\begin{eqnarray*} &①& 7+8\times(-3)\\ &=& 7-24\\ &=&-17 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& \cfrac{1}{2}-2+\cfrac{2}{3}\\ &=& \cfrac{3}{6}-\cfrac{12}{6}+\cfrac{4}{6}\\ &=& -\cfrac{5}{6} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &③& -9+3\times(-3^2+5)\\ &=& -9+3\times(-9+5)\\ &=&-9+3\times(-4)\\ &=&-9-12\\ &=&-21 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &④& -3(2a-b)+2(5a-3b)\\ &=& -6a+3b+10a-6b\\ &=& -6a+10a+3b-6b\\ &=& 4a-3b \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑤& \cfrac{x-3y}{2}-\cfrac{6x-5y}{4}\\ &=& \cfrac{2(x-3y)-(6x-5y)}{4}\\ &=& \cfrac{2x-6y-6x+5y}{4}\\ &=& \cfrac{2x-6x-6y+5y}{4}\\ &=& \cfrac{-4x-y}{4} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑥& 15x^2y\times(-4x^3y^2)\\ &=& -60x^5y^3 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑦& 8a\div(-36ab^2)\times6ab\\ &=& -\cfrac{8a\times6ab}{36abb}\\ &=& -\cfrac{{}^2\bcancel{8}\bcancel{a}\times{}^2\bcancel{6}a\bcancel{b}}{{}^3\bcancel{{}^9}\bcancel{36}\bcancel{a}\bcancel{b}b}\\ &=& -\cfrac{4a}{3b} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑧& \cfrac{8}{15}x^2\div\cfrac{9}{20}x^2y^2\times\cfrac{45}{32}y^3\\ &=& \cfrac{8xx}{15}\div\cfrac{9xxyy}{20}\times\cfrac{45yyy}{32}\\ &=& \cfrac{8xx}{15}\times\cfrac{20}{9xxyy}\times\cfrac{45yyy}{32}\\ &=& \cfrac{\bcancel{8}\bcancel{x}\bcancel{x}}{\bcancel{15}}\times\cfrac{\bcancel{20}}{\bcancel{9}\bcancel{x}\bcancel{x}\bcancel{y}\bcancel{y}}\times\cfrac{\bcancel{45}\bcancel{y}\bcancel{y}y}{\bcancel{32}}\\ &=&\cfrac{5}{3}y \end{eqnarray*}

①番　代入法で、①の式を②の式に代入して解きます。
\begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} x=-5y+1\quad…①\\ 2x+9y=-1\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 2\times(-5y+1)+9y&=&-1\\ -10y+2+9y&=&-1\\ -10y+9y&=&-1-2\\ -y&=&-3\\ y&=&3 \end{eqnarray*} $y=3を①に代入$ \begin{eqnarray*} x&=&-5\times3+1\\ &=&-15+1\\ &=&-14\\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=-14\\ y=3 \end{array} \right. \end{eqnarray*} ②番　①の式のかっこをはずし、整理します。加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
\begin{eqnarray*} && \ \left\{ \begin{array}{l} 4x-3(3x-2y)=2x+1\quad…①\\ 10x-9y=2\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①を整理$ \begin{eqnarray*} 4x-3(3x-2y)&=&2x+1\\ 4x-9x+6y&=&2x+1\\ 4x-9x+6y-2x&=&1\\ -7x+6y&=&1\quad…③ \end{eqnarray*} $②\times2 \ + \ ③\times3$ \begin{eqnarray*} 20x-18y=4\phantom{-}\\ \underline{+) \quad -21x+18y=3}\phantom{-}\\ -x\phantom{++6y}=7\phantom{-}\\ x=-7 \end{eqnarray*} $x=-7を②に代入$ \begin{eqnarray*} 10\times(-7)-9y&=&2\\ -70-9y&=&2\\ -9y&=&72\\ y&=&-8 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-7\\ y=-8 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

③番　分数があるときは分母の公倍数をかけて分母をはらいます。小数があるときは $\times10$ や $\times100$ をして小数を消します。そのへんは $1$ 次方程式のときと同じです。そのあとは $x$ か $y$ の係数をそろえて足すか引くかして、$1$ 文字消去していけばいいです。
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} \cfrac{4}{3}x+y=1\quad…①\\ 1.8x+1.5y=1.4\quad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①の式に3をかけて分母をはらう$ \begin{eqnarray*} \cfrac{4}{3}x+y&=&1\\ 4x+3y&=&3\qquad…③ \end{eqnarray*} $②の式に10をかけて小数をなくす$ \begin{eqnarray*} 1.8x+1.5y&=&1.4\\ 18x+15y&=&14\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times5\ - \ ④$ \begin{eqnarray*} 20x+15y=15\\ \underline{-) \quad 18x+15y=14}\\ 2x\phantom{+115y}=\phantom{1}1\\ x=\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=\cfrac{1}{2}を③に代入\\ 4\times\cfrac{1}{2}+3y&=&3\\ 2+3y&=&3\\ 3y&=&1\\ y&=&\cfrac{1}{3}\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=\cfrac{1}{2}\\ y=\cfrac{1}{3} \end{array} \right. \end{eqnarray*} ④番　まんなかをかくした式をつくり、①とします。左側をかくした式をつくって整理し、②とします。①の式と②の式を連立させ、$x$ の係数をそろえて加減法で解きます。
まず、まんなかをかくせば、
$2x+3y=3$ という式ができます。
それから、左がわをかくせば、
$x+2y-1=3$ という式ができて、これを整理すれば、
$x+2y=4$ となります。 んで、この $2$ つの式を連立させて解いていくわけです。
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=3\qquad…①\\ x+2y=4\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①-②\times2$ \begin{eqnarray*} 2x+3y=\phantom{-}3\\ \underline{-) \quad 2x+4y=\phantom{-}8} \\ -y=-5 \\ y=\phantom{-}5 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=5を②に代入\\ x+2\times5&=&4\\ x+10&=&4\\ x&=&4-10\\ x&=&-6 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-6\\ y=5 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
傾きというのは1次関数のときは $a$ のことです。だから $a=-\cfrac{3}{4}$ です。これを $y=ax+b$ に代入します。すると
$$y=-\cfrac{3}{4}x+b$$ となります。あと、「点$(-8,5)$を通る」というのは、$x=-8$ のとき $y=5$ という意味です。これをこの $y=-\cfrac{3}{4}x+b$ に代入して、 $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*} 5&=&-\cfrac{3}{4}\times(-8)+b\\ 5&=&6+b\\ 5-6&=&b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}

「直線の式を求めよ」「1次関数の式を求めよ」「1次関数であるとき、$y$ を $x$ の式で表せ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-2,4),(4,1)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{1-4}{4-(-2)}\\ &=&\cfrac{-3}{6}\\ &=&-\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{1}{2}$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=-\cfrac{1}{2}x+b$$ ここに、 $(-2,4),(4,1)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。今回は、 $(4,1)$ のほうをいれてみましょう。 \begin{eqnarray*} 1&=&-\cfrac{1}{2}\times4+b\\ 1&=&-2+b\\ 1+2&=&b\\ 3&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-\cfrac{1}{2}$ , $b=3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-\cfrac{1}{2}x+3$$

「$x$ の変域が $p \leqq x \leqq q$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」というお決まりの問題があって、こうきかれたときは、答えの形はこうです。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。小さい数と大きい数っていうのは、 $-1 \leqq x \leqq 7$ の $-1$ と $7$ をそれぞれ問題の $y=-2x-5$ の $x$ に代入してえられる数です。じゃあまず、 $x=-1$ を $y=-2x-5$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-2\times(-1)-5\\ &=&2-5\\ &=&-3\\ \end{eqnarray*} 次に、 $x=7$ を $y=-2x-5$ に代入します。 \begin{eqnarray*} y&=&-2\times7-5\\ &=&-14-5\\ &=&-19\\ \end{eqnarray*} これで、$-3$ と $-19$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればよいです。じゃあ答えを書きましょう。$$-19 \leqq y \leqq -3$$ これでOKです。ただし、 $y$ の変域をきかれたときのこのやり方は、3年生で習う「2乗に比例する関数$y=ax^2$」では通用しないから気をつけてください。

$2$ 直線の交点は連立方程式の解です。直線 $l, \ m$ の式を連立方程式にして \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=2x+3\\ y=x-1\\ \end{array} \right. \end{eqnarray*} これを解けばいいです。解き方は、この手の連立方程式は代入法で、右辺 $=$ 右辺の式をたてて、$x$ を求めていきましょう。関数の問題でよく使うパターンです。

代入法で、右辺 ＝ 右辺の式にして、これを解きます。 \begin{eqnarray*} 2x+3&=&x-1\\ 2x-x&=&-1-3\\ x&=&-4\\ \end{eqnarray*} $y=2x+3$ に $x=-4$ を代入して $y$ を求めます。 \begin{eqnarray*} y&=&2×(-4)+3\\ &=&-8+3\\ &=&-5\\ \end{eqnarray*} ※座標をきかれているのだから、かならず座標の答え方で答えましょう。

三角形の面積は「底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$」です。 $AB$ を底辺とします。すると高さは右図の $PC$ ということになります。それぞれの長さを求めて面積をだしましょう。

＜$AB$ について＞
$A$の$y$座標は$y=2x+3$の切片だから$3$。$B$の$y$座標は$y=x-1$の切片だから$-1$。だから$AB=4$。長さの話なのですから絶対値で考えるようにしましょう。

＜$PC$ について＞
$PC$ の長さは、点 $P$ の $x$ 座標をみればよいです。点 $P$ の $x$ 座標は $-4$ ですから、$PC$ の長さは $4$ です。これも長さの話なのですから絶対値をいうようにしましょう。

これで底辺と高さがわかりました。では面積をだしましょう。 $$4×4×\cfrac{1}{2}=8$$

対応する辺や角に注意する。

$AC=DC$ なのですから、$\triangle CAD$ は 二等辺三角形です。なので、$\triangle CAD$ で考えて、 \begin{eqnarray*} \angle CDA&=&(180^{ \circ }-\angle ACD)\div2\\ &=&(180^{ \circ }-42^{ \circ })\div2\\ &=&69^{ \circ } \end{eqnarray*}

$DC=DB$ なのですから、$\triangle DBC$ は 二等辺三角形です。なので、$\angle DBC=\angle DCB$ です。$\angle DBC=x$ とするならば、$\angle DCB=x$ です。

三角形の外角は、それととなり合わない $2$ つの内角の和に等しいです。$\triangle DBC$ で考えて、 \begin{eqnarray*} &&\angle DBC+\angle DCB\\ &=&x+x\\ &=&2x=69^{ \circ } \end{eqnarray*} なので $\angle x=\cfrac{69}{2}^{ \circ }\quad(34.5^{ \circ })$

正三角形の $3$つの辺の長さは等しいです。(定義)
正三角形の $3$つの角の大きさは等しくて、すべて $60^{ \circ }$ です。

仮定と結論をいれかえたものを逆といいます。
逆はつねに成り立つとは限りません。成り立つこともあれば、成り立たないこともあります。

※対応する辺や角に注意しましょう。
※直角三角形の合同条件をいうときは、「直角三角形で」と最初にいうのを忘れないようにしましょう。

$\triangle ABE \ \equiv \ \triangle CDF$ を証明すればいいです。合同条件は $2$辺挟角です。

①辺$BC$ を $C$側に延長します。
②$A$ と $C$ をむすびます。
③$D$ を通り、$AC$ と平行な線をひき、半直線$BC$ との交点を $E$ とします。平行な線は、だいたい見た感じで平行になってればOKです。コンパスとか使ってなくていいです。そういうことになってます。
④$A$ と $E$ をむすびます。
$\triangle ABE$ と 四角形$ABCD$ の面積は等しいです。理由は、$\triangle ACE =\triangle ACD$ だからです。どちらの三角形も、$AC$ を底辺とすれば、高さの長さ(赤線のところ)が同じになります。(⑤⑥)

この答えでは、辺$BC$ を $C$側に延長して三角形をつくりましたが、このほかにもいくつか、面積の等しい三角形がかけます。同じやり方をしていれば、どれをかいてもOKです。

このようにして、面積の等しい図形をつくることを、数学では等積変形といいます。
この問題の手順を利用するととてもラクになる問題が、関数でよく出題されます。また、この等積変形の考え方を利用しないと、たぶん解けない問題が、特に私立高校の入試問題でよく出題されます。なので、ぜひおぼえておきたい手順です。

$FC$ を底辺とすれば、$\triangle FBC$ と $\triangle FAC$ は面積が等しいことがいえます。



$AC$ を底辺とすれば、$\triangle FAC$ と $\triangle EAC$ は面積が等しいことがいえます。

②「以上」なので $6$ は入ります。
③「より大きい」なので $6$ は入りません。$\cfrac{0}{6}=0$
④「以下」なので $6$ は入ります。$\cfrac{6}{6}=1$
⑤「より小さい」なので $6$ は入りません。
⑥$\cfrac{2}{6}=\cfrac{1}{3}$
⑦奇数は $1, \ 3, \ 5$ の $3$ 通りです。$\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}$
⑧$2$ の倍数は $2, \ 4, \ 6$ の $3$ 通りです。$\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}$

①絵札は$12$枚です。$\cfrac{12}{52}=\cfrac{3}{13}$
②絵札でないのは$40$枚です。$\cfrac{40}{52}=\cfrac{10}{13}$
③ハートは$13$枚です。$\cfrac{13}{52}=\cfrac{1}{4}$
④ハートでないのは$39$枚です。$\cfrac{39}{52}=\cfrac{3}{4}$
⑦$\cfrac{6}{14}=\cfrac{3}{7}$
⑧$\cfrac{8}{14}=\cfrac{4}{7}$
⑨$\cfrac{6}{14}=\cfrac{3}{7}$

答えのような図を樹形図といいます。しらみつぶしに全パターンを調べるのに便利です。
右側の足の数を数えてください。それの本数が、全部で何パターンあるか、というのを表すことになります。全部で $8$ 通りのパターンがあります。なので分母は $8$ です。
下の図で、赤でチェックしてあるところが、問題に該当するところです。

「$2$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$2$ けたの整数をつくる」というのは、たとえば、$\boxed{\large{\ 3\ }}$$\boxed{\large{\ 1\ }}$ というのは、$31$ だということになります。左が $10$ の位で、右が $1$ の位です。
気をつけなければならないのは、左側に $\boxed{\large{\ 0\ }}$ のカードは置けない、ということです。
$\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 1\ }}$ とか $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$ とかは、$2$ けたの整数とはいえません。
そのようなことをふまえて、樹形図をかきます。 足の本数が、全部で何パターンあるか、というのを表すことになります。全部で $9$ 通りのパターンがあります。なので分母は $9$ です。
赤でチェックしてあるところが、問題に該当するところです。なので、 $$\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}$$

①樹形図をかいてもいけます。関数の座標のかき方みたいなのをかいてもいいです。右の図のような表をかいてもいいです。すきなやり方でやってください。ここでは表でやっておきます。
目の出方は、表のマス目の数だけパターンがあります。なので $36$ パターンあります。分母は $36$ です。
表で、出た目がおなじところに〇印をつけます。ここが問題に該当するところです。 なので、
$$\cfrac{6}{36}=\cfrac{1}{6}$$ ②出る目の積を表にかきこんでしまいます。「$9$ より小さい」というのは、$9$ がふくまれません。なので、色のついているところが問題に該当するところです。なので、
$$\cfrac{16}{36}=\cfrac{4}{9}$$ ③出る目の差を表にかきこんでしまいます。「$2$以下」というのは、$2$ がふくまれます。なので、色のついているところが問題に該当するところです。なので、
$$\cfrac{24}{36}=\cfrac{2}{3}$$

＜①の問題＞
①，②，③，④，⑤，⑥と、$6$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②と③と④が赤玉、⑤と⑥が白玉ということにします。①②③④⑤⑥という感じです。
んで、樹形図をかいてもいけます。または、関数の座標のかき方みたいなのをかいてもいいです。図のような表をかいてもいいです。すきなやり方でやってください。ここでは表でやっていきます。
玉の出方は、表のマス目の数だけパターンがあります。なので $36$ パターンあります。分母は $36$ です。
表で、玉の色がおなじところに〇印をつけます。ここが問題に該当するところです。 なので、
$$\cfrac{20}{36}=\cfrac{5}{9}$$ ＜②の問題＞
玉に番号をつけるところは同じです。今回も表でやりますが、はじめの問題とちがうのは、今回は同じ玉を取り出すことはできません。はじめの問題では、たとえば①①というふうに、同じ玉を$2$ 回取り出せますが、今回はそれができません。こういうときは、表に斜めの線がはいります。こんな感じです。
線をいれたのはもちろん、「同じ番号の玉はとり出せない」という意味です。
玉の出方は、表のマス目の数だけパターンがあります。なので $30$ パターンあります。分母は $30$ です。
表で、玉の色がおなじところに〇印をつけます。ここが問題に該当するところです。 なので、
$$\cfrac{14}{30}=\cfrac{7}{15}$$