中3数学 3学期の計算 第2回 全33問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-6-3$
答え $-9$
② $-4\times(-3)^2-(-2^2)\times3$
答え $-24$
\begin{eqnarray*} &&-4\times(-3)^2-(-2^2)\times3\\ &=&-4\times9-(-4)\times3\\ &=&-36+12\\ &=&-24 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{3}{4}-\cfrac{1}{2}\div\cfrac{5}{12}$
答え $-\cfrac{9}{20}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3}{4}-\cfrac{1}{2}\div\cfrac{5}{12}\\ &=&\cfrac{3}{4}-\cfrac{1}{2}\times\cfrac{12}{5}\\ &=&\cfrac{3}{4}-\cfrac{6}{5}\\ &=&\cfrac{15}{20}-\cfrac{24}{20}\\ &=&-\cfrac{9}{20} \end{eqnarray*}④ $-3(x-5)+2(2x-4)$
答え $x+7$
\begin{eqnarray*} &&-3(x-5)+2(2x-4)\\ &=&-3x+15+4x-8\\ &=&x+7 \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{x-2y}{4}-\cfrac{2x-y}{3}$
答え $\cfrac{-5x-2y}{12}\\\quad\left(-\cfrac{5x+2y}{12},-\cfrac{5}{12}x-\cfrac{1}{6}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-2y}{4}-\cfrac{2x-y}{3}\\ &=&\cfrac{3(x-2y)-4(2x-y)}{12}\\ &=&\cfrac{3x-6y-8x+4y}{12}\\ &=&\cfrac{-5x-2y}{12} \end{eqnarray*}⑥ $2(x+4)(x+3)-(x+5)^2$
答え $x^2+4x-1$
\begin{eqnarray*} &&2(x+4)(x+3)-(x+5)^2\\ &=&2(x^2+7x+12)-(x^2+10x+25)\\ &=&2x^2+14x+24-x^2-10x-25\\ &=&x^2+4x-1 \end{eqnarray*}⑦ $-\cfrac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{2}\times\sqrt{6}$
答え $\cfrac{4\sqrt{3}}{3}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{2}\times\sqrt{6}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}+\sqrt{12}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}+\cfrac{6\sqrt{3}}{3}\\ &=&\cfrac{4\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}① $8p^2q-12pq^2-4pq$
答え $4pq(2p-3q-1)$
② $x^2-10x-24$
答え $(x+2)(x-12)$
③ $x^2-6xy+9y^2$
答え $(x-3y)^2$
④ $\cfrac{1}{16}x^2-\cfrac{1}{25}y^2$
答え $\left(\cfrac{1}{4}x+\cfrac{1}{5}y\right)\left(\cfrac{1}{4}x-\cfrac{1}{5}y\right)$
⑤ $16x^2-4$
答え $4(2x+1)(2x-1)$
\begin{eqnarray*} &&16x^2-4\\ &=&4(4x^2-1)\\ &=&4(2x+1)(2x-1) \end{eqnarray*}① $\cfrac{2}{5}x-\cfrac{3}{4}=-\cfrac{1}{10}x+1$
答え $x=\cfrac{7}{2}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{2}{5}x-\cfrac{3}{4}&=&-\cfrac{1}{10}x+1\quad(\times20) \\ 8x-15&=&-2x+20 \\ 8x+2x&=&20+15\\ 10x&=&35 \\ x&=&\cfrac{35}{10}=\cfrac{7}{2} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 2x-5y=-4\\ 3(x-4y)=y+5 \end{array}\right.$
答え $x=-7,y=-2$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 2x-5y=-4\qquad…①\\ 3(x-4y)=y+5\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 3(x-4y)&=&y+5\\ 3x-12y&=&y+5\\ 3x-12y-y&=&5\\ 3x-13y&=&5\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times3-③\times2$ \begin{eqnarray*} 6x-15y=-12\\ \underline{-) \quad 6x-26y=\phantom{-}10} \\ 11y=-22 \\ y=-2\phantom{1} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-2を①に代入\\ 2x-5\times(-2)&=&-4\\ 2x+10&=&-4\\ 2x&=&-4-10\\ 2x&=&-14\\ x&=&-7 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-7\\ y=-2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $ 3x-4y=5x+2y+6=17 $
答え $x=3,y=-2$
$3x-4y=5x+2y+6=17$ のまんなかを隠した式をつくり、①とする。左側を隠した式をつくり、②とする。
①と②を連立方程式として解く。 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x-4y=17\qquad…①\\ 5x+2y+6=17\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 5x+2y+6&=&17\\ 5x+2y&=&17-6\\ 5x+2y&=&11\qquad…③ \end{eqnarray*} $①+②\times2$ \begin{eqnarray*} \phantom{1}3x-4y=17\\ \underline{+) \quad 10x+4y=22} \\ 13x\phantom{-14y}=39 \\ x=3\phantom{1} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=3を①に代入\\ 3\times3-4y&=&17\\ 9-4y&=&17\\ -4y&=&17-9\\ -4y&=&8\\ y&=&-2 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}
④ $x^2-15x+36=0$
答え $x=12 ,\ x=3$
\begin{eqnarray*} x^2-15x+36&=&0 \\ (x-12)(x-3)&=&0\\ x&=&12,\ x=3 \end{eqnarray*}⑤ $16x^2-6=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{4}$
\begin{eqnarray*} 16x^2-6&=&0 \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{2}\right)\\ 8x^2-3&=&0\\ 8x^2&=&3\\ x^2&=&\cfrac{3}{8}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{3}{8}}=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{4} \end{eqnarray*}⑥ $4x^2+4x=-1$
答え $x=-\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} 4x^2+4x&=&-1 \\ 4x^2+4x+1&=&0\\ (2x+1)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}⑦ $6x^2=15x$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{5}{2}$
\begin{eqnarray*} 6x^2&=&15x\quad(両辺を3で割る)\\ 2x^2&=&5x\\ 2x^2-5x&=&0\\ x(2x-5)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=\cfrac{5}{2} \end{eqnarray*}⑧ $(x-5)^2=9$
答え $x=8, \ x=2$
\begin{eqnarray*} (x-5)^2&=&9 \\ x-5&=&\pm\sqrt{9}\\ x&=&5\pm 3\\ x&=&8, \ x=2 \end{eqnarray*}⑨ $6x^2+5x+1=0$
答え $x=-\cfrac{1}{3}, \ x=-\cfrac{1}{2}$
$2$ 次方程式の解の公式により、 \begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\times6\times1}}{2\times6}\\ &=&\cfrac{-5\pm\sqrt{25-24}}{12}\\ &=&\cfrac{-5\pm\sqrt{1}}{12}\\ &=&\cfrac{-5\pm1}{12}\\ x&=&\cfrac{-4}{12}, \ x=\cfrac{-6}{12}\\ x&=&-\cfrac{1}{3}, \ x=-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}① $x$ 円のりんご $5$ 個と、 $y$ 円のみかん $10$ 個の値段の合計は、$700$ 円以下である。この数量の関係を不等式で表しなさい。
②次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
$\qquad 5a=\cfrac{5}{6}b-1\quad[b]$
答え $b=\cfrac{30a+6}{5}\\\left(6a+\cfrac{6}{5}も可\right)$
\begin{eqnarray*} 5a&=&\cfrac{5}{6}b-1\quad(左辺と右辺をとりかえる） \\ \cfrac{5}{6}b-1&=&5a\quad(\times6) \\ 5b-6&=&30a\\ 5b&=&30a+6\\ b&=&\cfrac{30a+6}{5} \end{eqnarray*}③ $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}, \ y=\sqrt{2}-\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$\qquad x^2-xy$
答え $2\sqrt{6}+6$
\begin{eqnarray*} &&x^2-xy\\ &=&x(x-y)\\ &=&(\sqrt{2}+\sqrt{3})\{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-(\sqrt{2}-\sqrt{3})\}\\ &=&(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3})\\ &=&(\sqrt{2}+\sqrt{3})\times2\sqrt{3}\\ &=&2\sqrt{6}+6 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます。この問題は意外とこっちのほうがラクかも \begin{eqnarray*} &&x^2-xy\\ &=&(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3})\\ &=&2+2\sqrt{6}+3-(2-3)\\ &=&2+2\sqrt{6}+3+1\\ &=&2\sqrt{6}+6 \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に比例し、$x=9$ のとき、$y=-3$ である。$x=-6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=2$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-3}{9}=-\cfrac{1}{3}\\ y=-\cfrac{1}{3}xに\ x=-6\ を代入する\\ y=-\cfrac{1}{3}\times(-6)=2$$⑤ $y$ が $x$ に反比例し、$x=9$ のとき、$y=-3$ である。$x=-6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{9}{2}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=9\times(-3)=-27\\ y=-\cfrac{27}{x}\ に\ x=-6\ を代入する\\ y=-\cfrac{27}{-6}=\cfrac{9}{2}$$⑥ $2$ 点 $(-6, \ -5), \ (3, \ 1)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{2}{3}x-1$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{1-(-5)}{3-(-6)}=\cfrac{6}{9}=\cfrac{2}{3}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{2}{3}x+b$ に $x=3,\ y=1$ を代入 \begin{eqnarray*} 1&=&\cfrac{2}{3}\times3+b\\ 1&=&2+b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}⑦ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=\cfrac{1}{4}$ のとき、$y=3$ である。$x=-\cfrac{1}{6}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{4}{3}$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$$y=ax^2$ に $x=\cfrac{1}{4}, \ y=3$ を代入 \begin{eqnarray*} 3&=&a\times\left(\cfrac{1}{4}\right)^2\\ 3&=&\cfrac{1}{16}a\quad両辺に\times16\\ 48&=&a \end{eqnarray*} $y=48x^2$ に $ x=-\cfrac{1}{6}$ を代入する
$$y=48\times\left(-\cfrac{1}{6}\right)^2=48\times\cfrac{1}{36}=\cfrac{4}{3}$$
⑧ 大小 $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、大、小のサイコロの出た目をそれぞれ $a, \ b$ とする。 $\cfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}$ が自然数となる確率を求めなさい。
答え $\cfrac{7}{36}$
$$\cfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=\cfrac{\sqrt{ab}}{a}$$
$\cfrac{\sqrt{ab}}{a}$ を表にするとこうなる。
オレンジ色のところが自然数。
⑨ 袋の中に赤玉が $3$ 個と白玉が $2$ 個と青玉が $1$ 個はいっている。袋の中から玉を $1$ 個取り出してからそれを袋にもどし、また $1$ 個取り出す。このとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めなさい。
答え $\cfrac{7}{18}$
①，②，③，④，⑤, ⑥と、$6$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②と③が赤玉、④と⑤が白玉、⑥が青玉ということにします。①②③④⑤⑥という感じ。
んで、樹形図をかいてもいけます。または、サイコロの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を $1$ 個取り出してからそれを袋にもどし、また $1$ 個取り出す」ときは、同じ玉を取り出せるので、表にナナメ線は入れません。〇をつけたところが問題にあうところで、
$$\cfrac{14}{36}=\cfrac{7}{18}$$
$①$ $a$ の値を求めなさい。
答え
$a=\cfrac{1}{2}$
$y=ax^2$ が、 $(-4 , 8)$ を通っているのですから、
$y=ax^2$ に $x=-4, \ y=8$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
8&=&a\times(-4)^2\\
8&=&16a\\
a&=&\cfrac{8}{16}=\cfrac{1}{2}
\end{eqnarray*}
$②$ 直線 $l$ の式を求めなさい。
答え
$y=-\cfrac{1}{2}x+6$
右の図のように、点 $A, \ B$ から $x$ 軸へ垂線をおろし、その交点をそれぞれ $D, \ E$ とします。$ AD /\!/ BE$ ですから、$\triangle CAD$ ∽$\ \triangle CBE$ になります。
こんなふうに、この問題は三角形の相似を利用して考えます。
$AB:BC=7:9$ なのですから、$AC:BC=16:9$ です。なので、$\triangle CAD$ と $\triangle CBE$ の相似比は、$16:9$ です。
なので、$AD:BE=16:9$ となります。
点 $A$ の $y$ 座標は $8$ なのですから、$AD=8$ です。なので、$BE=8\times\cfrac{9}{16}=\cfrac{9}{2}$ となります。点 $B$ の $y$ 座標は、$\cfrac{9}{2}$ です。
次に点 $B$ の $x$ 座標を求めます。①の問題で、この放物線の式は $y=\cfrac{1}{2}x^2$ だということがわかっています。この式に $y=\cfrac{9}{2}$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
\cfrac{9}{2}&=&\cfrac{1}{2}x^2\quad両辺に\times2\\
9&=&x^2\\
\pm\sqrt{9}&=&x\\
\pm3&=&x\\
\end{eqnarray*}
グラフから、$x\gt0$ ですから、$x=3$ です。
これで点 $B$ の座標は $\left(3, \ \cfrac{9}{2}\right)$ だとわかりました。直線 $l$ の式は、$2$ 点 $A(-4, \ 8), \ B\left(3, \ \cfrac{9}{2}\right)$ を通る直線の式、ということで求めていけばよいです。
直線の式の形は $y=ax+b$
\begin{eqnarray*}
a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=&\cfrac{\cfrac{9}{2}-8}{3-(-4)}\\
&=&\cfrac{\cfrac{9}{2}-\cfrac{16}{2}}{3+4}\\
&=&\cfrac{-\cfrac{7}{2}}{7}\\
&=&-\cfrac{7}{2}\div7\\
&=&-\cfrac{7}{2}\times\cfrac{1}{7}\\
&=&-\cfrac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}
$y=-\cfrac{1}{2}x+b$ に $x=-4,\ y=8$ を代入
\begin{eqnarray*}
8&=&-\cfrac{1}{2}\times(-4)+b\\
8&=&2+b\\
6&=&b
\end{eqnarray*}
＜別解＞
別解というほどのことじゃないかもですが、この問題の場合は、点 $B$ の座標をだせば $DE$ の長さは $7$ だとわかるのですから、そこから三角形の相似を利用して点 $C$ の座標をだしてしまい、点 $A$ と点 $C$ の $2$ 点を通る直線の式を求めたほうが、計算としてはちょっとラクです。
中央値（メジアン）がふくまれる階級の階級値を答えなさい。
答え
$27.5$
$33$ 人による記録ですから、その中央値（メジアン）は、$17$ 番目の生徒の記録です。
$17$ 番目の生徒がふくまれるのは、$25$～$30$ の階級ですから、その階級値は、
\begin{eqnarray*}
(25+30)\div2=27.5
\end{eqnarray*}
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-9②-24③-\cfrac{9}{20}④x+7\\ ⑤\cfrac{-5x-2y}{12}\quad\left(-\cfrac{5x+2y}{12},-\cfrac{5}{12}x-\cfrac{1}{6}yも可\right)\\ ⑥x^2+4x-1⑦\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①4pq(2p-3q-1)②(x+2)(x-12)\\ ③(x-3y)^2④\left(\cfrac{1}{4}x+\cfrac{1}{5}y\right)\left(\cfrac{1}{4}x-\cfrac{1}{5}y\right)\\ ⑤4(2x+1)(2x-1)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{7}{2}②x=-7, \ y=-2\\ ③x=3, \ y=-2④x=12, \ x=3\\ ⑤x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{4}⑥x=-\cfrac{1}{2}⑦x=0 ,\ x=\cfrac{5}{2}\\ ⑧x=8, \ x=2⑨x=-\cfrac{1}{3}, \ x=-\cfrac{1}{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①5x+10y\leqq700 ②b=\cfrac{30a+6}{5}\left(6a+\cfrac{6}{5}も可\right)\\ ③2\sqrt{6}+6 ④y=2⑤y=\cfrac{9}{2}⑥y=\cfrac{2}{3}x-1⑦y=\cfrac{4}{3}\\ ⑧\cfrac{7}{36}⑨\cfrac{7}{18}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①a=\cfrac{1}{2} ②y=-\cfrac{1}{2}x+6\\ \boxed{\large{\ 6\ }}27.5 $