数学 中1 2学期中間模擬テスト 第1回
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ふつうのテストより問題数は多いです。なのでふつうのテストをやるときより時間がかかると思います。がんばって！
$\huge{1}$ 次の①～③の計算をしなさい。④の問いに答えなさい。
$\qquad①$ $\quad 8-15 \qquad ② \quad \cfrac{5}{6}\div\left(-\cfrac{15}{8}\right)$
答え
$①-7$ $②-\cfrac{4}{9}$
\begin{eqnarray*} &①& 8-15\\ &=&-7 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& \cfrac{5}{6}\div\left(-\cfrac{15}{8}\right)\\ &=& \cfrac{5}{6}\times\left(-\cfrac{8}{15}\right)\\ &=& -\cfrac{4}{9} \end{eqnarray*}
$\qquad③$ $\quad (-2)^2-6\times4 $
答え
$-20$
\begin{eqnarray*} &③& (-2)^2-6\times4\\ &=& 4-6\times4\\ &=& 4-24\\ &=&-20 \end{eqnarray*}
$\qquad$④ $a=-2$ のとき、次の式の値を求めなさい。 $$\qquad -3a-7$$
答え
$-1$
\begin{eqnarray*} &&-3a-7 \\ &=&-3\times(-2)-7 \\ &=&6-7 \\ &=&-1 \end{eqnarray*}
$\huge{2}$ 次の $(1), \ (2)$ の各問いに答えなさい。
$(1)$
次の①，②の式の項をいいなさい。また、文字をふくむ項の係数をいいなさい。
\begin{eqnarray*}
① \quad a+5 \qquad ② \quad \cfrac{x}{7}-\cfrac{5}{7}
\end{eqnarray*}
答え
①項…$a, \ 5$ 文字をふくむ項の係数…$1$
②項…$\cfrac{x}{7}, \ -\cfrac{5}{7}$ 文字をふくむ項の係数…$\cfrac{1}{7}$
たとえば $2x-3$ という式の $2x, \ -3$ をこの式の項といいます。
また、$2x$ のような文字をふくむ項の数の部分 $2$ を係数といいます。$2$ は $x$ の係数です。
$(2)$
次のア～カの式のなかから、$x$ についての $1$ 次式であるものをすべてえらび、その記号を答えなさい。
\begin{eqnarray*}
&ア& \quad -x \qquad &イ& \quad x^2+5 \qquad &ウ& \quad 3a+2b\\
&エ& \quad \cfrac{2}{3}x-4 \qquad &オ& \quad \cfrac{2}{3}y-4 \qquad &カ& \quad x^2-4x+5
\end{eqnarray*}
答え
ア，エ
イは $x^2$ があるので $1$ 次式ではありません。$2$ 次式です。
ウは $x$ がないので、$x$ の $1$ 次式とはいえません。
オは $x$ がないので、$x$ の $1$ 次式とはいえません。
カは $x^2$ があるので $1$ 次式ではありません。$2$ 次式です。
$\huge{3}$ 次の①～⑥の計算をしなさい。
$\qquad①$ $\quad 3x-15x \qquad ② \quad -35a\div7$
答え
$①-12x$ $②-5a$
\begin{eqnarray*} ①&& 3x-15x\\ &=&-12x \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} ②&& -35a\div7\\ &=& -5a \end{eqnarray*}
$\qquad③$ $\quad -3x+5+2x-9 \qquad ④ \quad 6(2a-4)$
答え
$③-x-4$ $④12a-24$
\begin{eqnarray*} ③&& -3x+5+2x-9\\ &=&-3x+2x+5-9\\ &=&-x-4 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} ④&& 6(2a-4)\\ &=& 12a-24 \end{eqnarray*}
$\qquad⑤$ $\quad (3a+3)-(7a+4) \qquad ⑥ \quad 12\times\cfrac{2x-5}{3}$
答え
$⑤-4a-1$ $⑥8x-20$
\begin{eqnarray*} ⑤&& (3a+3)-(7a+4)\\ &=&3a+3-7a-4\\ &=&3a-7a+3-4\\ &=&-4a-1 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} ⑥&& 12\times\cfrac{2x-5}{3}\\ &=& {}^4\bcancel{12}\times\cfrac{2x-5}{\bcancel{3}}\\ &=&8x-20 \end{eqnarray*}
$\huge{4}$ 次の①～④の数量の関係を、等式や不等式で表しなさい。
$①$ $x$ の $3$ 倍は $y$ から $2$ をひいたものと等しい。
答え
$①\quad 3x=y-2$
$②$ $a$ 円の品物を $6$ 個買い、$1000$ 円をはらったらおつりが $b$ 円だった。
答え
$②\quad 1000-6a=b$
$③$ $x \ cm$ のひもから $y \ cm$ のひもを $10$ 本切り取ると、残りは $20 cm$ 以下である。
答え
$③\quad x-10y \leqq 20$
「以上」「以下」は、イコールがはいります。$\leqq$ や $\geqq$ を使ってあらわします。
「より大きい」「より小さい」「未満」は、イコールをいれません。$\lt$ や $\gt$ を使ってあらわします。
$④$ $a$ 円の品物の $25％$引きは、$200$ 円より高い。
答え
$④\quad 0.75a \gt 200$
「以上」「以下」は、イコールがはいります。$\leqq$ や $\geqq$ を使ってあらわします。
「より大きい」「より小さい」「未満」は、イコールをいれません。$\lt$ や $\gt$ を使ってあらわします。
$\huge{5}$
下の$ア～オ$の式について、次の $(1), \ (2)$ の問いに答えなさい。
\begin{eqnarray*}
&ア& \quad 3x+5=-2\quad
&イ& \quad 6-8=-2\quad
ウ \quad 6x-5\\\\
&エ& \quad 10=8-2x\quad
&オ& \quad 2x+5=-x+2
\end{eqnarray*}
$(1)$ 方程式であるものをすべて選び、その記号を答えなさい。
答え
ア，エ，オ
$x$ とか $a$ とかの文字があって、$=$ があるやつが方程式です。
イは文字がないので方程式とはいいません。ウは $=$ がないのでダメです。
$(2)$ 方程式であるものの中で、解が $-1$ であるものをすべて選び、その記号を答えなさい。
答え
エ，オ
方程式であるものは、アとエとオです。それぞれの式に $x=-1$ を代入して、成り立つかどうかを調べます。めんどうくさいですが、ぜんぶ調べなくちゃだめです。成り立てばそれは方程式の解です。
ア…成り立たない
\begin{eqnarray*}
3x-5&=&-2\\
3\times(-1)-5&=&-2\\
-3-5&=&-2\\
-8&=&-2
\end{eqnarray*}
エ…成り立つ
\begin{eqnarray*}
10&=&8-2x\\
10&=&8-2\times(-1)\\
10&=&8+2\\
10&=&10
\end{eqnarray*}
オ…成り立つ
\begin{eqnarray*}
2x+5&=&-x+2\\
2\times(-1)+5&=&-(-1)+2\\
-2+5&=&1+2\\
5&=&5
\end{eqnarray*}
$\huge{6}$ 次の$①～⑧$ の方程式を解きなさい。$⑨, \ ⑩$ の比例式を解きなさい。
$①$ $x-3=-5$
答え
$x=-2$
\begin{eqnarray*} x-3&=&-5\\ x&=&-5+3\\ x&=&-2 \end{eqnarray*}
$②$ $-3x-2=7$
答え
$x=-3$
\begin{eqnarray*} -3x-2&=&7\\ -3x&=&7+2\\ -3x&=&9\\ x&=&-3 \end{eqnarray*}
$③$ $-\cfrac{1}{6}x=-12$
答え
$x=72$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{6}x&=&-12\quad両辺に\times(-6)\\ x&=&72 \end{eqnarray*}
$④$ $12x-4=2x-9$
答え
$x=-\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} 12x-4&=&2x-9\\ 12x-2x&=&-9+4\\ 10x&=&-5\\ x&=&-\cfrac{5}{10}\\ x&=&-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}
$⑤$ $-9(2x-3)=6x+25$
答え
$x=\cfrac{1}{12}$
\begin{eqnarray*} -9(2x-3)&=&6x+25\\ -18x+27&=&6x+25\\ -18x-6x&=&25-27\\ -24x&=&-2\\ x&=&\cfrac{2}{24}\\ x&=&\cfrac{1}{12} \end{eqnarray*}
$⑥$ $-0.2x+1=0.4x+2.8$
答え
$x=-3$
\begin{eqnarray*} -0.2x+1&=&0.4x+2.8\quad両辺に\times10\\ -2x+10&=&4x+28\\ -2x-4x&=&28-10\\ -6x&=&18\\ x&=&-3 \end{eqnarray*}
$⑦$ $\cfrac{5}{4}x+\cfrac{3}{2}=\cfrac{1}{2}x+6$
答え
$x=6$
\begin{eqnarray*} \cfrac{5}{4}x+\cfrac{3}{2}&=&\cfrac{1}{2}x+6\quad両辺に\times4\\ 5x+6&=&2x+24\\ 5x-2x&=&24-6\\ 3x&=&18\\ x&=&6 \end{eqnarray*}
$⑧$ $\cfrac{x-2}{3}=\cfrac{x-9}{4}$
答え
$x=-19$
\begin{eqnarray*} \cfrac{x-2}{3}&=&\cfrac{x-9}{4}\quad両辺に\times12\\ \cfrac{x-2}{\bcancel{3}}\times{}^4\bcancel{12}&=&\cfrac{x-9}{\bcancel{4}}\times{}^3\bcancel{12}\\ 4(x-2)&=&3(x-9)\\ 4x-8&=&3x-27\\ 4x-3x&=&-27+8\\ x&=&-19 \end{eqnarray*}
$⑨$ $14:21=4x:3$
答え
$x=\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} {}^2\bcancel{14}:{}^3\bcancel{21}&=&4x:3\\ 2:3&=&4x:3\\ 12x&=&6\\ x&=&\cfrac{6}{12}\\ x&=&\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}
$⑩$ $8:(x+2)=3:(3x-2)$
答え
$x=\cfrac{22}{21}$
\begin{eqnarray*} 8:(x+2)&=&3:(3x-2)\\ 8(3x-2)&=&3(x+2)\\ 24x-16&=&3x+6\\ 24x-3x&=&6+16\\ 21x&=&22\\ x&=&\cfrac{22}{21} \end{eqnarray*}
$\huge{7}$ $1$ 個 $40$ 円のみかんと $1$ 個 $90$ 円のりんごをあわせて $12$ 個買ったら、代金の合計が $680$ 円になった。このとき、以下の $(1), \ (2)$ の問いに答えなさい。
$(1)$ 買ったみかんの個数を $x$ 個として、方程式をつくりなさい。
答え
$40x+90(12-x)=680$
みかんの個数を $x$ 個とすると、りんごの個数は $(12-x)$ 個とあらわすことになります。
$(2)$ 買ったみかんの個数を求めなさい。
答え
$8 \ 個$
\begin{eqnarray*} 40x+90(12-x)&=&680\\ 40x+1080-90x&=&680\\ 40x-90x&=&680-1080\\ -50x&=&-400\\ x&=&8 \end{eqnarray*}
$\huge{8}$ 画用紙を、生徒 $1$ 人に $4$ 枚ずつ配ると $12$ 枚余り、生徒 $1$ 人に $5$ 枚ずつ配ろうとすると $20$ 枚足りない。このとき、以下の $(1), \ (2)$ の問いに答えなさい。
$(1)$ 生徒の人数を $x$ 人として、方程式をつくりなさい。
答え
$4x+12=5x-20$
生徒の人数を $x$ 人とすると、$(4x+12)$ というのは、「画用紙を生徒 $1$ 人に $4$ 枚ずつ配ると $12$ 枚余る」というときの画用紙の枚数をあらわすことになります。
$(5x-20)$ というのは、「画用紙を生徒 $1$ 人に $5$ 枚ずつ配ろうとすると $20$ 枚足りない」というときの画用紙の枚数をあらわすことになります。
$(4x+12)$ も $(5x-20)$ もどちらも画用紙の枚数をあらわしているので、等しいです。
$(2)$ 生徒の人数と画用紙の枚数を求めなさい。
答え
$生徒… \ 32 \ 人$ $画用紙… \ 140 \ 枚$
\begin{eqnarray*} 4x+12&=&5x-20\\ 4x-5x&=&-20-12\\ -x&=&-32\\ x&=&32 \end{eqnarray*} これで生徒の人数は $32$ 人だと求められました。画用紙の枚数は、「生徒 $1$ 人に $4$ 枚ずつ配ると $12$ 枚余る」のだから、 $$32\times4+12=128+12=140$$
$\huge{9}$ 生徒を長いすに座らせるのに、長いす $1$ 脚に $6$ 人ずつ座ると $5$ 人が座れず、長いす $1$ 脚に $7$ 人ずつ座ると $4$ 人だけ座った長いすが $1$ 脚できた。このとき、以下の $(1), \ (2)$ の問いに答えなさい。
$(1)$ 長いすの脚数を $x$ 脚として、方程式をつくりなさい。
答え
$6x+5=7x-3$
長いすの脚数を $x$ 脚とすると、$(6x+5)$ というのは、「長いす $1$ 脚に $6$ 人ずつ座ると $5$ 人が座れない」というときの生徒の人数をあらわすことになります。
$(7x-3)$ というのは、「長いす $1$ 脚に $7$ 人ずつ座ると $4$ 人だけ座った長いすが $1$ 脚できる」というときの生徒の人数をあらわすことになります。$-3$ というのは、さいごの長いすは空席が $3$ つある、ということです。
$(6x+5)$ も $(7x-3)$ もどちらも生徒の人数をあらわしているので、等しいです。
$(2)$ 長いすの脚数と生徒の人数を求めなさい。
答え
$長いす… \ 8 \ 脚$ $生徒… \ 53 \ 人$
\begin{eqnarray*} 6x+5&=&7x-3\\ 6x-7x&=&-3-5\\ -x&=&-8\\ x&=&8 \end{eqnarray*} これで長いすの脚数は $8$ 脚だと求められました。生徒の人数は、「長いす $1$ 脚に $6$ 人ずつ座ると $5$ 人が座れない」のだから、 $$6\times8+5=48+5=53$$
$\huge{10}$ 妹が駅をめざして、歩きで家を出た。妹が家を出てから $12$ 分後に兄が自転車で追いかけた。妹の速さを分速 $60m$，兄の速さを分速 $150m$ として、以下の $(1), \ (2)$ の問いに答えなさい。
$(1)$ 兄が家を出てから $x$ 分後に妹に追いつくとして、方程式をつくりなさい。
答え
$150x=60(x+12)$
兄が家を出てから $x$ 分後に妹に追いつくとすると、$150x$ というのは、兄が自転車で進んだ道のりをあらわします。「速さ×時間＝道のり」です。
妹が進んだ時間は、兄より $12$ 分多いのですから、$(x+12)$ 分です。なので、妹の進んだ道のりは $60(x+12)$ とあらわせます。
「兄が妹に追いつく」というのは、「兄の進んだ道のり＝妹の進んだ道のり」というふうに考えて、
$$150x=60(x+12)$$
$(2)$ 兄が妹に追いつくのは、兄が家を出てから何分後か。
答え
$8 \ 分後$
\begin{eqnarray*} 150x&=&60(x+12)\\ 150x&=&60x+720\\ 150x-60x&=&720\\ 90x&=&720\\ x&=&8 \end{eqnarray*}
$\huge{11}$ 家から学校まで行くのに、分速 $60m$ の速さで行くと、分速 $80m$ の速さで行くより $5$ 分遅く着く。このとき、以下の $(1), \ (2)$ の問いに答えなさい。
$(1)$ 家から学校までの道のりを $xm$ として、方程式をつくりなさい。
答え
$\cfrac{x}{60}=\cfrac{x}{80}+5$
「$\cfrac{道のり}{速さ}$＝$時間$」です。なので、家から学校までの道のりを $xm$ とすると、$\cfrac{x}{60}$ というのは、分速 $60m$ の速さで行ったときにかかる時間をあらわします。
$\cfrac{x}{80}$ というのは、分速 $80m$ の速さで行ったときにかかる時間をあらわします。
$$\cfrac{x}{60}=\cfrac{x}{80}+5$$
という式は、「分速 $60m$ の速さで行ったときにかかる時間＝分速 $80m$ の速さで行ったときにかかる時間プラス $5$ 分」という意味です。
また、この問題の答えを、
$$\cfrac{x}{60}-5=\cfrac{x}{80}$$
としてもOKです。おなじ意味の式です。どちらを解いても答えはおなじになります。
$(2)$ 家から学校までの道のりは何 $m$ か。
答え
$1200 \ m$
\begin{eqnarray*} \cfrac{x}{60}&=&\cfrac{x}{80}+5\quad両辺に\times240\\ 4x&=&3x+1200\\ 4x-3x&=&1200\\ x&=&1200 \end{eqnarray*}
$\huge{12}$ Ａ地点からＢ地点までを往復する。行きは分速 $80m$ で進み、帰りは分速 $120m$ で進んだら、全部で $55$ 分かかった。このとき、以下の $(1), \ (2)$ の問いに答えなさい。
$(1)$ Ａ地点からＢ地点までの道のりを $xm$ として、方程式をつくりなさい。
答え
$\cfrac{x}{80}+\cfrac{x}{120}=55$
「$\cfrac{道のり}{速さ}$＝$時間$」です。なので、Ａ地点からＢ地点までの道のりを $xm$ とすると、$\cfrac{x}{80}$ というのは、分速 $80m$ の速さで行ったときにかかる時間をあらわします。
$\cfrac{x}{120}$ というのは、分速 $120m$ の速さで行ったときにかかる時間をあらわします。
$$\cfrac{x}{80}+\cfrac{x}{120}=55$$
という式は、「分速 $80m$ の速さで行ったときにかかる時間プラス分速 $80m$ の速さで行ったときにかかる時間＝ $55$ 分」という意味です。
$(2)$ Ａ地点からＢ地点までの道のりは何 $m$ か。
答え
$2640 \ m$
\begin{eqnarray*} \cfrac{x}{80}+\cfrac{x}{120}&=&55\quad両辺に\times240\\ 3x+2x&=&13200\\ 5x&=&13200\\ x&=&2640 \end{eqnarray*}
$\huge{13}$ ふたつの水槽Ａ，Ｂに $300L$ ずつ水が入っている。水槽Ａから水槽Ｂに水を何 $L$ か移して、ＡとＢに入っている水の比が $2:3$ になるようにしたい。このとき、以下の $(1), \ (2)$ の問いに答えなさい。
$(1)$ Ａの水槽からＢの水槽に水を $xL$ 移すとして、比例式をつくりなさい。
答え
$(300-x):(300+x)=2:3$
Ａの水槽からＢの水槽に水を $xL$ 移すとすると、$(300-x)$ というのは、水を移したあとのＡの水槽の水の量をあらわします。
$(300+x)$ というのは、水を移したあとのＢの水槽の水の量をあらわします。
$(2)$ Ａの水槽からＢの水槽へ、水を何 $L$ 移せばよいか。
答え
$60 \ L$
\begin{eqnarray*} (300-x):(300+x)&=&2:3\\ 3(300-x)&=&2(300+x)\\ 900-3x&=&600+2x\\ -3x-2x&=&600-900\\ -5x&=&-300\\ x&=&60 \end{eqnarray*}
答え(中1 2学期中間模擬テスト 第1回)
1$①-7$ $②-\cfrac{4}{9}$ $③-20$ $④-1$
2(1)①項…$a, \ +5$ 文字をふくむ項の係数…$1$
②項…$\cfrac{x}{7}, \ -\cfrac{5}{7}$ 文字をふくむ項の係数…$\cfrac{1}{7}$
(2)ア，エ
3$①-12x$ $②-5a$ $③-x-4$ $④12a-24$ $⑤-4a-1$ $⑥8x-20$
4$①3x=y-2$ $②1000-6a=b$ $③x-10y \leqq 20$ $④0.75a \gt 200$
5(1)ア，エ，オ (2)エ，オ
6$①x=-2$ $②x=-3$ $③x=72$ $④x=-\cfrac{1}{2}$ $⑤x=\cfrac{1}{12}$ $⑥x=-3$ $⑦x=6$ $⑧x=-19$ $⑨x=\cfrac{1}{2}$ $⑩x=\cfrac{22}{21}$
7(1)$40x+90(12-x)=680$ (2)$8 \ 個$
8(1)$4x+12=5x-20$ (2)$生徒…32 \ 人$ $画用紙…140 \ 枚$
9(1)$6x+5=7x-3$ (2)$長いす…8 \ 脚$ $生徒…53 \ 人$
10(1)$150x=60(x+12)$ (2)$8 \ 分後$
11(1)$\cfrac{x}{60}=\cfrac{x}{80}+5$ (2)$1200 \ m$
12(1)$\cfrac{x}{80}+\cfrac{x}{120}=55$ (2)$2640 \ m$
13(1)$(300-x):(300+x)=2:3$ (2)$60 \ L$