数学 中2 2学期中間模擬テスト 第1回
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ふつうのテストより問題数は多いです。なのでふつうのテストをやるときより時間がかかると思います。がんばって!
$\huge{1}$ 次の①~⑧の計算をしなさい。
$\qquad①$ $\quad 18-12\div(-6)\qquad ② \quad \cfrac{1}{2}-1+\cfrac{2}{3}$
答え
$①20$ $②\cfrac{1}{6}$
\begin{eqnarray*} &①& 18-12\div(-6)\\ &=& 18+2\\ &=&20 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& \cfrac{1}{2}-1+\cfrac{2}{3}\\ &=& \cfrac{3}{6}-\cfrac{6}{6}+\cfrac{4}{6}\\ &=& \cfrac{1}{6} \end{eqnarray*}
$\qquad③$ $\quad 5\times(-4)-(-3)^2\qquad ④ \quad 4(2a-3b)-(5a-9b)$
答え
$③-29$ $④3a-3b$
\begin{eqnarray*} &③& 5\times(-4)-(-3)^2\\ &=& 5\times(-4)-9\\ &=&-20-9\\ &=&-29 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &④& 4(2a-3b)-(5a-9b)\\ &=& 8a-12b-5a+9b\\ &=& 8a-5a-12b+9b\\ &=& 3a-3b \end{eqnarray*}
$\qquad⑤$ $\quad \cfrac{4x-7y}{3}-\cfrac{3x-5y}{2}\qquad ⑥ \quad 2a^2b\times3ab$
答え
$⑤\cfrac{-x+y}{6} \ \left(-\cfrac{x-y}{6}も可\right)$ $⑥6a^3b^2$
\begin{eqnarray*} &⑤& \cfrac{4x-7y}{3}-\cfrac{3x-5y}{2}\\ &=& \cfrac{2(4x-7y)-3(3x-5y)}{6}\\ &=& \cfrac{8x-14y-9x+15y}{6}\\ &=& \cfrac{8x-9x-14y+15y}{6}\\ &=& \cfrac{-x+y}{6} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑥& 2a^2b\times3ab\\ &=& 6a^3b^2 \end{eqnarray*}
$\qquad⑦$ $\quad 4x\div(-6xy)\times3y^2\qquad ⑧ \quad 2x^2\div\cfrac{3}{4}x^2y^2\times\cfrac{9}{8}y$
答え
$⑦-2y$ $⑧\cfrac{3}{y}$
\begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑦& 4x\div(-6xy)\times3y^2\\ &=& -\cfrac{4x\times3yy}{6xy}\\ &=& -\cfrac{{}^2\bcancel{4}\bcancel{x}\times\bcancel{3}\bcancel{y}y}{{}^{\bcancel{3}}\bcancel{6}\bcancel{x}\bcancel{y}}\\ &=& -2y \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑧& 2x^2\div\cfrac{3}{4}x^2y^2\times\cfrac{9}{8}y\\ &=& \cfrac{2xx}{1}\div\cfrac{3xxyy}{4}\times\cfrac{9y}{8}\\ &=& \cfrac{2xx}{1}\times\cfrac{4}{3xxyy}\times\cfrac{9y}{8}\\ &=& \cfrac{\bcancel{2}\bcancel{x}\bcancel{x}}{1}\times\cfrac{\bcancel{4}}{\bcancel{3}\bcancel{x}\bcancel{x}\bcancel{y}y}\times\cfrac{{}^3\bcancel{9}\bcancel{y}}{\bcancel{8}}\\ &=&\cfrac{3}{y} \end{eqnarray*}
$\huge{2}$ 次の ①~⑤の連立方程式を解きなさい。また、⑥の方程式を解きなさい。
\begin{eqnarray*}
① \ \left\{
\begin{array}{l}
3x-4y=20\\
x=2y
\end{array}
\right.
\qquad② \ \left\{
\begin{array}{l}
-3y=2x-3\\
x-3y=15
\end{array}
\right.\\
\end{eqnarray*}
答え
$①\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=20\\
y=10
\end{array}
\right.
\quad②
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
①番 代入法で、②の式を①の式に代入して解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
3x-4y=20\quad…①\\
x=2y\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$②を①に代入$
\begin{eqnarray*}
3\times(2y)-4y&=&20\\
6y-4y&=&20\\
2y&=&20\\
y&=&10
\end{eqnarray*}
$y=10を②に代入$
\begin{eqnarray*}
x&=&2\times10\\
&=&20
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=20\\
y=10
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
②番 代入法で、①の式を②の式に代入して解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
-3y=2x-3\quad…①\\
x-3y=15\quad…②
\end{array}
\right.\\
\end{eqnarray*}
$①を②に代入$
\begin{eqnarray*}
x+2x-3&=&15\\
x+2x&=&15+3\\
3x&=&18\\
x&=&6
\end{eqnarray*}
$x=6を②に代入$
\begin{eqnarray*}
-3y&=&2\times6-3\\
-3y&=&9\\
y&=&-3
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} ③ \ \left\{ \begin{array}{l} -2(x-3y)=y+3\\ 3x+2y=-14 \end{array} \right. \qquad④ \ \left\{ \begin{array}{l} -0.5x+0.4y=-3.4\\ -x+2y=-2 \end{array} \right.\\ \end{eqnarray*}
答え
$③\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-4\\
y=-1
\end{array}
\right.
\quad④
\left\{
\begin{array}{l}
x=10\\
y=4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
③番 ①の式のかっこをはずし、整理します。加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
-2(x-3y)=y+3\quad…①\\
3x+2y=-14\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①を整理$
\begin{eqnarray*}
-2(x-3y)&=&y+3\\
-2x+6y&=&y+3\\
-2x+6y-y&=&3\\
-2x+5y&=&3\quad…③
\end{eqnarray*}
$②\times2 \ + \ ③\times3$
\begin{eqnarray*}
6x+4y=-28\\
\underline{+) \quad -6x+15y=\phantom{-1}9}\\
19y=-19\\
y=-1\phantom{1}
\end{eqnarray*}
$y=-1を②に代入$
\begin{eqnarray*}
3x+2\times(-1)&=&-14\\
3x-2&=&-14\\
3x&=&-12\\
x&=&-4
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-4\\
y=-1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
④番 ①の式を $10$ 倍して小数をなくします。加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
-0.5x+0.4y=-3.4\quad…①\\
-x+2y=-2\quad…②
\end{array}
\right.\\
\end{eqnarray*}
$①\times10$
\begin{eqnarray*}
-5x+4y&=&-34…③
\end{eqnarray*}
$②\times2 \ - \ ③$
\begin{eqnarray*}
-2x+4y=-\phantom{3}4\\
\underline{-) \quad -5x+4y=-34}\\
3x\phantom{+4xy}=\phantom{-}30\\
x=10\phantom{-}
\end{eqnarray*}
$x=10を②に代入$
\begin{eqnarray*}
10-2y&=&2\\
-2y&=&-8\\
y&=&4
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=10\\
y=4
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} ⑤ \ \left\{ \begin{array}{l} -\cfrac{1}{2}x+\cfrac{3}{4}y=7\\ 2x-5y=-44 \end{array} \right. \qquad⑥ \ 3x-2y=7x+5y+2=13 \end{eqnarray*}
答え
$⑤\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-2\\
y=8
\end{array}
\right.
\quad⑥
\left\{
\begin{array}{l}
x=3\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
⑤番 ①の式を $4$ 倍して分母をはらいます。加減法で、$x$ を消去して解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
-\cfrac{1}{2}x+\cfrac{3}{4}y=7\quad…①\\
2x-5y=-44\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①\times4$
\begin{eqnarray*}
-2x+3y&=&28…③
\end{eqnarray*}
$② \ + \ ③$
\begin{eqnarray*}
2x-5y=-44\\
\underline{+) \quad -2x+3y=\phantom{-}28}\\
-2y=-16\\
y=8\phantom{-2}
\end{eqnarray*}
$y=8を②に代入$
\begin{eqnarray*}
2x-5\times(8)&=&-44\\
2x-40&=&-44\\
2x&=&-4\\
x&=&-2
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-2\\
y=8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
⑥番 まんなかをかくした式をつくり、①とします。左側をかくした式をつくって整理し、②とします。①の式と②の式を連立させ、$y$ の係数をそろえて加減法で解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ 3x-2y=7x+5y+2=13
\end{eqnarray*}
$まんなかをかくした式をたてる$
\begin{eqnarray*}
3x-2y&=&13\quad…①
\end{eqnarray*}
$左側をかくした式をたてて整理する$
\begin{eqnarray*}
7x+5y+2&=&13\\
7x+5y&=&11\quad…②
\end{eqnarray*}
$①と②を連立させる$
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
3x-2y=13\quad…①\\
7x+5y=11\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①\times5 \ + \ ②\times2$
\begin{eqnarray*}
15x-10y=65\\
\underline{+) \quad 14x+10y=22}\\
29x\phantom{-10y}=87\\
x=3\phantom{2}
\end{eqnarray*}
$x=3を①に代入$
\begin{eqnarray*}
3\times(3)-2y&=&13\\
9-2y&=&13\\
-2y&=&4\\
y&=&-2
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=3\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$\huge{3}$ 次の①~⑤のことがらについて、$y$ を $x$ の式であらわしなさい。また、$y$ が $x$ の $1$ 次関数である場合は〇、そうでない場合は×をかきなさい。
$①\quad 1$ 個 $50$ 円のパンを $x$ 個買い、$1000$ 円をはらったときのおつりが $y$ 円
答え
$y=-50x+1000\quad 〇$
$(y=1000-50xも可)$
$y=ax+b$ の形なので $1$ 次関数です。
$②\quad 10km$ の道のりを、時速 $xkm$ で歩いたときにかかった時間が $y$ 時間
答え
$y=\cfrac{10}{x}\quad ×$
$y=\cfrac{a}{x}$ の形なので、この式は反比例です。反比例は $1$ 次関数ではありません。
$③\quad$半径$ xcm$ の円の面積が $ycm^2$
答え
$y=\pi x^2\quad ×$
$x^2$ なので、$1$ 次関数ではありません。
$④\quad130$ ページの本を $1$ 日 $10$ ページずつ $ x$ 日間読んだときの残りのページが $y$ ページ
答え
$y=-10x+130\quad 〇$
$(y=130-10xも可)$
$⑤\quad1$ 辺が $xcm$ の正方形の周の長さ $ycm$
答え
$y=4x\quad 〇$
$y=ax$ の形なので比例です。比例は $1$ 次関数です。
$\huge{4}$ $1$ 次関数 $y=-4x+1$ について、次の $①~③$ の問いに答えなさい。
$①\quad x$ の値が $-1$ から$2$ まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
答え
$-4$
$1$ 次関数 $y=ax+b$ で変化の割合をきかれたときは、$a$ を答えといてください。計算もなんもありません。$a$ を答えておけばいいんです。テストのときはそうやっちゃってください。
$②\quad x$ の値が $-1$ から$2$ まで増加するときの $y$ の増加量を求めなさい。
答え
$-12$
$yの増加量=xの増加量\times変化の割合$ です。
この問題の場合、$x$ の増加量は、$x$ の値が $-1$ から$2$ まで増加したのですから $3$ です。
変化の割合は $-4$ です。なので、
$$yの増加量=xの増加量\times変化の割合=3\times(-4)=-12$$
$③\quad x$ の変域が $-1 \leqq x \leqq 2$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。
答え
$-7 \leqq y \leqq 5$
「$x$ の変域が $a \leqq x \leqq b$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」というお決まりの問題があって、こうきかれたときは、答えの形はこうです。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。小さい数と大きい数っていうのは、 $-1 \leqq x \leqq 2$ の $-1$ と $2$ をそれぞれ問題の $y=-4x+1$ の $x$ に代入してえられる数です。じゃあまず、 $x=-1$ を $y=-4x+4$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-4×(-1)+1\\ &=&4+1\\ &=&5\\ \end{eqnarray*} 次に、 $x=2$ を $y=-4x+1$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-4×2+1\\ &=&-8+1\\ &=&-7\\ \end{eqnarray*} これで、$5$ と $-7$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればよいです。じゃあ答えを書きましょう。$$-7 \leqq y \leqq 5$$ これでOKです。ただし、 $y$ の変域をきかれたときのこのやり方は、3年生で習う「2乗に比例する関数$y=ax^2$」では通用しないから気をつけてください。
$\huge{5}$ 次の $①~⑧$ の直線の式を求めなさい。
$①$ 変化の割合が $-\cfrac{1}{2}$ で点$(4,2)$を通る。
答え
$y=-\cfrac{1}{2}x+4$
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
変化の割合というのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=-\cfrac{1}{2}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-\cfrac{1}{2}x+b$$
となります。あと、「点$(4,2)$を通る」というのは、$x=4$ のとき $y=2$ という意味です。これをこの $y=-\cfrac{1}{2}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
2&=&-\cfrac{1}{2}×4+b\\
2&=&-2+b\\
2+2&=&b\\
4&=&b
\end{eqnarray*}
$b$ は右辺においたままにして解いていくのがおすすめです。たぶんこういうやり方って、このあたりで初めて見るのかもしれません。最初はとまどうと思いますが、1次関数で $b$ を求めるときは、このやり方のほうがミスが少ないです。だからこれがおすすめです。まあどうしてもなじめなかったら由緒正しく $b$ を左辺にもってって解いてもいいです。
ともかく、これでめでたく $a=-\cfrac{1}{2}$ , $b=4$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{1}{2}x+4$$
$②$ 傾きが $3$ で、 $x=2$ のとき $y=-2$ となる。
答え
$y=3x-8$
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きというのは $a$ のことです。だから $a=3$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=3x+b$$
となります。 $x=2$ , $y=-2$ をこの $y=3x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
-2&=&3×2+b\\
-2&=&6+b\\
-2-6&=&b\\
-8&=&b
\end{eqnarray*}
これで $a=3$ , $b=-8$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=3x-8$$
$③$ \(\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\) が $\cfrac{1}{3}$ で、点 $(6,-2)$ を通る。
答え
$y=\cfrac{1}{3}x-4$
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
\(\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\)というのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=\cfrac{1}{3}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=\cfrac{1}{3}x+b$$
となります。 $x=6$ , $y=-2$ をこの $y=\cfrac{1}{3}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
-2&=&\cfrac{1}{3}×6+b\\
-2&=&2+b\\
-2-2&=&b\\
-4&=&b
\end{eqnarray*}
これで $a=\cfrac{1}{3}$ , $b=-4$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{3}x-4$$
$④$ $x$ の値が $4$ 増加すると $y$ の値が $12$ 増加し、$x=3$ のとき $y=8$ となる。
答え
$y=3x-1$
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
1次関数のときは \(a=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\)だから、この問題の場合は $a=\cfrac{12}{4}=3$ となります。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=3x+b$$
となります。 $x=3$ , $y=8$ をこの $y=3x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
8&=&3×3+b\\
8&=&9+b\\
8-9&=&b\\
-1&=&b
\end{eqnarray*}
これで $a=3$ , $b=-1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=3x-1$$
$⑤$ 直線 $y=\cfrac{2}{3}x-5$ に平行で、点$(3,-2)$ を通る。
答え
$y=\cfrac{2}{3}x-4$
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きが等しいとき、2直線は平行になります。$y=\cfrac{2}{3}x-5$ に平行ということは、求めたい直線の傾きは $\cfrac{2}{3}$ だということになります。つまり $a=\cfrac{2}{3}$ です。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=\cfrac{2}{3}x+b$$
となります。 $x=3$ , $y=-2$ をこの $y=\cfrac{2}{3}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
-2&=&\cfrac{2}{3}×3+b\\
-2&=&2+b\\
-2-2&=&b\\
-4&=&b
\end{eqnarray*}
これで $a=\cfrac{2}{3}$ , $b=-4$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{2}{3}x-4$$
$⑥$ $y$ 切片が $1$ で、点$(2,5)$ を通る。
答え
$y=2x+1$
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y$ 切片というのは $b$ のことです。だから $b=1$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=ax+1$$
となります。 $x=2$ , $y=5$ をこの $y=ax+1$ に代入して、 $a$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
5&=&2a+1\\
-2a&=&1-5\\
-2a&=&-4\\
a&=&2
\end{eqnarray*}
これで $a=2$ , $b=1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=2x+1$$
$⑦$ $2$ 点$(-6,5),(1,-9)$ を通る。
答え
$y=-2x-7$
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、
$$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-6,5),(1,-9)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、
\begin{eqnarray*}
a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=&\cfrac{-9-5}{1-(-6)}\\
&=&\cfrac{-14}{7}\\
&=&-2\\
\end{eqnarray*}
これで $a=-2$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、
$$y=-2x+b$$
ここに、 $(-6,5),(1,-9)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。計算さえまちがえなければ、どっちをいれても答えは同じになります。だから、計算がラクそうなほうをいれるのが得。今回は、 $(1,-9)$ のほうをいれてみましょう。
\begin{eqnarray*}
-9&=&-2×1+b\\
-9&=&-2+b\\
-9+2&=&b\\
-7&=&b
\end{eqnarray*}
これで $a=-2$ , $b=-7$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-2x-7$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、連立方程式をたてて $a$ と $b$ を求めていく、という定番のやり方があります。ここで紹介しているやり方と、連立方程式をたてるのと、両方ためして、好きなほうでやってください。連立方程式をたててやるやり方は、次の問題で説明します。
$⑧$ $x=4$ のとき $y=2$ で、$x=8$ のとき $y=-1$ となる。
答え
$y=-\cfrac{3}{4}x+5$
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y=ax+b$ に $x=4,y=2$ を代入すると
$$2=4a+b$$
$y=ax+b$ に $x=8,y=-1$ を代入すると
$$-1=8a+b$$
こうしてできたふたつの式を連立させて解きます。引き算をすれば $b$ が消えます。
\begin{eqnarray*}
\phantom{-}2=4a+b\\
\underline{-) \quad -1=8a+b}\\
\phantom{-}3=-4a\phantom{11}\\
-\cfrac{3}{4}=a\phantom{+11}
\end{eqnarray*}
$a=-\cfrac{3}{4}$ を $2=4a+b$ に代入して $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
2&=&4\times\left(-\cfrac{3}{4}\right)+b\\
2&=&-3+b\\
2+3&=&b\\
5&=&b
\end{eqnarray*}
これで $a=-\cfrac{3}{4}$ , $b=5$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{3}{4}x+5$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、前の問題で説明した $a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ という公式を使って、まず $a$ を求めてしまう、というやり方でもいけます。どっちでもいけます。テストのときは好きなほうでやってください。
$\huge{6}$ $y$ が $x$ の1次関数であるとき、表のア~ウにあてはまる数をこたえなさい。また、$y$ を $x$ の式で表しなさい。
\begin{array}{c|ccccc}
\hline
x & -9 & -3 & イ & 6 & ウ \\
\hline
y & -9 & ア & -6 & -4 & 0 \\
\hline
\end{array}
答え
ア…$-7$, イ…$0$, ウ…$18$, 式 $y=\cfrac{1}{3}x-6$
まず、$y$ を $x$ の式で表してしまいましょう。そのために、$x$ と $y$ がわかっている組を $2$ 組、見つけます。必ず $2$ 組はあるはずです。この問題の場合は、$x=-9$ のとき $y=-9$, $x=6$ のとき $y=-4$ というのがありますね。これで $a$ を求めることができます。$(-9, -9), (6, -4)$ だと思ってもいいです。$a$ が求まりますよね?
$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ を使って、
$a=\cfrac{-4-(-9)}{6-(-9)}=\cfrac{5}{15}=\cfrac{1}{3}$
$y=\cfrac{1}{3}x+b$ に $(6,-4)$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
-4&=&\cfrac{1}{3}\times6+b\\
-4&=&2+b\\
-6&=&b
\end{eqnarray*}
これで、式は $y=\cfrac{1}{3}x-6$ だと求められました。あとはアとイとウをだしていきましょう。
アは $x=-3$ のときの $y$ の値のことだから、
\begin{eqnarray*}
y&=&\cfrac{1}{3}\times(-3)-6=-1-6=-7
\end{eqnarray*}
イは $y=-6$ のときの $x$ の値のことだから、
\begin{eqnarray*}
-6&=&\cfrac{1}{3}x-6 \quad(両辺に\times3)\\
-18&=&x-18\\
0&=&x
\end{eqnarray*}
ウは $y=0$ のときの $x$ の値のことだから、
\begin{eqnarray*}
0&=&\cfrac{1}{3}x-6 \quad(両辺に\times3)\\
0&=&x-18\\
18&=&x
\end{eqnarray*}
これですべて求まりました。答えを書きましょう。
ア…$-7$, イ…$0$, ウ…$18$, 式 $y=\cfrac{1}{3}x-6$
$\huge{7}$
次の $①~④$ にあてはまるものを下のア~カのなかからすべて選び、記号で答えなさい。
$①$ グラフが右上がりの直線である。
答え
イ,エ
$y=ax+b$ の 形のものが直線のグラフになります。
$a\gt0$ のとき、グラフは右上がりになります。
$②$ グラフが点 $(2, \ -1)$ を通る。
答え
ア,ウ
ア~カの式に $x=2$ を代入して、$y=-1$ となるものが答えです。めんどくさいですが、ひとつひとつ全部確かめなきゃだめです。 \begin{eqnarray*} &ア& \quad y=-\cfrac{2}{2}=-1\\ &イ& \quad y=2\times2=4\\ &ウ& \quad y=-2\times2+3=-4+3=-1\\ &エ& \quad y=\cfrac{1}{2}\times2+1=1+1=2\\ &オ& \quad y=-2\times2=-4\\ &カ& \quad y=-\cfrac{1}{2}\times2+3=-1+3=2 \end{eqnarray*}
$③$ グラフが平行である。
答え
ウとオ
アは式の形が反比例なので、グラフは直線ではないので気にしなくていいです。んで、あとのグラフは直線の式なのですが、$y=ax+b$ の $a$ の値がおなじだとグラフが平行になります。なのでこの問題の答えはウとオです。
$④$ グラフが $y$ 軸上で交わる。 \begin{eqnarray*} &ア& \quad y=-\cfrac{2}{x} \qquad &イ& \quad y=2x \qquad &ウ& \quad y=-2x+3\\ &エ& \quad y=\cfrac{1}{2}x+1 \qquad &オ& \quad y=-2x \qquad &カ& \quad y=-\cfrac{1}{2}x+3 \end{eqnarray*}
答え
イとオ,ウとカ
アは式の形が反比例なので、グラフは双曲線なので、$y$ 軸上は通らないので気にしなくていいです。んで、あとのグラフは $y$ 軸上を通るのですが、$y=ax+b$ の $b$ の値がおなじだと $y$ 軸上で交わります。なのでこの問題の答えはイとオ,ウとカです。
イとオはどちらも比例のグラフで、どちらも原点を通ります。$y$ 軸上で交わっているといえます。どちらも $b=0$ なんだから $b$ が等しい、とおもっちゃってもいいです。
$\huge{8}$
次の $①~⑥$ のグラフをかきなさい。
\begin{eqnarray*}
&&① \quad y=3x+1\\
&&② \quad y=-\cfrac{2}{3}x-2\\
&&③ \quad y=-\cfrac{4}{3}x-\cfrac{2}{3}\\
&&④ \quad 3x-6y=12\\
&&⑤ \quad x=-2\\
&&⑥ \quad y=4
\end{eqnarray*}
答え
$①$ 切片が $1$ なので、$y$ 軸の $1$ をスタート地点にします。傾きが $3$ なので、$\cfrac{3}{1}$ なので、右に $1$ 歩行って上に $3$ 歩行く点をとっていきます。点を定規で結びます。
$②$ 切片が $-2$ なので、$y$ 軸の $-2$ をスタート地点にします。傾きが $-\cfrac{2}{3}$ なので、右に $3$ 歩行って下に $2$ 歩行く点をとっていきます。点を定規で結びます。
$③$ 切片が分数なので、$x$ と $y$ がどちらも整数になるところを探します。はじめはテキトーです。テキトーに $x$ に整数を代入していって、$y$ も整数になるやつをさがします。たとえば $x$ に $1$ を代入すると、$y=-2$ となります。なので、点 $(1, \ -2)$ をスタート地点にします。傾きが $-\cfrac{4}{3}$ なので、右に $3$ 歩行って下に $4$ 歩行く点をとります。点を定規で結びます。
$④$ まず式を $y$ について解きます。
\begin{eqnarray*}
3x-6y&=&12\\
-6y&=&-3x+12\quad両辺に-1をかける\\
6y&=&3x-12\quad両辺に\cfrac{1}{6}をかける\\
y&=&\cfrac{1}{2}x-2\\
\end{eqnarray*}
これで $y=ax+b$ の形になったので、あとはこのグラフをかけばよいです。
$⑤$ $y$ 軸に平行な線です。たて線です。$x$ 軸の $-2$ を通るようにします。
$⑤$ $x$ 軸に平行な線です。よこ線です。$y$ 軸の $4$ を通るようにします。
$\huge{9}$ 下の $①~③$ の直線の式を求めなさい。
答え
\begin{eqnarray*}
&&①\quad y=2x-3\\
&&②\quad y=-\cfrac{1}{2}x+1\\
&&③\quad y=-\cfrac{3}{4}x-\cfrac{5}{4}
\end{eqnarray*}
「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$①$ $y$ 軸上の $-3$ を通っています。なので $b=-3$ です。そこから右に $1$ 歩行って上に $2$ 歩行っています。$a=\cfrac{縦}{右}$ なので $a=\cfrac{2}{1}=2$ です。なので式は$$y=2x-3$$
$②$ $y$ 軸上の $1$ を通っています。なので $b=1$ です。そこから右に $2$ 歩行って下に $1$ 歩行っています。$a=\cfrac{縦}{右}$ なので $a=\cfrac{-1}{2}$ です。なので式は$$y=-\cfrac{1}{2}x+1$$
$③$ $y$ 軸上のぴったりしたところを通っていません。こういうときは、カドを通っているところを $2$ か所さがします。この直線の場合は、点 $(-3, \ 1)$ と点 $(1, \ -2)$ を通っています。この $2$ 点を通る直線の式、ということで計算で求めればよいです。
\begin{eqnarray*}
a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=&\cfrac{-2-1}{1-(-3)}\\
&=&\cfrac{-3}{4}\\
&=&-\cfrac{3}{4}\\
\end{eqnarray*}
これで $a=-\cfrac{3}{4}$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、
$$y=-\cfrac{3}{4}x+b$$
ここに、 $(-3,1),(1,-2)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。今回は、 $(1,-2)$ のほうをいれてみましょう。
\begin{eqnarray*}
-2&=&-\cfrac{3}{4}×1+b\\
-2&=&-\cfrac{3}{4}+b\\
-2+\cfrac{3}{4}&=&b\\
-\cfrac{8}{4}+\cfrac{3}{4}&=&b\\
-\cfrac{5}{4}&=&b
\end{eqnarray*}
これで $a=-\cfrac{3}{4}$ , $b=-\cfrac{5}{4}$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{3}{4}x-\cfrac{5}{4}$$
$\huge{10}$
次の連立方程式の解を、グラフをかいて求めなさい。
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
2x-y=4\\
2x+3y=12
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}
加減法や代入法を使って解いてしまうこともできますが、それだとテストのとき点数はもらえません。グラフをかいていなければダメです。というわけでグラフをかきます。このままでは傾きや切片がわかりませんので、こういうときは、それぞれの式を $y$ について解きます。
\begin{eqnarray*}
2x-y&=&4\\
-y&=&-2x+4\\
y&=&2x-4\qquad\cdots①
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
2x+3y&=&12\\
3y&=&-2x+12\\
y&=&\cfrac{-2}{3}x+\cfrac{12}{3}\\
y&=&-\cfrac{2}{3}x+4\qquad\cdots②
\end{eqnarray*}
こうしてできた $2$ つの式をおなじグラフ上にかいて、その交点を座標を答えればいいです。交点の座標は点$(3, \ 2)$ ですね。$x=3, \ y=2$ が解です。
$\huge{11}$ 2つの直線 $y=2x+5$ と $y=-3x-5$ の交点の座標を計算して求めなさい。
答え
$(-2,1)$
2直線の交点の座標は連立方程式の解です。
連立方程式\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
y=2x+5\\
y=-3x-5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
を解いて、その解がこの問題の答えです。代入法で、
(上の式の右辺)=(下の式の右辺)という式をたてて解いていきましょう。
\begin{eqnarray*}
2x+5&=&-3x-5\\
2x+3x&=&-5-5\\
5x&=&-10\\
x&=&-2\\
\end{eqnarray*}
$y=2x+5$ に $x=-2$ を代入して $y$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
y&=&2×(-2)+5\\
&=&-4+5\\
&=&1\\
\end{eqnarray*}
これで $x=-2$ , $y=1$ というふうに、解が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$(-2,1)$$
この問題は「座標を求めよ」といわれているのだから、座標の書きかたで答えるようにしましょう。
$\huge{12}$ 下の $①, \ ②$ の2つの直線の交点の座標を求めなさい。
答え
$\left(-\cfrac{5}{4},-\cfrac{3}{4}\right)$
2直線の交点の座標は連立方程式の解です。まず、2つの直線の式をグラフから求めます。 $①, \ ②$ の直線の式はそれぞれ
$$y=3x+3\qquad\cdots①$$
$$y=-x-2\qquad\cdots②$$
もしわからなかったら、$9$ 番の問題のやり方を確認してください。
んで、この問題に答えるには、連立方程式
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
y=3x+3\\
y=-x-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
を解けばいいです。代入法で、
$①$の式の右辺=$②$の式の右辺
という式をたてて解いていきましょう。
\begin{eqnarray*}
3x+3&=&-x-2\\
3x+x&=&-2-3\\
4x&=&-5\\
x&=&-\cfrac{5}{4}\\
\end{eqnarray*}
$y=3x+3$ に $x=-\cfrac{5}{4}$ を代入して $y$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
y&=&3×(-\cfrac{5}{4})+3\\
&=&-\cfrac{15}{4}+\cfrac{12}{4}\\
&=&-\cfrac{3}{4}\\
\end{eqnarray*}
これで $x=-\cfrac{5}{4}$ , $y=-\cfrac{3}{4}$ というふうに、解が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$\left(-\cfrac{5}{4},-\cfrac{3}{4}\right)$$
この問題の答えは整数にはなりません。交点はぴったりとしたカドにはないからです。答えは分数になるはず。そう思って解いていきましょう。
$\huge{13}$ $1$ 個 $80$ 円のりんごと、$1$ 個 $30$ 円のみかんをあわせて $13$ 個買い、全部で $740$ 円はらった。りんごとみかんはそれぞれ何個ずつ買ったか。
答え
りんご…$7$個 みかん…$6$個
りんごを $x$ 個、みかんを $y$ 個買ったことにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、りんごとみかんをあわせて $13$ 個買ったのですから、
$$x+y=13$$
$2$ つ目の式は、金額で式をたてます。あわせて $740$ 円はらったのですから、
$$80x+30y=740$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
x+y=13\quad…①\\
80x+30y=740\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
$①\times3 \ - \ ②\div10$
\begin{eqnarray*}
3x+3y=\phantom{-}39\\
\underline{-) \quad 8x+3y=\phantom{-}74}\\
-5x\phantom{+3y}=-35\\
x=7\phantom{-2}
\end{eqnarray*}
$x=7を①に代入$
\begin{eqnarray*}
7+y&=&13\\
y&=&6
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=7\\
y=6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
※かならず、きかれていることに答えましょう。$x=7, \ y=6$ なんて答えてしまったら、マルになりません。りんご $7$ 個、みかん $6$ 個と答えましょう。
$\huge{14}$ $A$ 地点から $C$ 地点まで $1800m$ の道のりを、$A$ 地点から途中の $B$ 地点までは分速 $240m$ の速さで進み、$B$ 地点から $C$ 地点までは分速 $60m$ の速さで進んだところ、全部で $15$ 分かかった。$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりと、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。
答え
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$1200m$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$600m$
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりを $xm$、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりを $ym$ とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $1800m$ ですから、
$$x+y=1800$$
$2$ つ目の式は、$A~B$ 間にかかった時間と $B~C$ 間にかかった時間をあわせたら $15$ 分で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、
$$\cfrac{x}{240}+\cfrac{y}{60}=15$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
x+y=1800\quad…①\\
\cfrac{x}{240}+\cfrac{y}{60}=15\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$②の分母をはらう\\
\begin{eqnarray*}
\qquad\cfrac{x}{240}+\cfrac{y}{60}&=&15\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times240)}\\
x+4y&=&3600\quad…③
\end{eqnarray*}
$
加減法で解きます。
$③ \ - \ ①$
\begin{eqnarray*}
x+4y=3600\\
\underline{-) \quad x+\phantom{4}y=1800}\\
3y=1800\\
y=\phantom{1}600\\
\end{eqnarray*}
$y=600を①に代入$
\begin{eqnarray*}
x+600&=&1800\\
x&=&1800-600\\
x&=&1200
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=1200\\
y=600
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$\huge{15}$ $8$ %の食塩水と $3$ %の食塩水をまぜて、$6$ %の食塩水を $500g$ つくりたい。$8$ %の食塩水と $3$ %の食塩水は、それぞれ何 $g$ ずつまぜればよいか。
答え
$8$ %の食塩水…$300g$
$3$ %の食塩水…$200g$
$8$ %の食塩水を $xg$、$3$ %の食塩水を $yg$ まぜることにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、食塩水全体の重さは $500g$ ですから、
$$x+y=500$$
$2$ つ目の式は、$8$ %の食塩水 $xg$ にふくまれる食塩の重さと $3$ %の食塩水 $yg$ にふくまれる食塩の重さをあわせたら、全体の食塩水 $500g$ にふくまれる食塩の重さということで式をたてます。
「食塩$=$食塩水$\times$濃度」ですから、
$$\cfrac{8}{100}x+\cfrac{3}{100}y=\cfrac{6}{100}\times500$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
x+y=500\quad…①\\
\cfrac{8}{100}x+\cfrac{3}{100}y=\cfrac{6}{100}\times500\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$②の分母をはらう\\
\begin{eqnarray*}
\qquad8x+3y=3000\quad…③
\end{eqnarray*}
$
加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
$①\times3 \ - \ ③$
\begin{eqnarray*}
3x+3y=\phantom{-}1500\\
\underline{-) \quad 8x+3y=\phantom{-}3000}\\
-5x\phantom{+3y}=-1500\\
x=\phantom{-0}300
\end{eqnarray*}
$x=300を①に代入$
\begin{eqnarray*}
300+y&=&500\\
y&=&200
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=300\\
y=200
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$\huge{16}$ ある学校の昨年度の生徒数は $850$ 人だったが、今年度は昨年度にくらべて男子は $8$ %減り、女子は $6$ %増えたため、$838$ 人となった。昨年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。
答え
男子…$450$ 人
女子…$400$ 人
昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $850$ 人ですから、
$$x+y=850$$
$2$ つ目は、男子の $8$ %減と、女子の $6$ %増をあわせたら、全体としては $12$ 人減っている、ということで式をたてます。
$$-\cfrac{8}{100}x+\cfrac{6}{100}y=-12$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
x+y=850\quad…①\\
-\cfrac{8}{100}x+\cfrac{6}{100}y=-12\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$②の分母をはらう\\
\begin{eqnarray*}
\qquad-8x+6y&=&-1200\quad \class{mathbg-r}{(両辺を2で割る)}\\
-4x+3y&=&-600\quad…③
\end{eqnarray*}
$
加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。
$①\times4 \ + \ ③$
\begin{eqnarray*}
4x+4y=\phantom{-}3400\\
\underline{+) \quad -4x+3y=-600}\\
7y=\phantom{-}2800\\
y=\phantom{-0}400
\end{eqnarray*}
昨年度の女子生徒数を $y$ ということにして、$y$ が求められました。きかれているのは、昨年度の男子と女子です。昨年度の生徒数は全体で $850$ 人ですから、
$$850-400=450$$
となって、昨年度の男子生徒は $450$ 人です。
答え(中2 2学期中間模擬テスト 第1回)
1$①20$ $②\cfrac{1}{6}$ $③-29$ $④3a-3b$ $⑤\cfrac{-x+y}{6} \ \left(-\cfrac{x-y}{6}も可\right)$ $⑥6a^3b^2$ $⑦-2y$ $⑧\cfrac{3}{y}$
2$①x=20, \ y=10$ $②x=6, \ y=-3$ $③x=-4, \ y=-1$ $④x=10, \ y=4$ $⑤x=-2, \ y=8$ $⑥x=3, \ y=-2$
3$①y=-50x+1000$ 〇 $②y=\cfrac{10}{x}$ × $③y=\pi x^2$ × $④y=-10x+130$ 〇 $⑤y=4x$ 〇
4$①-4$ $②-12$ $③-7 \leqq y \leqq 5$
5$①y=-\cfrac{1}{2}x+4$ $②y=3x-8$ $③y=\cfrac{1}{3}x-4$ $④y=3x-1$ $⑤y=\cfrac{2}{3}x-4$ $⑥y=2x+1$ $⑦y=-2x-7$ $⑧y=-\cfrac{3}{4}x+5$
6ア…$-7$, イ…$0$, ウ…$18$, 式 $y=\cfrac{1}{3}x-6$
7①イ,エ ②ア,ウ ③ウとオ ④イとオ,ウとカ
8 右上図
9$①y=2x-3$ $②y=-\cfrac{1}{2}x+1$ $③y=-\cfrac{3}{4}-\cfrac{5}{4}$
10 $x=3, \ y=2$ グラフ右下図
11$(-2, \ 1)$
12 $\left(-\cfrac{5}{4}, \ -\cfrac{3}{4}\right)$
13 りんご…$7$個 みかん…$6$個
14 $A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$1200m$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$600m$
15 $8$ %の食塩水…$300g$
$3$ %の食塩水…$200g$
16 男子…$450$ 人
女子…$400$ 人