「生徒を長いすに座らせるのに、長いす $1$ 脚に $5$ 人ずつ座ると $3$ 人が座れず、$6$ 人ずつ座ると $2$ 人だけ座った長いすが $1$ 脚できた。長いすの数と生徒の人数を求めなさい。」
という問題を、生徒の人数を $x$ 人ということにして式をたてて解いていきましょう。
＜説明＞
生徒の人数を $x$ 人ということにして、（長いすの数）＝（長いすの数）という式をたてます。
まず、ひとつのいすに $5$ 人ずつ座ったときの長いすの数は、 $\cfrac{x-3}{5}$ 脚となります。生徒の人数があと $3$ 人少なければ、ぴったり $5$ で割れて、その商は長いすの数をあらわします。

つぎに、ひとつのいすに $6$ 人ずつ座ったときの長いすの数は、 $\cfrac{x+4}{6}$ 脚となります。生徒の人数があと $4$ 人多ければ、ぴったり $6$ で割れて、その商は長いすの数をあらわします。

じゃあこれをもとにして、長いすの数＝長いすの数という式をたてます。
$$\cfrac{x-3}{5}=\cfrac{x+4}{6}$$ これはもちろん、（ $5$ 人ずつ座ったときの長いすの数）＝（ $6$ 人ずつ座ったときの長いすの数）という意味です。さあ解きましょう。 \begin{eqnarray*} \cfrac{x-3}{5}&=&\cfrac{x+4}{6} \class{mathbg-r}{（両辺に×30）} \\ 6(x-3)&=&5(x+4)\\ 6x-18&=&5x+20\\ 6x-5x&=&20+18\\ x&=&38 \end{eqnarray*} ＜ここから先は確かめの話＞
というわけで $x=38$ というふうに解が求められました。生徒の人数を$x$ 人、ということにして $x$ を求めたわけですから、生徒の人数は $38$ 人ということになります。
$38$ 人の生徒が長いすに $5$ 人ずつ座ったらあと $3$ 人が座れなかったということは、長いすの数は $(38-3)\div5=7$ 脚。
$38$ 人の生徒が長いすに $6$ 人ずつ座ったらあと $4$ 人ぶんの空席ができたということは、長いすの数は $(38+4)\div6=7$ 脚。
どちらで計算しても $7$ 脚ってでてきますね。じゃあ答え書きます。

長いすの数　7脚
生徒の人数　38人