半径の長さはみんな同じ。
接点を通る半径と接線は垂直。
弦と垂直な半径は弦を二等分する。

※円周角がどうして中心角の半分になるのかを問われることもあるので、なぜそうなるのかも説明できるようにしておきましょう。

③…半円の弧に対する円周角は$90^{ \circ }$ です。

①$x^{ \circ }=59^{ \circ }+26^{ \circ }=85^{ \circ }$
②$x^{ \circ }=(360^{ \circ }-148^{ \circ }) \times\cfrac{1}{2}$
$=212^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=106^{ \circ }$
③図のように補助線をひいて考えます。円周角の定理から、色のついた部分はどちらも同じ大きさです。$x^{ \circ }=39^{ \circ }-27^{ \circ }=12^{ \circ }$
④半円の弧に対する円周角は$90^{ \circ }$ です。黄色の直角三角形で考えて、水色の部分は $180^{ \circ }-(90^{ \circ }+53^{ \circ })=37^{ \circ }$。水色の部分と $x$ は同じです。

⑤半円の弧に対する円周角は$90^{ \circ }$ です。黄色の直角三角形で考えて、$x^{ \circ }=180^{ \circ }-(90^{ \circ }+40^{ \circ })=50^{ \circ }$



⑥図のように補助線をひいて考えます。半円の弧の円周角は$90^{ \circ }$ です。また、水色の部分の大きさは同じです。なので、$x^{ \circ }=90^{ \circ }-47^{ \circ }=43^{ \circ }$


⑦図のように補助線をひいて考えます。水色の三角形と緑の三角形はどちらも二等辺三角形なので、底角が等しいです。また、黄色の部分の大きさは $61^{ \circ }$ の $2$ 倍なので $122^{ \circ }$ です。なので、
$x^{ \circ }=360^{ \circ }-122^{ \circ }=238^{ \circ }$
⑧水色の三角形は二等辺三角形になるので、底角が等しいです。またこの三角形の頂角は $59^{ \circ }\times2=118^{ \circ }$ です。なのでこの三角形で考えて、$x^{ \circ }=( 180^{ \circ }-118^{ \circ } )\times\cfrac{1}{2}=62^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=31^{ \circ }$
⑨色のついた三角形は二等辺三角形になるので、底角が等しいです。また、その頂角は $360^{ \circ }-103^{ \circ }\times2=360^{ \circ }-206^{ \circ }=154^{ \circ }$ となります。なので、
$x^{ \circ }=(180^{ \circ }-154^{ \circ })\times\cfrac{1}{2}=26^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=13^{ \circ }$

⑩色のついた部分の大きさは、$360^{ \circ }\times\cfrac{3}{8}=135^{ \circ }$
なので $x^{ \circ }=135^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=67.5^{ \circ }$

⑪色のついた部分の大きさは、$360^{ \circ }\times\cfrac{2}{5}=144^{ \circ }$
なので $x^{ \circ }=144^{ \circ }\times\cfrac{1}{2}=72^{ \circ }$

⑫弧の長さは、その弧に対する円周角の大きさに比例します。なので、$51^{ \circ }:x^{ \circ }=\stackrel{ \Large \frown }{ AB } : \stackrel{ \Large \frown }{ CD }=3:1$


⑬水色の部分の大きさは同じです。黄色の三角形で考えて、$x^{ \circ }+12^{ \circ }=31^{ \circ }$


⑭右の形で、$\angle A + \angle B + \angle C = \angle D$ というのを利用すると簡単です。
⑭の図で、色のついた部分の角の大きさは同じなので、$41^{ \circ }+x^{ \circ }+x^{ \circ }=83^{ \circ }$

ア…$\angle BAC = \angle BDC =90^{ \circ }$ です。なので、$4$ 点 $A,B,C,D$ は $1$つの円周上にあります。

イ…色のついた三角形で考えると、$\angle DBC=180^{ \circ }-(90^{ \circ }+51^{ \circ })=39^{ \circ }$ です。$\angle DAC \neq \angle DBC$ なので、$4$ 点 $A,B,C,D$ は $1$つの円周上にありません。

ウ…色のついた三角形で考えると、$\angle DAC=180^{ \circ }-(12^{ \circ }+47^{ \circ }+73^{ \circ })$
$=48^{ \circ }$ です。$\angle DAC = \angle DBC$ なので、$4$ 点 $A,B,C,D$ は $1$つの円周上にあります。

①$\angle BAC=\angle BDC$ ですから、$4$ 点 $A,B,C,D$ は $1$つの円周上にあります。円周角の定理より、$\angle x=\angle DAC=51^{ \circ }$
②$\angle DAC=\angle DBC$ ですから、$4$ 点 $A,B,C,D$ は $1$つの円周上にあります。色のついた三角形で考えると、$\angle ABD+22^{ \circ }+61^{ \circ }+72^{ \circ }=180^{ \circ }$ ですから、$\angle ABD=25^{ \circ }$ です。んで、円周角の定理より、$\angle x=\angle ABD$ です。

$\triangle PAC$ ∽$\ \triangle PDB$ を証明すればいいです。
ちなみに、この $PA\times PB=PC\times PD$ を方べきの定理といいます。こんなふうにできた $2$つの三角形はかならず相似で、$PA\times PB=PC\times PD$ です。

$\triangle PAC$ ∽$\ \triangle PDB$ を証明すればいいです。
ちなみに、この $PA\times PB=PC\times PD$ を方べきの定理といいます。(7)の問題も方べきの定理ですが、こっちもそうです。パート２みたいなもんです。こんなふうにできた $2$つの三角形はかならず相似で、$PA\times PB=PC\times PD$ です。

①方べきの定理より、 \begin{eqnarray*} PA\times PB&=&PC\times PD\\ 4\times10&=&x\times 12\\ 12x&=&4\times10\\ x&=&\cfrac{4\times10}{12}=\cfrac{10}{3} \end{eqnarray*} ※$\triangle PAC$ ∽$\ \triangle PDB$ や、$\triangle PAD$ ∽$\ \triangle PCB$ で比例式をたててもいけます。好きなやり方でやってください。

②方べきの定理より、 \begin{eqnarray*} PA\times PB&=&PC\times PD\\ 8\times(8+11)&=&9\times(9+x)\\ 152&=&81+9x\\ 9x&=&152-81\\ 9x&=&71\\ x&=&\cfrac{71}{9} \end{eqnarray*} ※$\triangle PAC$ ∽$\ \triangle PDB$ や、$\triangle PAD$ ∽$\ \triangle PCB$ で比例式をたててもいけます。好きなやり方でやってください。

平行線の錯角なので、色のついた角の大きさは同じです。そして、円周角の定理より、$\angle ACB=\angle ADB$ です。なので、$\angle ACB=\angle DBE$ となります。

この問題は、円周角の定理を利用すればできるのですが、円に内接する四角形の性質を利用すれば、すごく簡単です。ていうか、即答できちゃう問題です。
円に内接する四角形の性質を利用するとラクになる問題がよく出題されるので、この性質はおぼえておきたいです。

接弦定理といわれてる定理がありまして、それは上の通りです。「接線と弦がつくる角の性質」というタイトルですが、これ、接弦定理というやつです。言葉でいうとややこしいですが、上の図の水色の角が等しくなります。接線と弦がつくる角と、その弦の弧がつくる円周角が等しくなります。
この定理により、この問題の緑の部分と赤の部分と水色の部分の角の大きさはそれぞれ等しいです。
なので $x=68$ です。
接弦定理も、知っているとすんなりできてしまう問題がよく出題されるので、おぼえておきたいです。ちょっとおぼえづらいです。図をよく見ておぼえてくださいね。