数学 入試過去問
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【2019年の大問8】
1辺$4cm$の立方体$ABCDEFGH$
辺$BF$上に点$P$をとる
$EF,FG$の中点をそれぞれ$Q,R$とする。
(1) $AP+PG$をもっとも短くしたときの$AP+PG$の長さ
答え
$4\sqrt{5}cm$
立体の表面にひもをかけて、その最短をきいてくる問題です。図の赤い線です。箱の表面に赤いひもをかけたと思ってください。このひもが最短になるときの長さをきかれています。
こういうときは、展開図で考えましょう。6つの面をすべて展開する必要はありません。関係あるところだけで大丈夫です。
関係あるのは、面$AEFB$と面$BFGC$です。この2つの面を展開した図で考えましょう。
点$P$は辺$BF$上のどこかにあるわけですが、
$AP+PG$がもっとも短くなるようにしたいのですから、$A$と$G$をむすんだ線と$BF$の交点が$P$になります。
$AP+PG$をもっとも短くしたときの$AP+PG$の長さは、$AG$の長さをいえばよいわけです。
$\triangle AEG$は、$\angle AEG=90^{ \circ }$の直角三角形ですから、三平方の定理により、
\begin{eqnarray*}
(AG)^2&=&(AE)^2+(EG)^2\\
&=&4^2+8^2\\
&=&80\\
AG>0なので\\
AG&=&\sqrt{80}=4\sqrt{5}cm
\end{eqnarray*}
(2) 3点$A,Q,R$を通る平面で切ったときの切り口の図形の面積
答え
$18cm^2$
3点$A,Q,R$を通る平面で切ったときの切り口の図形は三角形でしょうか。四角形でしょうか。五角形でしょうか。六角形でしょうか。まずそこを考えなくてはいけません。
切り口の図形ですが、$AQ$は辺になります。$QR$も辺になります。それはOKです。
でも、$AR$はいけません。ここは切り口の辺にはなりません。
ではあとの辺はどう見つけるのかというと、面$ABCD$上で、$A$を通って$QR$と平行な線を考えます。
$\triangle QFR$は直角二等辺三角形ですから、$\angle FQR=45^{ \circ }$です。
なので、面$ABCD$上で、$A$から、$AB$に対して$45^{ \circ }$になるような線をひきます。するとその線は$C$を通るはずです。だから$AC$が切り口の辺になります。
さらに、$C$と$R$を結んで、$CR$も切り口の辺になります。
というわけで、切り口にできる図形は$AC /\!/ QR$の台形になります。
この台形$AQRC$の面積が、この問題の答えです。これを求めるために、まず、4辺の長さをだしていきましょう。
【$AC$の長さ】
四角形$ABCD$は1辺が$4cm$の正方形で、$AC$はその対角線なのだから、$\triangle ABC$は直角二等辺三角形ということなるので、その辺の比は$1:1:\sqrt{2}$です。
$AC=4\sqrt{2}cm$です。
【$QR$の長さ】
$\triangle FQR$は$\angle F=90^{ \circ },FQ=FR=2cm$の直角二等辺三角形だから、これも$1:1:\sqrt{2}$の辺の比が使えることになって、
$QR=2\sqrt{2}cm$です。
【$AQ$の長さ】
$\triangle AEQ$は、$\angle AEQ=90^{ \circ }$の直角三角形ですから、三平方の定理により、
\begin{eqnarray*}
(AQ)^2&=&(AE)^2+(EQ)^2\\
&=&4^2+2^2\\
&=&20\\
AQ>0なので\\
AQ&=&\sqrt{20}=2\sqrt{5}cm
\end{eqnarray*}
【$CR$の長さ】
$CR$の長さは、$AQ$とおなじようなことです。
$\triangle CGR$は、$\angle CGR=90^{ \circ }$の直角三角形で、$\triangle AEQ$のときとどうようにして、
$$ CR=2\sqrt{5}cm$$
というわけで、四角形$AQRC$は、$AC /\!/ QR$の等脚台形だということがわかりました。それではその面積を求めていきましょう。
台形の面積はもちろん、(上底+下底)$\times$高さ$\times\cfrac{1}{2}$です。
上底$AC=4\sqrt{2}cm$です。
下底$QR=2\sqrt{2}cm$です。
あとは高さです。$Q$を通る$AC$の垂線と$AC$との交点を$M$、$R$を通る$AC$の垂線と$AC$との交点を$N$とします。
四角形$MQRN$は長方形になりますから、$MN=QR=2\sqrt{2}cm$です。
また、$\triangle AMQ$と$\triangle CNR$は合同ですから、$AM=CN=(AC-QR)\times\cfrac{1}{2}=\sqrt{2}$です。
$\triangle AMQ$は$\angle AMQ=90^{ \circ }$の直角三角形ですから、三平方の定理により、
\begin{eqnarray*}
(MQ)^2&=&(AQ)^2-(AM)^2\\
&=&(2\sqrt{5})^2-\sqrt{2}^2\\
&=&20-2\\
&=&18\\
MQ>0なので\\
MQ&=&\sqrt{18}=3\sqrt{2}cm
\end{eqnarray*}
$MQ$というのはもちろん、台形$AQRC$の高さです。
なので、その面積は、
\begin{eqnarray*}
&&(上底+下底)\times高さ\times\cfrac{1}{2}\\
&=&(4\sqrt{2}+2\sqrt{2})\times 3\sqrt{2}\times\cfrac{1}{2}\\
&=&6\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}\times\cfrac{1}{2}\\
&=&18cm^2
\end{eqnarray*}