\begin{eqnarray*} &①& -5-3\times(-4)\\ &=& -5+12\\ &=&7 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& -3xy\div\cfrac{18}{5}x^2y\times(-3xy)\\ &=&\cfrac{\bcancel{3}\bcancel{x}\bcancel{y}}{1}\times\cfrac{5}{{}^2\bcancel{{}^6}\bcancel{18}\bcancel{x}\bcancel{x}\bcancel{y}}\times\cfrac{\bcancel{3}\bcancel{x}y}{1}\\ &=&\cfrac{5}{2}y \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &③& -2(4x+3)-3(2x-5)\\ &=& -8x-6-6x+15\\ &=& -8x-6x-6+15\\ &=&-14x+9 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} x-\cfrac{5}{6}&=&\cfrac{2-x}{3}\quad(両辺に\times6) \\ 6x-5&=&4-2x \\ 6x+2x&=&4+5\\ 8x&=&9\\ x&=&\cfrac{9}{8} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} S&=&\cfrac{(a+b)h}{2}\quad(左辺と右辺をとりかえる） \\ \cfrac{(a+b)h}{2}&=&S\quad(\times2) \\ (a+b)h&=&2S\\ h&=&\cfrac{2S}{a+b} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x+3y=9\qquad…①\\ 3x+3(y-3)=y+1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 3x+3y-9&=&y+1\\ 3x+3y-y&=&1+9\\ 3x+2y&=&10\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times2-③\times3$ \begin{eqnarray*} 8x+6y=\phantom{-}18\\ \underline{-) \quad 9x+6y=\phantom{-}30} \\ -x\phantom{-0y}=-12\\ x=\phantom{-}12 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=12を③に代入\\ 36+2y&=&10\\ 2y&=&10-36\\ 2y&=&-26\\ y&=&-13\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=12\\ y=-13 \end{array} \right. \end{eqnarray*}

直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-1-4}{8-(-2)}=\cfrac{-5}{10}=-\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{1}{2}x+b$ に $x=-2,\ y=4$ を代入 \begin{eqnarray*} 4&=&-\cfrac{1}{2}\times(-2)+b\\ 4&=&1+b\\ 3&=&b \end{eqnarray*}

出る目の和を表にするとこうなる。
オレンジ色のところが $6$ の約数。 $$ \cfrac{8}{36}=\cfrac{2}{9}$$

\begin{eqnarray*} &①& 4x(3x-7y)\\ &=& 12x^2-28xy \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &②& (24x^2y-16xy^2)\div4xy\\ &=& 6x-4y \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &③& (24x^2-18x)\div\cfrac{6}{5}x\\ &=& (24x^2-18x)\times\cfrac{5}{6x}\\ &=& 20x-15 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &④& (a+b)(x+y)\\ &=& ax+ay+bx+by \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑤& (3x-1)(x-2)\\ &=& 3x^2-6x-x+2\\ &=& 3x^2-7x+2 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑥& (2a+b)(a-b-1)\\ &=& 2a^2-2ab-2a+ab-b^2-b\\ &=& 2a^2-ab-2a-b^2-b \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑦& 2(x-3)(x-4)-(x-5)(x+4)\\ &=& 2(x^2-7x+12)-(x^2-x-20)\\ &=& 2x^2-14x+24-x^2+x+20\\ &=& x^2-13x+44 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑧& (2x+3y)(2x-3y)+3(x-2y)^2\\ &=& 4x^2-9y^2+3(x^2-4xy+4y^2)\\ &=& 4x^2-9y^2+3x^2-12xy+12y^2\\ &=& 7x^2-12xy+3y^2 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑨& (x+2y-1)^2\\ &&x+2y=Aとすると\\ &=& (A-1)^2\\ &=& A^2-2A+1\\ &=& (x+2y)^2-2(x+2y)+1\\ &=& x^2+4xy+4y^2-2x-4y+1 \end{eqnarray*} ⑨については、がんばって $9$ 回かければおなじ答えがでます。やりかたが思いつかないときや自信がないときはこれでもOKです。 \begin{eqnarray*} &⑨& (x+2y-1)^2\\ &=& (x+2y-1)(x+2y-1)\\ &=& x^2+2xy-x+2xy+4y^2-2y-x-2y+1\\ &=& x^2+4xy-2x+4y^2-4y+1 \end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*} &⑩& (3x-y+7)(3x-y-7)\\ &&3x-y=Aとすると\\ &=&(A+7)(A-7)\\ &=&A^2-49\\ &=& (3x-y)^2-49\\ &=& 9x^2-6xy+y^2-49 \end{eqnarray*} ⑩についても、がんばって $9$ 回かければおなじ答えがでます。やりかたが思いつかないときや自信がないときはこれでもOKです。 \begin{eqnarray*} &⑩& (3x-y+7)(3x-y-7)\\ &=& 9x^2-3xy-21x-3xy+y^2+7y+21x-7y-49\\ &=& 9x^2-6xy+y^2-49 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑨& 3x^2-3x-60\\ &=& 3(x^2-x-20)\\ &=& 3(x+4)(x-5) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑩& 100x^2-25y^2\\ &=& 25(4x^2-y^2)\\ &=& 25(2x+y)(2x-y) \end{eqnarray*} ⑩の問題はまちがえやすいです。気をつけて。
$(10x+5y)(10x-5y)$ と答えるとバツになります。因数分解は、くくれるときはまずくくるというのがお約束です。

\begin{eqnarray*} &⑪& a(x-1)+(x-1)\\ &&(x-1)=Aとすると\\ &=& aA+A\\ &=& A(a+1)\\ &=& (x-1)(a+1) \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} &⑫& (2a+b)^2+5(2a+b)+6\\ &&(2a+b)=Aとすると\\ &=& A^2+5A+6\\ &=& (A+2)(A+3)\\ &=& (2a+b+2)(2a+b+3)\\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑬& ac+bc+ad+bd\\ &=& c(a+b)+d(a+b)\\ &&(a+b)=Aとすると\\ &=& cA+dA\\ &=& A(c+d)\\ &=& (a+b)(c+d) \end{eqnarray*}

問題の式にいきなり $x$ と $y$ の値を代入しても答えは出ますが、めんどうくさいことになります。いったん展開して整理してから代入するとラクになります。この問題はそれほどラクになってるような気がしないですけど、変形したほうがラクになる問題が多いですので、そういうものだと思っておきましょう。 \begin{eqnarray*} && -(x+2y)(x-y)+(x+y)^2\\ &=& -(x^2+xy-2y^2)+x^2+2xy+y^2\\ &=& -x^2-xy+2y^2+x^2+2xy+y^2\\ &=& xy+3y^2 \quad \class{mathbg-r}{（ここまでやってから代入する）} \\ &=& 4\times\left(-\cfrac{1}{3}\right)+3\times\left(-\cfrac{1}{3}\right)^2\\ &=& -\cfrac{4}{3}+\cfrac{1}{3}\\ &=& -1 \end{eqnarray*}

問題の式に $x$ や $y$ の値を代入すれば答えは出ますが、めんどうくさいことになります。因数分解をしてから代入するとラクになる問題というのがあります。夢のようにラクになることさえあります。 \begin{eqnarray*} && x^2-2xy+y^2\\ &=& (x-y)^2\quad \class{mathbg-r}{（ここで代入する）} \\ &=& (43-23)^2\\ &=& 20^2\\ &=& 400 \end{eqnarray*}

与えられた式を連立方程式にして、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x+2y=\cfrac{3}{5}\\ x-2y=-10 \end{array} \right. \end{eqnarray*} これを解けば $x, \ y$ が求められて、それを代入すれば答えが求められるのですが、この問題の場合はちょっと損なやりかたです。
因数分解をすればもっとラクにやれます。 \begin{eqnarray*} && x^2-4y^2\\ &=& (x+2y)(x-2y)\quad \class{mathbg-r}{（こうすれば代入できる）} \\ &=& \cfrac{3}{5}\times(-10)\\ &=& -6 \end{eqnarray*}

$\large{\pm}$ を忘れないようにしましょう。
⑤$0$ の平方根は $0$ です。$0$ にはプラスもマイナスもないので、これだけは $\large{\pm}$ をつけません。
⑥負の数の平方根はありません。「ない」とか「なし」とか答えましょう。ヘンな問題だなあと思うんですけど、もしかしたらテストに出るかもしれないので、いちおう出題しておきました。

①平方根は $\pm$ がつきます。
②ぎゃくに、こちらはつけてはいけません。意味を考えましょう。よくわからなかったら、テストのときはこうしてください。
「平方根」と書かれていたら、$\large{\pm}$ をつける。
「平方根」と書かれていなかったら、$\large{\pm}$ をつけない。
それでうまくいきます。漢字三文字で平方根。平と方と根で平方根。この三文字が問題文にあったら $\pm$ をつける。なければつけない。「根には土がついている」とでもおぼえてください。
③$2$ 乗したらルートは消えます。
④マイナスの数にかっこをつけて $2$ 乗したらプラスになります。このことも、あやふやなひとは整理しておきましょう。
$(-2)^2=4, \ -2^2=-4, \ (-2^2)=-4$ という感じです。

素数は $2$ からはじまります。$1$ とその数自身以外の約数がない自然数を素数といいます。

\begin{eqnarray*} 2&&\underline{)20} \\ 2&&\underline{)10} \\ &&\phantom{)1}5 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} 2&&\underline{)144} \\ 2&&\underline{)72} \\ 2&&\underline{)36} \\ 2&&\underline{)18} \\ 3&&\underline{)\phantom{1}9} \\ &&\phantom{)1}3 \end{eqnarray*}

①素因数分解して、$2$ つあるところにはマルをします。マルがつかなかったところをかければOKです。それでつじつまがあってます。$2\times3\times5=30$ が答えです。
$120\div30=4$ となって、これは $2$ の $2$ 乗になっています。

(5)の問題と同じようにやればOKです。 どちらの問題もやり方はおなじです。
手順１　素因数分解してください。
手順２　同じ数が$2$つあったら、そこに〇をつけてください。
手順３　〇がつかなかった数をかけてください。

その数が答えです。簡単なので、手順をおぼえましょう。
ちなみに $\cfrac{135}{15}=9$ となって、$\sqrt{9}=3$ です。

$\sqrt{　}$ のついている数とついていない数の大小は、$2$ 乗して比べましょう。根号は、$2$ 乗をすると消えます。そして、絶対値の大小関係は、$2$ 乗をしても変わりません。
①$(\sqrt{20})^2=20, \ 5^2=25$ なので、$\sqrt{20}\lt 25$ です。なので、$-\sqrt{20}\gt -5$ です。
②$(\sqrt{11})^2=11, \ 3.4^2=11.56$ なので、$\sqrt{11}\lt 3.4$ です。

ルートの外にある数をルートの中に入れなさい、という意味の問題です。
ルートの外にある数は、$2$ 乗してルートの中に入れます。 $$① \ 3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\times2}=\sqrt{18}$$ $$② \ \cfrac{\sqrt{15}}{5}=\sqrt{\cfrac{15}{5^2}}=\sqrt{\cfrac{ \ 3 \ }{ \ 5 \ }}$$ $$③ \ 2 \sqrt{\cfrac{ \ 3 \ }{ \ 14 \ }}=\sqrt{2^2\times \cfrac{ \ 3 \ }{ \ 14 \ }}=\sqrt{\cfrac{ \ 6 \ }{ \ 7 \ }}$$

$$① \ \sqrt{54}=\sqrt{3^2\times6}=3\sqrt{6}$$ $$② \ \sqrt{162}=\sqrt{9^2\times2}=9\sqrt{2}$$ なんの $2$ 乗との積になっているかをぱっぱっと思いつければいいのですが、数が大きくなったりすると、なかなかわかりません。計算力に自信がないひとは、あきらめてすべて素因数分解してください。なおせるか、なおせないか、なおせるとしたらどうなるのか、を確認できます。こんな感じです。

1.素因数分解する
2.同じ数が $2$ 個あったら〇でかこむ
3.〇でかこまれた数が$1$つだけ外に出る(いくつも出てきたときは全部かける)
4.〇でかこまれなかった数は中に残る(いくつも残ったときは全部かける)
というわけで、$\sqrt{54}$ は $3$ が外に出て $2$ と $3$ が残るので $2\sqrt{3}$
$\sqrt{162}$ は $3$ と $3$ が外に出て $2$ が残るので $9\sqrt{2}$

\begin{eqnarray*} ① \ \sqrt{300}&=&\sqrt{100\times3}\qquad② \ \sqrt{3000}&=&\sqrt{100\times30}\\ &=&10\sqrt{3}&=&10\sqrt{30}\\ &=&10\times1.732&=&10\times5.477\\ &=&17.32&=&54.77\\\\ ③ \ \sqrt{0.03}&=&\sqrt{\cfrac{3}{100}}\qquad④ \ \sqrt{0.003}&=&\sqrt{\cfrac{30}{10000}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{10}&=&\cfrac{\sqrt{30}}{100}\\ &=&\cfrac{1.732}{10}&=&\cfrac{5.477}{100}\\ &=&0.1732&=&0.05477 \end{eqnarray*} この問題で使える数は基本 $100$ か $10000$ です。$10^2=100, \ 100^2=10000$ だからです。
②の問題は、$3000$ を $1000\times3$ とやると失敗です。どうにもなりません。$100\times30$ とやれば、うまくいきます。
④の問題も同じで、$0.003$ をふつうに分数にすると $\cfrac{3}{1000}$ ですが、これだと失敗です。あえて分母を $10000$ にして、$\cfrac{30}{10000}$ とやってしまいます。それでうまくいきます。

\begin{eqnarray*} &①&\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\cfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\cfrac{\sqrt{15}}{5}\\ &②&\cfrac{7}{\sqrt{14}}=\cfrac{7\times\sqrt{14}}{\sqrt{14}\times\sqrt{14}}=\cfrac{7\sqrt{14}}{14}=\cfrac{\sqrt{14}}{2}\\ &③&まず約分する\\ &&\cfrac{4\sqrt{13}}{\sqrt{26}}=\cfrac{4}{\sqrt{2}}=\cfrac{4\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\cfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\\ \end{eqnarray*} $\cfrac{1}{\sqrt{2}}$ とか、$\cfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ のように、分母にルートがある場合があります。こういう場合、分母のルートをなくしてしまいます。手順をふめば、そういうことができます。分子にルートがあるのはそのままでいいです。でも、分母にあるときは、なくしてしまいます。これを、分母を有理化する、といいます。
そのやり方は、分母のルートとおなじものを、分母と分子の両方にかけてしまう、というものです。以下に２パターンをしめします。 $$\cfrac{1}{\sqrt{2}}=\cfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\cfrac{2\sqrt{3}\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\cfrac{2\sqrt{15}}{5}$$ こうすれば、分数の値そのものは変えずに、分母のルートをなくすことができます。

分母の有理化にかんして、大きいポイントがひとつ、あります。

約分できるときは、まず約分する。分母を有理化するのはそのあと。

ということです。ルートはルートと約分できます。分母を有理化するまえに、「約分できないかな？」といつも確認するクセをつけるといいです。そして、約分できるときはまず約分してください。そうしないと、すごく損になってしまうことがあります。答えはおなじになりますが、約分できるときはまず約分したほうがトクです。例をしめします。
\begin{eqnarray*} &約&分しないで有理化&約&分してから有理化\\ &&\cfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{30}}&&\cfrac{\sqrt{15}}{\sqrt{30}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{15}\times\sqrt{30}}{\sqrt{30}\times\sqrt{30}}\qquad\qquad&=&\cfrac{1}{\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{450}}{30}&=&\cfrac{1\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{15\sqrt{2}}{30}&=&\cfrac{\sqrt{2}}{2}\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*} どう見ても約分してから分母を有理化したほうがラクですよね。

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &①& \ \sqrt{2}\times\sqrt{5}=\sqrt{10}\\ &②& \ 6\sqrt{6}\div(-3\sqrt{2})=-\cfrac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=-2\sqrt{3} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \require{cancel} &③& \ 2\sqrt{12}\times\sqrt{2}=2\sqrt{24}=2\cdot2\sqrt{6}=4\sqrt{6}\\ &④& \ 15\div(-5\sqrt{6})=-\cfrac{15}{5\sqrt{6}}=-\cfrac{3}{\sqrt{6}}=-\cfrac{3\sqrt{6}}{6}=-\cfrac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑤& \ 8\sqrt{35}\times\sqrt{3}\div6\sqrt{30}=\cfrac{\bcancel{8}\sqrt{\bcancel{35}}\times\sqrt{\bcancel{3}}}{\bcancel{6}\sqrt{\bcancel{30}}}=\cfrac{4\sqrt{7}}{3\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{4\sqrt{14}}{6}=\cfrac{2\sqrt{14}}{3}\\ &⑥& \ \sqrt{\cfrac{3}{10}}\div2\sqrt{6}\div\sqrt{\cfrac{2}{5}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}\div2\sqrt{6}\div\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{\bcancel{3}}}{\sqrt{\bcancel{10}}}\times\cfrac{1}{2\sqrt{\bcancel{6}}}\times\cfrac{\sqrt{\bcancel{5}}}{\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{1}{\sqrt{2}}\times\cfrac{1}{2\sqrt{2}}\times\cfrac{1}{\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}=\cfrac{\sqrt{2}}{8} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑦& \ \sqrt{20}-5\sqrt{10}+\sqrt{45}+3\sqrt{40}\\ &=&2\sqrt{5}-5\sqrt{10}+3\sqrt{5}+6\sqrt{10}\\ &=&5\sqrt{5}+\sqrt{10}\\ &⑧& \ \sqrt{27}+\cfrac{12}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}+\cfrac{12\sqrt{3}}{3}\\ &=&3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=7\sqrt{3} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑨& \ \sqrt{54}-\sqrt{\cfrac{2}{3}}=3\sqrt{6}-\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=3\sqrt{6}-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\\ &=&\cfrac{9\sqrt{6}}{3}-\cfrac{\sqrt{6}}{3}=\cfrac{8\sqrt{6}}{3}\\ &⑩& \ -8\sqrt{5}+\sqrt{15}\times\sqrt{3}=-8\sqrt{5}+\sqrt{45}\\ &=&-8\sqrt{5}+3\sqrt{5}=-5\sqrt{5} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑪& \ \sqrt{2}(\sqrt{10}-2\sqrt{3})=\sqrt{20}-2\sqrt{6}=2\sqrt{5}-2\sqrt{6}\\ &⑫& \ (3\sqrt{10}+\sqrt{18})\div\sqrt{2}=3\sqrt{5}+\sqrt{9}=3\sqrt{5}+3 \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑬& \ (\sqrt{5}-5)(\sqrt{5}-4)=5-9\sqrt{5}+20=25-9\sqrt{5}\\ &⑭& \ (\sqrt{6}-\sqrt{3})(\sqrt{15}-\sqrt{2})=\sqrt{90}-\sqrt{12}-\sqrt{45}+\sqrt{6}\\ &=&3\sqrt{10}-2\sqrt{3}-3\sqrt{5}+\sqrt{6} \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} &⑮& \ (3\sqrt{2}-2\sqrt{3})^2=18-12\sqrt{6}+12=30-12\sqrt{6}\\ &⑯& \ (2\sqrt{10}+3)(2\sqrt{10}-3)=40-9=31 \end{eqnarray*}

① \begin{eqnarray*} xy&=&(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})\\ &=&9-8\\ &=&1 \end{eqnarray*} ② \begin{eqnarray*} &&x^2-2xy+y^2\\ &=&(x-y)^2\quad \class{mathbg-r}{（ここで代入する）} \\ &=&\{(3+2\sqrt{2})-(3-2\sqrt{2})\}^2\\ &=&(3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2})^2\\ &=&(4\sqrt{2})^2\\ &=&32 \end{eqnarray*} ②については、やり方が思いつかないときや、自信がないときは、単に代入して、がんばって計算すれば同じ答えがでます。 \begin{eqnarray*} &②&x^2-2xy+y^2\\ &=&(3+2\sqrt{2})^2-2(3+2\sqrt{2})((3-2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})^2\\ &=&9+12\sqrt{2}+8-2(9-8)+9-12\sqrt{2}+8\\ &=&32 \end{eqnarray*}

自然数は $1, \ 2, \ 3, \cdots$ です。$1$ からはじまります。
ルートの中は負の数だといけませんので、$a$ は $50$ 以下の自然数だということになります。あとは、$a$ がいくつのときに $\sqrt{50-a}$ が自然数になるかを確認すればよいです。
$a=1$ のとき、$\sqrt{50-1}=\sqrt{49}=7$
$a=14$ のとき、$\sqrt{50-14}=\sqrt{36}=6$
$a=25$ のとき、$\sqrt{50-25}=\sqrt{25}=5$
$a=34$ のとき、$\sqrt{50-34}=\sqrt{16}=4$
$a=41$ のとき、$\sqrt{50-41}=\sqrt{9}=3$
$a=46$ のとき、$\sqrt{50-46}=\sqrt{4}=2$
$a=49$ のとき、$\sqrt{50-49}=\sqrt{1}=1$
$\sqrt{50-a}$ が自然数になるのはこの $7$ 通りです。
$a=1$ のとき、$a=2$ のとき、$a=3$ のとき…といくつかためしてみたら、「ああ、ルートの中が $1$ とか $4$ とか $9$ とかの $2$ 乗の数になればいいのか」と気づくのではないでしょうか。
$a=50$ のときは、$\sqrt{50-50}=\sqrt{0}=0$ となってルートはなくなるのですが、$0$ は自然数ではないのでダメです。問題にあいません。

自然数は $1, \ 2, \ 3, \cdots$ です。$1$ からはじまります。
平方根の大小に関する問題は、$2$ 乗をしてくらべます。問題の式の $7$ と $\sqrt{n}$ と $8$ をすべて $2$ 乗すると、
$49\lt n \lt64$ となります。 $2$ 乗をしても大小関係は変わりません。なので、$n$ は $50$ から $63$ までの $14$ 個ということになります。

ところで、$50$ から $63$ まで、いくつの自然数がありますか、ときかれて、単純に $63-50=13$ だから $13$ 個と答えたりはしてませんか？　それ、ダメですよ。ためしに $50, \ 51, \ 52,\cdots 62, \ 63$ と指を折って数えてみてください。$14$ 個あるはずです。
$50$ から $63$ まで、いくつの自然数がありますか、ときかれたときは、$63-50+1=14$ なので $14$ 個と答えなくちゃいけません。$+1$ しないといけません。小学校のときに教わることだと思うんだけど、忘れちゃっているひと、けっこう多いです。

$\sqrt{225}=15$ です。
循環小数は有理数です。
絶対にまちがえたくないなら、そりゃちゃんと言葉の定義と意味を理解しなきゃいけませんが、よくわからないなあというときは、「ルートと $\pi$ が無理数で、あとは有理数」と思っときゃたいていあたります。

①割り算をして、どこが繰り返すかを確認すればOKです。 $$2\div7=0.2857142857...$$ ②小数第一位の数をくり返すときは、分母を $9$ にしておけばいいです。
③小数第一位から第三位までをくり返すときは、分母を $999$ にしておけばいいです。約分できるときは約分します。 $$\cfrac{300}{999}=\cfrac{100}{333}$$

＜おぼえておきたい数学のおやくそく＞
偶数…$2n$
奇数…$2n+1 \quad (2n-1)$
$3$の倍数…$3n$
$5$の倍数…$5n$
連続する $2$つの数…$n, \ n+1$
連続する $3$つの数…$n-1, \ n, \ n+1 \quad (n, \ n+1, \ n+2)$
連続する $2$つの偶数…$2n, \ 2n+2$
連続する $2$つの奇数…$2n-1, \ 2n+1$

$S=al$ を証明しなさい、というのだから、「①$S$ について」と、「②$al$ について」、それぞれを式で表すことを考えていきます。
＜①$S$ について＞
$S$ というのは道の面積なのですから、いちばん大きい円からいちばん小さい円を引いたものになります。また、円の面積は $\pi \times(半径)^2$ です。
なのでいちばん小さい円の面積は $\pi r^2$ です。
いちばん大きい円の半径は、右の図のように考えると、青い部分と赤い部分の和です。青の長さは$r,$ 赤は $a$ ですから、半径の長さは $(r+a)$ ということになります。
なので、大きい円の面積は \begin{eqnarray*} && \pi (r+a)^2\\ &=& \pi (r^2+2ar+a^2) \\ &=& \pi r^2+2\pi ar+\pi a^2 \end{eqnarray*} なので、 \begin{eqnarray*} S&=& \pi r^2+2\pi ar+\pi a^2-\pi r^2\\ &=& 2\pi ar+\pi a^2 \end{eqnarray*} ＜②$al$ について＞
$l$ というのは、点線の円の周囲の長さのことです。点線の円の半径の長さは、右の図のように考えると、青い部分と赤い部分の和です。青の長さは$r,$ 赤は $\cfrac{1}{2}a$ ですから、点線の円の半径の長さは $\left(r+\cfrac{1}{2}a\right)$ ということになります。
円周は $2\pi \times 半径$ ですから、 \begin{eqnarray*} l&=& 2\pi \left(r+\cfrac{1}{2}a\right)\\ &=& 2\pi r+\pi a \end{eqnarray*} なので、 \begin{eqnarray*} al&=& a(2\pi r+\pi a)\\ &=& 2\pi ar+\pi a^2 \end{eqnarray*} これで①も②もどちらも $2\pi ar+\pi a^2$ になりました。なので、 $$S=al$$