「生徒を長いすに座らせるのに、長いす $1$ 脚に $7$ 人ずつ座ると $4$ 人が座れず、$8$ 人ずつ座ると $7$ 人だけ座った長いすが $1$ 脚できて、誰もすわっていない長いすが $1$ 脚できた。長いすの数と生徒の人数を求めなさい。」
という問題を、生徒の人数を $x$ 人ということにして式をたてて解いていきましょう。
＜説明＞
生徒の人数を $x$ 人ということにして、（長いすの数）＝（長いすの数）という式をたてます。
まず、ひとつのいすに $7$ 人ずつ座ったときの長いすの数は、 $\cfrac{x-4}{7}$ 脚となります。生徒の人数があと $4$ 人少なければ、ぴったり $7$ で割れて、その商は長いすの数をあらわします。

つぎに、ひとつのいすに $8$ 人ずつ座ったときの長いすの数は、 $\cfrac{x+9}{8}$ 脚となります。生徒の人数があと $9$ 人多ければ、ぴったり $8$ で割れて、その商は長いすの数をあらわします。

じゃあこれをもとにして、長いすの数＝長いすの数という式をたてます。
$$\cfrac{x-4}{7}=\cfrac{x+9}{8}$$ これはもちろん、（ $7$ 人ずつ座ったときの長いすの数）＝（ $8$ 人ずつ座ったときの長いすの数）という意味です。さあ解きましょう。 \begin{eqnarray*} \cfrac{x-4}{7}&=&\cfrac{x+9}{8} \class{mathbg-r}{（両辺に×56）} \\ 8(x-4)&=&7(x+9)\\ 8x-32&=&7x+63\\ 8x-7x&=&63+32\\ x&=&95 \end{eqnarray*} ＜ここから先は確かめの話＞
というわけで $x=95$ というふうに解が求められました。生徒の人数を$x$ 人、ということにして $x$ を求めたわけですから、生徒の人数は $95$ 人ということになります。
$95$ 人の生徒が長いすに $7$ 人ずつ座ったらあと $4$ 人が座れなかったということは、長いすの数は $(95-4)\div7=13$ 脚。
$95$ 人の生徒が長いすに $8$ 人ずつ座ったらあと $9$ 人ぶんの空席ができたということは、長いすの数は $(95+9)\div8=13$ 脚。
どちらで計算しても $13$ 脚ってでてきますね。じゃあ答え書きます。

長いすの数　13脚
生徒の人数　95人