中2数学 3学期の計算 第5回 全32問
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問題をクリックすると答えがでます。
① $-8-2\times(-3)$
答え $-2$
\begin{eqnarray*} &&-8-2\times(-3)\\ &=&-8+6\\ &=&-2 \end{eqnarray*}② $-\cfrac{3}{5}+1-\cfrac{3}{10}$
答え $\cfrac{1}{10}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{3}{5}+1-\cfrac{3}{10}\\ &=&-\cfrac{6}{10}+\cfrac{10}{10}-\cfrac{3}{10}\\ &=&\cfrac{1}{10} \end{eqnarray*}③ $-3^2\times(-4)^2$
答え $-144$
\begin{eqnarray*} &&-3^2\times(-4)^2\\ &=&-9\times16\\ &=&-144 \end{eqnarray*}④ $-6x+y-3x-9y$
答え $-9x-8y$
\begin{eqnarray*} &&-6x+y-3x-9y\\ &=&-6x-3x+y-9y\\ &=&-9x-8y \end{eqnarray*}⑤ $-\cfrac{1}{34}a-\cfrac{3}{5}b+a-\cfrac{3}{7}b$
答え $\cfrac{33}{34}a-\cfrac{36}{35}b$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{1}{34}a-\cfrac{3}{5}b+a-\cfrac{3}{7}b\\ &=&-\cfrac{1}{34}a+a-\cfrac{3}{5}b-\cfrac{3}{7}b\\ &=&-\cfrac{1}{34}a+\cfrac{34}{34}a-\cfrac{21}{35}b-\cfrac{15}{35}b\\ &=&\cfrac{33}{34}a-\cfrac{36}{35}b \end{eqnarray*}⑥ $(-5x+7y)+(13x-6y)$
答え $8x+y$
\begin{eqnarray*} &&(-5x+7y)+(13x-6y)\\ &=&-5x+7y+13x-6y\\ &=&-5x+13x+7y-6y\\ &=&8x+y \end{eqnarray*}⑦ $(-4x^2+5x)-(-3x^2+2x)$
答え $-x^2+3x$
\begin{eqnarray*} &&(-4x^2+5x)-(-3x^2+2x)\\ &=&-4x^2+5x+3x^2-2x\\ &=&-4x^2+3x^2+5x-2x\\ &=&-x^2+3x \end{eqnarray*}⑧ $-12(5a-4b)$
答え $-60a+48b$
⑨ $20\left(\cfrac{3}{4}x-\cfrac{2}{5}y\right)$
答え $15x-8y$
\begin{eqnarray*} &&20\left(\cfrac{3}{4}x-\cfrac{2}{5}y\right)\\ &=&20\times\cfrac{3}{4}x+20\times\left(-\cfrac{2}{5}y\right)\\ &=&15x-8y \end{eqnarray*}⑩ $(-100a^2+200a-300)\div(-25)$
答え $4a^2-8a+12$
⑪ $(60x-90y)\div\left(-\cfrac{15}{8}\right)$
答え $-32x+48y$
\begin{eqnarray*} &&(60x-90y)\div\left(-\cfrac{15}{8}\right)\\ &=&(60x-90y)\times\left(-\cfrac{8}{15}\right)\\ &=&60x\times\left(-\cfrac{8}{15}\right)-90y\times\left(-\cfrac{8}{15}\right)\\ &=&-32x+48y \end{eqnarray*}⑫ $3(5a-7b)-4(4a+b)$
答え $-a-25b$
\begin{eqnarray*} &&3(5a-7b)-4(4a+b)\\ &=&15a-21b-16a-4b\\ &=&15a-16a-21b-4b\\ &=&-a-25b \end{eqnarray*}⑬ $-\cfrac{3}{5}(15x-25y)+\cfrac{5}{6}(12x-30y)$
答え $x-10y$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{3}{5}(15x-25y)+\cfrac{5}{6}(12x-30y)\\ &=&-9x+15y+10x-25y\\ &=&-9x+10x+15y-25y\\ &=&x-10y \end{eqnarray*}⑭ $\cfrac{x-3y}{3}-\cfrac{2x-y}{4}$
答え $\cfrac{-2x-9y}{12}\quad\left(-\cfrac{2x+9y}{12},-\cfrac{1}{6}x-\cfrac{3}{4}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-3y}{3}-\cfrac{2x-y}{4}\\ &=&\cfrac{4(x-3y)-3(2x-y)}{12}\\ &=&\cfrac{4x-12y-6x+3y}{12}\\ &=&\cfrac{4x-6x-12y+3y}{12}\\ &=&\cfrac{-2x-9y}{12} \end{eqnarray*}⑮ $-3x^2\times(-x)^2$
答え $-3x^4$
\begin{eqnarray*} &&-3x^2\times(-x)^2\\ &=&-3x^2\times x^2\\ &=&-3x^4 \end{eqnarray*}⑯ $24xy\div(-60x^3y^2)\times(-25xy)$
答え $\cfrac{10}{x}$
\begin{eqnarray*} &&24xy\div(-60x^3y^2)\times(-25xy)\\ &=&\cfrac{24xy\times(-25xy)}{-60xxxyy}\\ &=&\cfrac{10}{x} \end{eqnarray*}⑰ $5xy\div\left(-\cfrac{20}{3}x^2y\right)\times2xy$
答え $-\cfrac{3}{2}y$
\begin{eqnarray*} &&5xy\div\left(-\cfrac{20}{3}x^2y\right)\times2xy\\ &=&\cfrac{5xy}{1}\times\left(-\cfrac{3}{20xxy}\right)\times\cfrac{2xy}{1}\\ &=&-\cfrac{3}{2}y \end{eqnarray*}① $3(x-2)=11x-4$
答え $x=-\cfrac{1}{4}$
\begin{eqnarray*} 3(x-2)&=&11x-4 \\ 3x-6&=&11x-4 \\ 3x-11x&=&-4+6\\ -8x&=&2 \\ x&=&-\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}② $\cfrac{1}{5}x-\cfrac{5}{4}=\cfrac{7}{20}x-2$
答え $x=5$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{5}x-\cfrac{5}{4}&=&\cfrac{7}{20}x-2\quad(\times20)\\ 4x-25&=&7x-40 \\ 4x-7x&=&-40+25\\ -3x&=&-15\\ x&=&5 \end{eqnarray*}③ $\left\{\begin{array}{l} 3x+2y=1\\ 5x+3y=-2 \end{array}\right.$
答え $x=-7,y=11$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=1\qquad…①\\ 5x+3y=-2\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times3-②\times2$ \begin{eqnarray*} 9x+6y=\phantom{-}3\\ \underline{-) \quad 10x+6y=-4} \\ -x\phantom{+6xy}=\phantom{-}7 \\ x=-7 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-7を①に代入\\ 3\times(-7)+2y&=&1\\ -21+2y&=&1\\ 2y&=&1+21\\ 2y&=&22\\ y&=&11 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-7\\ y=11 \end{array} \right. \end{eqnarray*}④ $\left\{\begin{array}{l} 3x-4y=16\\ 2x+3=5(x+2y)+1 \end{array}\right.$
答え $x=4,y=-1$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x-4y=16\qquad…①\\ 2x+3=5(x+2y)+1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 2x+3&=&5x+10y+1\\ 2x-5x-10y&=&1-3\\ -3x-10y&=&-2\qquad…③ \end{eqnarray*} $①+③$ \begin{eqnarray*} 3x-\phantom{1}4y=16\\ \underline{+) \quad -3x-10y=-2} \\ -14y=14 \\ y=-1 \\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-1を①に代入\\ 3x-4\times(-1)&=&16\\ 3x+4&=&16\\ 3x&=&16-4\\ 3x&=&12\\ x&=&4\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ y=-1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{y}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=3x+9\quad[x]$
答え $x=\cfrac{y-9}{3}\left(x=\cfrac{1}{3}y-3も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&3x+9 \quad(左辺と右辺をとりかえる）\\ 3x+9&=&y \\ 3x&=&y-9 \\ x&=&\cfrac{y-9}{3} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{h}]$内の文字について解きなさい。
②
$y=-\cfrac{2}{5}x+1\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-5y+5}{2}\left(x=-\cfrac{5}{2}y+\cfrac{5}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{2}{5}x+1 \\ \cfrac{2}{5}x&=&-y+1\quad(両辺に\times5) \\ 2x&=&-5y+5 \\ x&=&\cfrac{-5y+5}{2} \\ \end{eqnarray*}③ $a=-\cfrac{1}{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$\qquad 3a^2-5a^2$
答え $-\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} &&3a^2-5a^2 \\ &=&-2a^2\\ \end{eqnarray*} $a=-\cfrac{1}{2}$ を代入 \begin{eqnarray*} &&-2\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)^2\\ &=&-2\times\cfrac{1}{4}=-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に比例し、$x=-10$ のとき、$y=-15$ である。 $x=4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=6$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-15}{-10}=\cfrac{3}{2}$$ $y=\cfrac{3}{2}x$ に $x=4$ を代入\begin{eqnarray*} y=\cfrac{3}{2}\times4=6 \end{eqnarray*}
⑤ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-10$ のとき、$y=-15$ である。 $x=4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{75}{2}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-10\times(-15)=150$$ $y=\cfrac{150}{x}$ に $x=4$ を代入\begin{eqnarray*} y=\cfrac{150}{4}=\cfrac{75}{2} \end{eqnarray*}
⑥ 傾きが $-\cfrac{2}{3}$ で、点 $(6,\ -4)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{2}{3}x$
直線の式の形は $y=ax+b$傾きが $-\cfrac{2}{3}$ なので$a=-\cfrac{2}{3}$
$y=-\cfrac{2}{3}x+b$ に $x=6,\ y=-4$ を代入 \begin{eqnarray*} -4&=&-\cfrac{2}{3}\times6+b\\ -4&=&-4+b\\ -4+4&=&b\\ 0&=&b \end{eqnarray*}
⑦ $2$ 点 $(-4,\ -2),\ (4,\ 0)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{1}{4}x-1$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{0-(-2)}{4-(-4)}=\cfrac{2}{8}=\cfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{1}{4}x+b$ に $x=4,\ y=0$ を代入 \begin{eqnarray*} 0&=&\cfrac{1}{4}\times4+b\\ 0&=&1+b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}
右の図において、$\ AD /\!/ BE$ である。点 $F$ が $DC$ の中点であるならば、$\triangle ADF \ \equiv \ \triangle ECF$ となる。これについて、以下の①,②の問いに答えなさい。
① 仮定と結論をいいなさい。
② $\triangle ADF \ \equiv \ \triangle ECF$ を証明しなさい。
答え
① 〈仮定〉 $\ AD /\!/ BE, \ DF=CF$
〈結論〉 $\triangle ADF \ \equiv \ \triangle ECF$
② 〈証明〉
$\triangle ADF$ と $\triangle ECF$ で、
仮定から、 $DF=CF$ ……①
対頂角だから、$\angle AFD=\angle EFC$ ……②
平行線の錯角だから、 $\angle ADF=\angle ECF$ ……③
①②③より、$1$ 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ADF \ \equiv \ \triangle ECF$
右の図において、$B$ から $AC$ におろした垂線と $AC$ との交点を $D$ とする。また、$C$ から $AB$ におろした垂線と
$AB$ との交点を $E$ とする。 $EB=DC$ であるならば、$\triangle FBC$ は二等辺三角形となる。これについて、以下の①,②の問いに答えなさい。
③ 仮定と結論をいいなさい。
④ $\angle ECB = \angle DBC$ を証明しなさい。
答え
③ 〈仮定〉 $EB=DC, \ BD \perp AC, \ CE \perp AB$
〈結論〉 $\triangle FBC$ は二等辺三角形
④ 〈証明〉
$\triangle EBC$ と $\triangle DCB$ で、
仮定から、
$EB=DC$ ……①
$\angle CEB=\angle BDC=90^{ \circ }$ ……②
共通な辺だから、$BC=CB$ ……③
①②③より、直角三角形で、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいから、
$\triangle EBC \ \equiv \ \triangle DCB$
合同な図形の対応する角だから、
$\angle ECB = \angle DBC$
$2$ つの角が等しいので、
$\triangle FBC$ は二等辺三角形である。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-2②\cfrac{1}{10}③-144④-9x-8y⑤\cfrac{33}{34}a-\cfrac{36}{35}b\\
⑥8x+y⑦-x^2+3x⑧-60a+48b\\
⑨15x-8y⑩4a^2-8a+12⑪-32x+48y\\
⑫-a-25b⑬x-10y⑭\cfrac{-2x-9y}{12}⑮-3x^4\\
⑯\cfrac{10}{x}⑰-\cfrac{3}{2}y\\
\boxed{\large{\ 2\ }}①x=-\cfrac{1}{4}②x=5③x=-7,y=11\\
④x=4,y=-1\\
\boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{y-9}{3}②x=\cfrac{-5y+5}{2}③-\cfrac{1}{2}\\
④y=6⑤y=\cfrac{75}{2}⑥y=-\cfrac{2}{3}x⑦y=\cfrac{1}{4}x-1\\
\boxed{\large{\ 4\ }}$
① 〈仮定〉 $\ AD /\!/ BE, \ DF=CF$
〈結論〉 $\triangle ADF \ \equiv \ \triangle ECF$
② 〈証明〉
$\triangle ADF$ と $\triangle ECF$ で、
仮定から、 $DF=CF$ ……①
対頂角だから、$\angle AFD=\angle EFC$ ……②
平行線の錯角だから、 $\angle ADF=\angle ECF$ ……③
①②③より、$1$ 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ADF \ \equiv \ \triangle ECF$
③ 〈仮定〉 $EB=DC, \ BD \perp AC, \ CE \perp AB$
〈結論〉 $\triangle FBC$ は二等辺三角形
④ 〈証明〉
$\triangle EBC$ と $\triangle DCB$ で、
仮定から、
$EB=DC$ ……①
$\angle CEB=\angle BDC=90^{ \circ }$ ……②
共通な辺だから、$BC=CB$ ……③
①②③より、直角三角形で、斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいから、
$\triangle EBC \ \equiv \ \triangle DCB$
合同な図形の対応する角だから、
$\angle ECB = \angle DBC$
$2$ つの角が等しいので、
$\triangle FBC$ は二等辺三角形である。