$\triangle DHM$で考えます。これは$\angle DHM=90^{ \circ }$の直角三角形になっています。
　$DH$の長さは$4cm$です。
　また、$M$は$FH$の中点ですから、$MH$の長さは$FH$の半分です。


　$FH$の長さについては、底面にできる三角形、$\triangle HFG$で考えます。 $\triangle HFG$は、$HG=3cm,$$FG=4cm,$$\angle HGF=90^{ \circ }$の直角三角形なので、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (FH)^2&=&(HG)^2+(FG)^2\\ &=&3^2+4^2\\ &=&25\\ FH>0なので\\ FH&=&\sqrt{25}=5cm \end{eqnarray*} 　$MH$の長さは$FH$の半分ですから、$\cfrac{5}{2}cm$です。

　すると$\triangle DHM$は、$DH=5cm,$$MH=\cfrac{5}{2}cm,$$\angle DHM=90^{ \circ }$の直角三角形となって、三平方の定理より、 \begin{eqnarray*} (DM)^2&=&(DH)^2+(MH)^2\\ &=&5^2+\left(\cfrac{5}{2}\right)^2\\ &=&25+\cfrac{25}{4}=\cfrac{125}{4}\\ DM>0なので\\ DM&=&\sqrt{\cfrac{125}{4}}=\cfrac{5\sqrt{5}}{2}cm \end{eqnarray*}

　４点$B,F,D,H$のある平面でこの立体を切断します。切断した面にできた四角形$BFHD$で考えます。 この四角形は、$BF=DH=5cm$です。また、$FH$の長さは、(1)の問題で$5cm$だと求めました。 なので、$FH=BD=5cm$となって、四角形$BFHD$は１辺が$5cm$の正方形ということになります。 $\triangle BMN$の面積はこの正方形で考えます。


　$MH$は$FH$の中点だからその長さは$\cfrac{5}{2}cm$だと(1)の問題で求めました。 なので$\triangle BMH$の面積は、$MH$を底辺とすると、 \begin{eqnarray*} && MH \times BF\times\cfrac{1}{2}\\ &=&\cfrac{5}{2}\times5\times\cfrac{1}{2}\\ &=&\cfrac{25}{4}\\ \end{eqnarray*}
　また、四角形$BFHD$は正方形ですから、$\triangle BND$と$\triangle HNM$は相似になります。その相似比は、 $BD:HM=2:1$です。なので$BN:HN$も$2:1$ということになります。なので$BN$の長さは$BH$の$\cfrac{2}{3}$です。
なので$\triangle BMN$の面積もまた、$\triangle BMH$の$\cfrac{2}{3}$となります。
　$\triangle BMH$の面積は$\cfrac{25}{4}$だったので、 \begin{eqnarray*} \triangle BMN&=&\cfrac{25}{4}\times\cfrac{2}{3}\\&=&\cfrac{25}{6}cm^2 \end{eqnarray*}