④14x-6 ⑤-28x+35y\\ ⑥\cfrac{-2x+y}{24}\quad\left(-\cfrac{2x-y}{24},-\cfrac{1}{12}x+\cfrac{1}{24}yも可\right)\\ ⑦x^2-10x+24 ⑧0.04x^2-0.04xy+0.01y^2\\ ⑨\cfrac{225}{256}a^2-\cfrac{289}{324}b^2 ⑩-5x^2-25x-70\\ ⑪\cfrac{5\sqrt{6}}{2}⑫\cfrac{\sqrt{2}}{3}⑬85-60\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①3mn(3m-2n+1)②(x-18)(x+3)\\ ③\left(x-6y\right)^2④\left(ab+\cfrac{12}{11}\right)\left(ab-\cfrac{12}{11}\right)\\ ⑤9(2x+y)(2x-y)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{1}{3}②x=3,y=-3\\ ③x=15,x=-4④x=\pm\cfrac{2\sqrt{6}}{3}⑤x=0,x=-\cfrac{8}{3}\\ ⑥x=-\cfrac{3}{4}⑦x=-3,x=-9⑧x=1\pm\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-15y+7}{14}\left(x=-\cfrac{15y-7}{14},-\cfrac{15}{14}y+\cfrac{1}{2}も可\right)\\ ②-3\sqrt{2}+2③y=\cfrac{3}{4}④y=-5 ⑤y=-3x-2⑥y=-1152\\ ⑦放物線…y=-\cfrac{2}{5}x^2，Ｑの座標\left(-3,-\cfrac{18}{5}\right)\\ ⑧\cfrac{3}{5}⑨\cfrac{1}{4} $