表面積というのは、すべての面の面積の合計です。正四角すいですから、面は５つあります。底面の正方形が１つと、側面の正三角形が４つです。
　それぞれの面積をだしていきましょう。
　【底面】
　底面は１辺が$8cm$の正方形ですから、面積は$64cm^2$です。
　【側面】
　側面は１辺が$8cm$の合同な正三角形が４つです。そのうちの１つ、$\triangle OAB$で考えてみましょう。

　三角形の面積はもちろん、底辺×高さ×$\cfrac{1}{2}$をやればOKです。
　底辺を$AB$ということにして、$O$から$AB$におろした垂線と$AB$の交点を$M$とします。すると、$M$は$AB$の中点になりますから、$AM=4cm$です。
　また、正三角形の１つの内角の大きさは$60^{ \circ }$ですから、$\triangle OAM$の内角はそれぞれ、$90^{ \circ },60^{ \circ },30^{ \circ }$ということになって、 $AM:OA:OM=1:2:\sqrt{3}$の直角三角形だということになります。
　なので、$OM=4\sqrt{3}cm$となります。
　なので、$\triangle OAB$の面積は、$$8\times 4\sqrt{3}\times \cfrac{1}{2}=16\sqrt{3}cm^2$$ 　【表面積】
　というわけで、正四角すい$OABCD$の表面積は、
　底面積$+$側面積$\times 4$
$=64+16\sqrt{3}\times 4\\=64+64\sqrt{3}(cm^2)$

$EF$の長さを求めるために、図３の$E$と$A$と$C$を含む平面でこの正四角すいを切ること考えます。
その切り口にできた$\triangle EAC$ですが、$F$は$AC$上にあるのですから、この三角形で考えれば$EF$の長さが求められそうです。
まずは$\triangle EAC$の３辺の$EA,EC,AC$の長さについて考えます。

【$EA$の長さ】

$\triangle OAB$は正三角形で、$E$は$OB$の中点なのだから、$\angle AEB=90^{ \circ }$です。すると $\triangle AEB$の内角はそれぞれ、$90^{ \circ },60^{ \circ },30^{ \circ }$ということになって、 $EB:AB:AE=1:2:\sqrt{3}$の直角三角形だということになります。なので$EA=4\sqrt{3}cm$です。

【$EC$の長さ】
$\triangle OBC$で、同様にして、$EC=4\sqrt{3}cm$です。

【$AC$の長さ】

底面は１辺が$8cm$の正方形で、$AC$はその対角線なのだから、$\triangle ABC$は辺の比が$1:1:\sqrt{2}$の直角三角形ということなるので、 $AC=8\sqrt{2}cm$です。

これで$\triangle EAC$の３辺の長さがわかったので、図にしてみましょう。

$EA=EC=4\sqrt{3}cm$です。$AC8\sqrt{2}cm$です。
また、$E$から$AC$におろした垂線と$AC$との交点を$M$ということにします。$M$は$AC$の中点ですから、$AM=4\sqrt{2}cm$です。
あと、仮定から$AF=\sqrt{2}cm$です。

【$EM$の長さ】
$\triangle EAM$は、$\angle EMA=90^{ \circ }$の直角三角形ですから、三平方の定理により、 \begin{eqnarray*} (EM)^2&=&(EA)^2-(AM)^2\\ &=&(4\sqrt{3})^2-(4\sqrt{2})^2\\ &=&16\\ EM>0なので\\ EM&=&\sqrt{16}=4cm \end{eqnarray*}
【$FM$の長さ】
$FM=AM-AF=3\sqrt{2}cm$になります。

【$EF$の長さ】

$\triangle EFM$は、$\angle EMF=90^{ \circ }$の直角三角形ですから、三平方の定理により、 \begin{eqnarray*} (EF)^2&=&(FM)^2+(EM)^2\\ &=&(3\sqrt{2})^2+4^2\\ &=&34\\ EF>0なので\\ EF&=&\sqrt{34}cm \end{eqnarray*}