\begin{eqnarray*} &①& 8-6\times(-2)\\ &=& 8+12\\ &=&20 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& \cfrac{2}{3}-1+\cfrac{1}{4}\\ &=& \cfrac{8}{12}-\cfrac{12}{12}+\cfrac{3}{12}\\ &=& -\cfrac{1}{12} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &③& -8\times4+(-5)^2\\ &=& -8\times4+25\\ &=&-32+25\\ &=&-7 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &④& 2(3a-b)-(7a-2b)\\ &=& 6a-2b-7a+2b\\ &=& 6a-7a-2b+2b\\ &=& -a \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑤& \cfrac{2x-5y}{3}-\cfrac{x-4y}{2}\\ &=& \cfrac{2(2x-5y)-3(x-4y)}{6}\\ &=& \cfrac{4x-10y-3x+12y}{6}\\ &=& \cfrac{4x-3x-10y+12y}{6}\\ &=& \cfrac{x+2y}{6} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑥& 5ab^2\times(-3ab)\\ &=& -15a^2b^3 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑦& 10x\div(-30xy)\times9y^2\\ &=& -\cfrac{10x\times9yy}{30xy}\\ &=& -\cfrac{\bcancel{10}\bcancel{x}\times{}^3\bcancel{9}\bcancel{y}y}{{}^{\bcancel{3}}\bcancel{30}\bcancel{x}\bcancel{y}}\\ &=& -3y \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑧& 2x^2\div\cfrac{6}{5}x^2y^2\times\cfrac{3}{10}y\\ &=& \cfrac{2xx}{1}\div\cfrac{6xxyy}{5}\times\cfrac{3y}{10}\\ &=& \cfrac{2xx}{1}\times\cfrac{5}{6xxyy}\times\cfrac{3y}{10}\\ &=& \cfrac{\bcancel{2}\bcancel{x}\bcancel{x}}{1}\times\cfrac{\bcancel{5}}{\bcancel{6}\bcancel{x}\bcancel{x}\bcancel{y}y}\times\cfrac{\bcancel{3}\bcancel{y}}{{}^2\bcancel{10}}\\ &=&\cfrac{1}{2y} \end{eqnarray*}

①番　代入法で、①の式を②の式に代入して解きます。
\begin{eqnarray*} 2\times(-2y-3)-3y&=&8\\ -4y-6-3y&=&8\\ -7y&=&14\\ y&=&-2 \end{eqnarray*} $y=-2を①に代入$ \begin{eqnarray*} x&=&-2\times(-2)-3\\ &=&1\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=1\\ y=-2 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ②番　①の式のかっこをはずし、整理します。加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
\begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 12(2x-1)+3y=-x-10\quad…①\\ 7x+2y=11\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①を整理$ \begin{eqnarray*} 12(2x-1)+3y&=&-x-10\\ 24x-12+3y&=&-x-10\\ 24x+3y+x&=&-10+12\\ 25x+3y&=&2\quad…③ \end{eqnarray*} $②\times3 \ - \ ③\times2$ \begin{eqnarray*} 21x+6y=33\\ \underline{-) \quad 50x+6y=\phantom{3}4}\\ -29x\phantom{+6y}=29\\ x=-1 \end{eqnarray*} $x=-1を②に代入$ \begin{eqnarray*} 7\times(-1)+2y&=&11\\ -7+2y&=&11\\ 2y&=&18\\ y&=&9 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-1\\ y=9 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

③番　分数があるときは分母の公倍数をかけて分母をはらいます。小数があるときは $\times10$ や $\times100$ をして小数を消します。そのへんは $1$ 次方程式のときと同じです。そのあとは $x$ か $y$ の係数をそろえて足すか引くかして、$1$ 文字消去していけばいいです。
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{3}{4}x+\cfrac{5}{6}y=-4\quad…①\\ 0.6x+0.7y=-3\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①の式に12をかけて分母をはらう$ \begin{eqnarray*} \cfrac{3}{4}x+\cfrac{5}{6}y&=&-4\\ 9x+10y&=&-48\qquad…③ \end{eqnarray*} $②の式に10をかけて小数をなくす$ \begin{eqnarray*} 0.6x+0.7y&=&-3\\ 6x+7y&=&-30\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times2\ - \ ④\times3$ \begin{eqnarray*} 18x+20y=-96\\ \underline{-) \quad 18x+21y=-90}\\ -y=-6\phantom{0}\\ y=6\phantom{0} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=6を④に代入\\ 6x+7\times(6)&=&-30\\ 6x+42&=&-30\\ 6x&=&-72\\ x&=&-12\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-12\\ y=6 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ④番　まんなかをかくした式をつくり、①とします。左側をかくした式をつくって整理し、②とします。①の式と②の式を連立させ、$y$ の係数をそろえて加減法で解きます。
まず、まんなかをかくせば、
$3x-2y=-4$ という式ができます。
それから、左がわをかくせば、
$x+2y=-4$ という式ができます。 んで、この $2$ つの式を連立させて解いていくわけです。
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x-2y=-4\qquad…①\\ x+2y=-4\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} 加減法で $y$ を消去して解くことにして、
$① \ + \ ②$ \begin{eqnarray*} 3x-2y=-4\\ \underline{-) \quad x+2y=-4}\\ 4x\phantom{+21y}=-8\\ x=-2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-2を②に代入\\ -2+2y&=&-4\\ 2y&=&-2\\ y&=&-1\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-2\\ y=-1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

$1$ 次関数 $y=ax+b$ で変化の割合をきかれたときは、$a$ を答えといてください。計算もなんもありません。$a$ を答えておけばいいんです。テストのときはそうやっちゃってください。

$yの増加量=xの増加量\times変化の割合$ です。
この問題の場合、$x$ の増加量は、$x$ の値が $-4$ から $2$ まで増加したのですから $6$ です。
変化の割合は $-\cfrac{1}{2}$ です。なので、
\begin{eqnarray*} yの増加量&=&xの増加量\times変化の割合\\ &=&6\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)\\ &=&-3 \end{eqnarray*}

「$x$ の変域が $p \leqq x \leqq q$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」というお決まりの問題があって、こうきかれたときは、答えの形はこうです。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。小さい数と大きい数っていうのは、 $-6 \leqq x \leqq 2$ の $-6$ と $2$ をそれぞれ問題の $y=-\cfrac{1}{2}x+1$ の $x$ に代入してえられる数です。じゃあまず、 $x=-6$ を $y=-\cfrac{1}{2}x+1$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{1}{2}\times(-6)+1\\ &=&3+1\\ &=&4\\ \end{eqnarray*} 次に、 $x=2$ を $y=-\cfrac{1}{2}x+1$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{1}{2}\times2+1\\ &=&-1+1\\ &=&0\\ \end{eqnarray*} これで、$4$ と $0$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればよいです。じゃあ答えを書きましょう。$$0 \leqq y \leqq 4$$ これでOKです。ただし、 $y$ の変域をきかれたときのこのやり方は、3年生で習う「2乗に比例する関数$y=ax^2$」では通用しないから気をつけてください。

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きというのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=-2$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-2x+b$$ となります。あと、「点$(1,2)$を通る」というのは、$x=1$ のとき $y=2$ という意味です。これをこの $y=-2x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 2&=&-2\times1+b\\ 2&=&-2+b\\ 2+2&=&b\\ 4&=&b \end{eqnarray*} $b$ は右辺においたままにして解いていくのがおすすめです。どうしてもなじめなかったら由緒正しく $b$ を左辺にもってって解いてもいいです。ただその場合、符号でまちがえるのをとてもよく見るので、注意してください。
ともかく、これでめでたく $a=-2$ , $b=4$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-2x+4$$

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
1次関数のときは \(a=\cfrac{yの増加量\phantom{増加}}{xの増加量\phantom{増加}}\)だから、この問題の場合は $a=\cfrac{-2}{3}=-\cfrac{2}{3}$ となります。これを $y=ax+b$ に代入すると
$$y=-\cfrac{2}{3}x+b$$ となります。 $x=-9$ , $y=5$ をこの $y=-\cfrac{2}{3}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 5&=&-\cfrac{2}{3}\times(-9)+b\\ 5&=&6+b\\ 5-6&=&b\\ -1&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{2}{3}$ , $b=-1$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{2}{3}x-1$$

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$y$ 切片というのは $b$ のことです。だから $b=-2$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると $$y=ax-2$$ となります。 $x=2$ , $y=-1$ をこの $y=ax-2$ に代入して、 $a$ を求めます。
\begin{eqnarray*} -1&=&2a-2\\ -2a&=&-2+1\\ -2a&=&-1\\ a&=&\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*} これで $a=\cfrac{1}{2}$ , $b=-2$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=\cfrac{1}{2}x-2$$

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-1,4),(3,0)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{0-4}{3-(-1)}\\ &=&\cfrac{-4}{4}\\ &=&-1\\ \end{eqnarray*} これで $a=-1$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=-x+b$$ ここに、 $(-1,4),(3,0)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。今回は、 $(3,0)$ のほうをいれてみましょう。 \begin{eqnarray*} 0&=&-3+b\\ 3&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-1$ , $b=3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-x+3$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、連立方程式をたてて $a$ と $b$ を求めていく、という定番のやり方があります。ここで紹介しているやり方と、連立方程式をたてるのと、両方ためして、好きなほうでやってください。連立方程式をたててやるやり方は、次の問題で説明します。

まず、$y$ を $x$ の式で表してしまいましょう。そのために、$x$ と $y$ がわかっている組を $2$ 組、見つけます。必ず $2$ 組はあるはずです。この問題の場合は、$x=-9$ のとき $y=32$, $x=6$ のとき $y=-13$ というのがありますね。これで $a$ を求めることができます。$(-9, 32), (6, -13)$ だと思ってもいいです。$a$ が求まりますよね？
$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ を使って、
$a=\cfrac{-13-32}{6-(-9)}=\cfrac{-45}{15}=-3$
$y=-3x+b$ に $(6,-13)$ を代入して、 \begin{eqnarray*} -13&=&-3\times6+b\\ -13&=&-18+b\\ -13+18&=b\\ 5&=&b \end{eqnarray*} これで、式は $y=-3x+5$ だと求められました。あとはアとイとウをだしていきましょう。
アは $x=-3$ のときの $y$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} y&=&-3\times(-3)+5=9+5=14 \end{eqnarray*} イは $y=2$ のときの $x$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} 2&=&-3x+5\\ 3x&=&5-2\\ 3x&=&3\\ x&=&1 \end{eqnarray*} ウは $y=-19$ のときの $x$ の値のことだから、 \begin{eqnarray*} -19&=&-3x+5\\ 3x&=&5+19\\ 3x&=&24\\ x&=&8 \end{eqnarray*} これですべて求まりました。答えを書きましょう。
ア…$14$, イ…$1$, ウ…$8$,　式 $y=-3x+5$

$①$ 切片が $3$ なので、$y$ 軸の $3$ をスタート地点にします。傾きが $-2$ なので、$\cfrac{-2}{1}$ なので、右に $1$ 歩行って下に $2$ 歩行く点をとっていきます。点を定規で結びます。
$②$ まず式を $y$ について解きます。 \begin{eqnarray*} 3x-2y&=&4\\ -2y&=&-3x+4\quad両辺に-1をかける\\ 2y&=&3x-4\quad両辺に\cfrac{1}{2}をかける\\ y&=&\cfrac{3}{2}x-2\\ \end{eqnarray*} これで $y=ax+b$ の形になったので、あとはこのグラフをかけばよいです。
$③$ $y$ 軸に平行な線です。たて線です。$x$ 軸の $2$ を通るようにします。

$2$ 直線の交点は連立方程式の解です。ア、イの式を連立方程式にして \begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} y=\cfrac{3}{2}x+3\quad…①\\ y=-\cfrac{1}{2}x-5\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} これを解けばいいです。解き方は、この手の連立方程式は代入法で、右辺 $=$ 右辺の式をたてて、$x$ を求めていきましょう。関数の問題でよく使うパターンです。 \begin{eqnarray*} 代入法で、右辺 &=& 右辺の式にする。\\\\ \cfrac{3}{2}x+3&=&-\cfrac{1}{2}x-5\quad(両辺に\times2)\\ 3x+6&=&-x-10\\ 3x+x&=&-10-6\\ 4x&=&-16\\ x&=&-4 \end{eqnarray*} $x=-4を①に代入$ \begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{3}{2}\times(-4)+3\\ &=&-6+3\\ &=&-3 \\\\ 答え\\ (-4, \ -3) \end{eqnarray*} ※座標をきかれているのだから、かならず座標の答え方で答えましょう。

三角形の面積は「底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$」です。 $AB$ を底辺とします。$P$ から $AB$ におろした垂線と $AB$ との交点を $Q$ とでもしておきます。すると $PQ$ が高さということになります。それぞれの長さを求めて面積をだしましょう。

＜$AB$ について＞
点 $A$ の座標は、直線ア $y=\cfrac{3}{2}x+3$ の切片ですから、$(0, \ 3)$ です。
点 $B$ の座標は、直線イ $y=-\cfrac{1}{2}x-5$ の切片ですから、$(0, \ -5)$ です。
なので、$AB$ の長さは $3+5=8$ です。点 $B$ の $y$ 座標は $-5$ ですが、長さの話なのですから絶対値をいうようにしましょう。

＜$PQ$ について＞
$PQ$ の長さは、点 $P$ の $x$ 座標をみればよいです。点 $P$ の $x$ 座標は $-4$ ですから、$PQ$ の長さは $4$ です。これも長さの話なのですから絶対値をいうようにしましょう。

これで底辺と高さがわかりました。では面積をだしましょう。 $$8\times4\times\cfrac{1}{2}=16$$

点 $P$ の $x$ 座標は $2$ だと問題にかかれています。あとは $y$ 座標がわかればよいです。また、点 $P$ は直線ア上の点です。アの式はわかっているので、この式を使えば $y$ 座標が求められます。 \begin{eqnarray*} y&=&-2x+8 に、x=2を代入\\\\ y&=&-2\times2+8\\ &=&-4+8\\ &=&4 \end{eqnarray*} これで $y=4$ だとわかりました。なので答えは $(2, \ 4)$ です。

イの式は、点 $B(-6, \ 0)$ を通っています。また、点 $P$ も通っているのですが、その座標は $(1)$ の問題で $(2, \ 4)$ だと求めました。この $2$ 点を通る直線の式だということでやれば、イの式がでます。

直線の式を求めなさいといわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、$a$ と $b$ を求めるのが目標になります。

$2$ 点 $(-6, \ 0), \ (2, \ 4)$ を通る直線の式を求めます。 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y-y}{x-x}\\ &=&\cfrac{0-4}{-6-2}=\cfrac{-4}{-8}=\cfrac{1}{2}\\\\ y&=&\cfrac{1}{2}x+bにx=-6,y=0 を代入する\\ 0&=&\cfrac{1}{2}\times(-6)+b\\ 0&=&-3+b\\ 3&=&b\\ \end{eqnarray*} これで $a$ と $b$ がでました。答えは $y=\cfrac{1}{2}x+3$ です。

三角形の面積は「底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$」です。 $AB$ を底辺とします。$P$ から $AB$ におろした垂線と $AB$ との交点を $Q$ とでもしておきます。すると $PQ$ が高さということになります。それぞれの長さを求めて面積をだしましょう。

＜$AB$ について＞
点 $A$ の座標は、直線アと $x$ 軸との交点だということで求めます。
ここでポイントがあります。$x$ 軸上の点というのは、$y$ 座標がかならず $0$ です。あたりまえです。$y$ がかならず $0$ なんです。このことを利用して、アの式に $y=0$ を代入すれば、点 $A$ の $x$ 座標が求められます。 \begin{eqnarray*} y&=&-2x+8にy=0 を代入\\ 0&=&-2x+8\\ 2x&=&8\\ x&=&4 \end{eqnarray*} なので点 $A$ の座標は、$(4, \ 0)$ です。
点 $B$ の座標は、$(-6, \ 0)$ です。
というわけで、$AB$ の長さは $4+6=10$ です。点 $B$ の $x$ 座標は $-6$ ですが、長さの話なのですから絶対値をいうようにしましょう。

＜$PQ$ について＞
$PQ$ の長さは、点 $P$ の $y$ 座標をみればよいです。点 $P$ の $y$ 座標は $4$ ですから、$PQ$ の長さは $4$ です。

これで底辺と高さがわかりました。では面積をだしましょう。 $$10\times4\times\cfrac{1}{2}=20$$

$\angle x$ の対頂角は $78^{ \circ }$ です。
$\angle y=180-(63+78)=39$

$\angle x$ の同位角は $98^{ \circ }$ です。
$\angle y$ の同位角や錯角の反対側が $75^{ \circ }$ なのを利用します。
$y=180-75=105$

$x=59+58\\30+y=28+33\\51+81+z=180$

※補助線をひいて考えます。色のついた部分の大きさがおなじです。
※最後の問題は、$A+B+C=D$になります。よく出てくる形なので、「この形は $A+B+C=D$」とおぼえてしまいましょう。また、なぜそうなるのか説明しなさいという問題もよくあるので、説明できるようにしておきましょう。

＜$x$ の求め方＞ \begin{eqnarray*} ○&=&a^{ \circ },×=b^{ \circ } とすると、\\ 2a+2b+70&=&180\\ 2a+2b&=&110 \quad \class{mathbg-r}{（両辺を\div2）} \\ a+b&=&55\\ x&=&180-(a+b)\\ &=&180-55=125 \end{eqnarray*} ＜$y$ の求め方＞ \begin{eqnarray*} ○&=&a^{ \circ },×=b^{ \circ } とすると、\\ a+b+122&=&180\\ a+b&=&58 \quad \class{mathbg-r}{（両辺に\times2）} \\ 2a+2b&=&116\\ y&=&180-(2a+2b)\\ &=&180-116=64 \end{eqnarray*}

$180\times(5-2)=540$

$900\div180+2=7$

$\{180\times(6-2)\}\div6=720\div6=120$

別解　(外角の和$=360^{ \circ }$を利用する)←おすすめ
$180-(360\div6)=180-60=120$

$360\div5=72$

$360\div30=12$

内角が$160^{ \circ }$ということは、外角は$20^{ \circ }$だから、 $360\div20=18$

$x=540-(98+112+119+106)\\ y=360-(78+63+60+49+69)$

$x=180-(25+42+47+33)$
五芒星(ごぼうせい)は色のついた $5$ つの角の和が $180^{ \circ }$ になるとおぼえてしまいましょう。また、なぜこの $5$ つを足すと $180^{ \circ }$ になるのかもよく問われるので、その理由の説明ができるようにしておきましょう。
$y=180-(35+25+33+38)$
$y$ も $x$ とおなじように考えてしまえばよいです。

グラフから、Aさんは $2$ 分で $100m$ 進んでいます。
速さ $=$ 道のり $\div$ 時間ですから、答えは $100\div2=50(m/分)$ です。

〈式〉
三角形の面積は、底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$ です。底辺を $BC$、高さを$PB$ ということにして、$y$ を $x$ で表します。
$BC$ の長さは $8$ です。
$P$ が動いた長さが $x$ なので、$PB$ の長さは $x$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=8\times x \times \cfrac{1}{2}=4x$ となります。
〈変域〉
$P$ が $B$ 上にあるときは、$x=0$ です。最小値は $0$ です。$P$ が $A$ 上にきたときは、$x=6$ です。最大値は $6$ です。