中2数学 3学期の計算 第4回 全32問
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問題をクリックすると答えがでます。
① $-9-4\times(-6)$
答え $15$
\begin{eqnarray*} &&-9-4\times(-6)\\ &=&-9+24\\ &=&15 \end{eqnarray*}② $-\cfrac{3}{4}+2-\cfrac{3}{2}$
答え $-\cfrac{1}{4}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{3}{4}+2-\cfrac{3}{2}\\ &=&-\cfrac{3}{4}+\cfrac{8}{4}-\cfrac{6}{4}\\ &=&-\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}③ $(-4)^2\times(-1)^4$
答え $16$
\begin{eqnarray*} &&(-4)^2\times(-1)^4\\ &=&16\times1\\ &=&16 \end{eqnarray*}④ $-3x+9y-7x-10y$
答え $-10x-y$
\begin{eqnarray*} &&-3x+9y-7x-10y\\ &=&-3x-7x+9y-10y\\ &=&-10x-y \end{eqnarray*}⑤ $-\cfrac{3}{8}a+\cfrac{17}{15}b+\cfrac{1}{7}a-2b$
答え $-\cfrac{13}{56}a-\cfrac{13}{15}b$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{3}{8}a+\cfrac{17}{15}b+\cfrac{1}{7}a-2b\\ &=&-\cfrac{3}{8}a+\cfrac{1}{7}a+\cfrac{17}{15}b-2b\\ &=&-\cfrac{21}{56}a+\cfrac{8}{56}a+\cfrac{17}{15}b-\cfrac{30}{15}b\\ &=&-\cfrac{13}{56}a-\cfrac{13}{15}b \end{eqnarray*}⑥ $(-12x+13y)+(7x-8y)$
答え $-5x+5y$
\begin{eqnarray*} &&(-12x+13y)+(7x-8y)\\ &=&-12x+13y+7x-8y\\ &=&-12x+7x+13y-8y\\ &=&-5x+5y \end{eqnarray*}⑦ $(-3a^2+3a)-(-2a^2+9a)$
答え $-a^2-6a$
\begin{eqnarray*} &&(-3a^2+3a)-(-2a^2+9a)\\ &=&-3a^2+3a+2a^2-9a\\ &=&-3a^2+2a^2+3a-9a\\ &=&-a^2-6a \end{eqnarray*}⑧ $-5(15x-12y)$
答え $-75x+60y$
⑨ $16\left(\cfrac{3}{8}x-\cfrac{7}{4}y\right)$
答え $6x-28y$
\begin{eqnarray*} &&16\left(\cfrac{3}{8}x-\cfrac{7}{4}y\right)\\ &=&16\times\cfrac{3}{8}x+16\times\left(-\cfrac{7}{4}y\right)\\ &=&6x-28y \end{eqnarray*}⑩ $(-125a^2+200a-75)\div(-25)$
答え $5a^2-8a+3$
⑪ $(21x-77y)\div\left(-\cfrac{7}{3}\right)$
答え $-9x+33y$
\begin{eqnarray*} &&(21x-77y)\div\left(-\cfrac{7}{3}\right)\\ &=&(21x-77y)\times\left(-\cfrac{3}{7}\right)\\ &=&21x\times\left(-\cfrac{3}{7}\right)-77y\times\left(-\cfrac{3}{7}\right)\\ &=&-9x+33y \end{eqnarray*}⑫ $5(4a-3b)+15(a+b)$
答え $35a$
\begin{eqnarray*} &&5(4a-3b)+15(a+b)\\ &=&20a-15b+15a+15b\\ &=&20a+15a-15b+15b\\ &=&35a \end{eqnarray*}⑬ $\cfrac{3}{4}(8x-12y)-\cfrac{5}{3}(3x-9y)$
答え $x+6y$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3}{4}(8x-12y)-\cfrac{5}{3}(3x-9y)\\ &=&6x-9y-5x+15y\\ &=&6x-5x-9y+15y\\ &=&x+6y \end{eqnarray*}⑭ $\cfrac{3x-4y}{8}-\cfrac{2x-y}{3}$
答え $\cfrac{-7x-4y}{24}\quad\left(-\cfrac{7x+4y}{24},-\cfrac{7}{24}x-\cfrac{1}{6}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3x-4y}{8}-\cfrac{2x-y}{3}\\ &=&\cfrac{3(3x-4y)-8(2x-y)}{24}\\ &=&\cfrac{9x-12y-16x+8y}{24}\\ &=&\cfrac{9x-16x-12y+8y}{24}\\ &=&\cfrac{-7x-4y}{24} \end{eqnarray*}⑮ $-2x^2\times(-3x)^2$
答え $-18x^4$
\begin{eqnarray*} &&-2x^2\times(-3x)^2\\ &=&-2x^2\times9x^2\\ &=&-18x^4 \end{eqnarray*}⑯ $15ab\div(-60a^2b)\times(-12ab)$
答え $3b$
\begin{eqnarray*} &&15ab\div(-60a^2b)\times(-12ab)\\ &=&\cfrac{15ab\times(-12ab)}{-60aab}\\ &=&3b \end{eqnarray*}⑰ $-3x\div\cfrac{18}{5}x^2y\times12x$
答え $-\cfrac{10}{y}$
\begin{eqnarray*} &&-3x\div\cfrac{18}{5}x^2y\times12x\\ &=&-\cfrac{3x}{1}\times\cfrac{5}{18xxy}\times\cfrac{12x}{1}\\ &=&-\cfrac{10}{y} \end{eqnarray*}① $8x+7=3(4x+3)$
答え $x=-\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} 8x+7&=&3(4x+3) \\ 8x+7&=&12x+9 \\ 8x-12x&=&9-7\\ -4x&=&2 \\ x&=&-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}② $\cfrac{13}{6}x-\cfrac{5}{4}=\cfrac{7}{3}x-1$
答え $x=-\cfrac{3}{2}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{13}{6}x-\cfrac{5}{4}&=&\cfrac{7}{3}x-1\quad(\times12)\\ 26x-15&=&28x-12 \\ 26x-28x&=&-12+15\\ -2x&=&3\\ x&=&-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}③ $\left\{\begin{array}{l} 4x+3y=-5\\ 3x+2y=-7 \end{array}\right.$
答え $x=-11,y=13$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x+3y=-5\qquad…①\\ 3x+2y=-7\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times2-②\times3$ \begin{eqnarray*} 8x+6y=-10\\ \underline{-) \quad 9x+6y=-21} \\ -x\phantom{+66y}=\phantom{-}11 \\ x=-11 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-11を②に代入\\ 3\times(-11)+2y&=&-7\\ -33+2y&=&-7\\ 2y&=&-7+33\\ 2y&=&26\\ y&=&13 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-11\\ y=13 \end{array} \right. \end{eqnarray*}④ $\left\{\begin{array}{l} 4x-13y=2\\ 3x+1=6(x-2y)-5 \end{array}\right.$
答え $x=-6,y=-2$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x-13y=2\qquad…①\\ 3x+1=6(x-2y)-5\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 3x+1&=&6x-12y-5\\ 3x-6x+12y&=&-5-1\\ -3x+12y&=&-6\qquad (両辺を3で割る)\\ -x+4y&=&-2\qquad…③ \end{eqnarray*} $①+③\times4$ \begin{eqnarray*} 4x-13y=\phantom{-}2\\ \underline{+) \quad -4x+16y=-8} \\ 3y=-6 \\ y=-2 \\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-2を③に代入\\ -x+4\times(-2)&=&-2\\ -x-8&=&-2\\ -x&=&-2+8\\ -x&=&6\\ x&=&-6\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-6\\ y=-2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{y}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=4x+2\quad[x]$
答え $x=\cfrac{y-2}{4}\left(x=\cfrac{1}{4}y-\cfrac{1}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&4x+2 \quad(左辺と右辺をとりかえる）\\ 4x+2&=&y \\ 4x&=&y-2 \\ x&=&\cfrac{y-2}{4} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{h}]$内の文字について解きなさい。
②
$y=-\cfrac{2}{3}x+4\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-3y+12}{2}\left(x=-\cfrac{3}{2}y+6も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{2}{3}x+4 \\ \cfrac{2}{3}x&=&-y+4\quad(両辺に\times3) \\ 2x&=&-3y+12 \\ x&=&\cfrac{-3y+12}{2} \\ \end{eqnarray*}$a=-2,\ b=\cfrac{1}{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
③
$3a-2b-4(2a+b)$
答え $7$
\begin{eqnarray*} &&3a-2b-4(2a+b) \\ &=&3a-2b-8a-4b\\ &=&3a-8a-2b-4b\\ &=&-5a-6b \end{eqnarray*} $a=-2,\ b=\cfrac{1}{2}$ を代入 \begin{eqnarray*} &&-5\times(-2)-6\times\cfrac{1}{2}\\ &=&10-3=7 \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に比例し、$x=-9$ のとき、$y=-3$ である。$y$ を $x$ の式で表しなさい。
答え $y=\cfrac{1}{3}x$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-3}{-9}=\cfrac{1}{3}$$⑤ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-9$ のとき、$y=-3$ である。$y$ を $x$ の式で表しなさい。
答え $y=\cfrac{27}{x}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-9\times(-3)=27$$⑥ 変化の割合が $-2$ で、点 $(1,\ 2)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-2x+4$
直線の式の形は $y=ax+b$変化の割合が $-2$ なので$a=-2$
$y=-2x+b$ に $x=1,\ y=2$ を代入 \begin{eqnarray*} 2&=&-2\times1+b\\ 2&=&-2+b\\ 2+2&=&b\\ 4&=&b \end{eqnarray*}
⑦ $2$ 点 $(-2,\ 1),\ (4,\ 4)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{1}{2}x+2$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{4-1}{4-(-2)}=\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{1}{2}x+b$ に $x=4,\ y=4$ を代入 \begin{eqnarray*} 4&=&\cfrac{1}{2}\times4+b\\ 4&=&2+b\\ 2&=&b \end{eqnarray*}
右の図において、$AB=CD, \ AB /\!/ DC$ ならば、$\triangle AOB \ \equiv \ \triangle COD$ となる。これについて、以下の①,②の問いに答えなさい。
① 仮定と結論をいいなさい。
② $\triangle AOB \ \equiv \ \triangle COD$ を証明しなさい。
答え
① 〈仮定〉 $AB=CD, \ \ AB /\!/ DC$
〈結論〉 $\triangle AOB \ \equiv \ \triangle COD$
② 〈証明〉
$\triangle AOB$ と $\triangle COD$ で、
仮定から、 $AB=CD$ ……①
平行線の錯角だから、$\angle OAB=\angle OCD$ ……②
平行線の錯角だから、 $\angle OBA=\angle ODC$ ……③
①②③より、$1$ 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
$\triangle AOB \ \equiv \ \triangle COD$
右の図において、$B$ から $AC$ におろした垂線と $AC$ との交点を $D$ とする。また、$C$ から $AB$ におろした垂線と
$AB$ との交点を $E$ とする。 $EB=DC$ であるならば、$\angle ECB = \angle DBC$ となる。これについて、以下の①,②の問いに答えなさい。
③ 仮定と結論をいいなさい。
④ $\angle ECB = \angle DBC$ を証明しなさい。
答え
③ 〈仮定〉 $EB=DC, \ BD \perp AC, \ CE \perp AB$
〈結論〉 $\angle ECB = \angle DBC$
④ 〈証明〉
$\triangle EBC$ と $\triangle DCB$ で、
仮定から、
$EB=DC$ ……①
$\angle CEB=\angle BDC=90^{ \circ }$ ……②
共通な辺だから、$BC=CB$ ……③
①②③より、直角三角形で、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいから、
$\triangle EBC \ \equiv \ \triangle DCB$
合同な図形の対応する角だから、
$\angle ECB = \angle DBC$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①15②-\cfrac{1}{4}③16④-10x-y⑤-\cfrac{13}{56}a-\cfrac{13}{15}b\\
⑥-5x+5y⑦-a^2-6a⑧-75x+60y\\
⑨6x-28y⑩5a^2-8a+3⑪-9x+33y\\
⑫35a⑬x+6y⑭\cfrac{-7x-4y}{24}⑮-18x^4\\
⑯3b⑰-\cfrac{10}{y}\\
\boxed{\large{\ 2\ }}①x=-\cfrac{1}{2}②x=-\cfrac{3}{2}③x=-11,y=13\\
④x=-6,y=-2\\
\boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{y-2}{4}②x=\cfrac{-3y+12}{2}③7\\
④y=\cfrac{1}{3}x⑤y=\cfrac{27}{x}⑥y=-2x+4⑦y=\cfrac{1}{2}x+2\\
\boxed{\large{\ 4\ }}$
① 〈仮定〉 $AB=CD, \ \ AB /\!/ DC$
〈結論〉 $\triangle AOB \ \equiv \ \triangle COD$
② 〈証明〉
$\triangle AOB$ と $\triangle COD$ で、
仮定から、 $AB=CD$ ……①
平行線の錯角だから、$\angle OAB=\angle OCD$ ……②
平行線の錯角だから、 $\angle OBA=\angle ODC$ ……③
①②③より、$1$ 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
$\triangle AOB \ \equiv \ \triangle COD$
③ 〈仮定〉 $EB=DC, \ BD \perp AC, \ CE \perp AB$
〈結論〉 $\angle ECB = \angle DBC$
④ 〈証明〉
$\triangle EBC$ と $\triangle DCB$ で、
仮定から、
$EB=DC$ ……①
$\angle CEB=\angle BDC=90^{ \circ }$ ……②
共通な辺だから、$BC=CB$ ……③
①②③より、直角三角形で、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいから、
$\triangle EBC \ \equiv \ \triangle DCB$
合同な図形の対応する角だから、
$\angle ECB = \angle DBC$