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中2数学　3学期の計算　第6回　全30問

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$\boxed{\phantom{ho}}$ ←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。

問題をクリックすると答えがでます。

$\boxed{\large{\ 1\ }}$ 次の計算をしなさい。

$5+3\times(-4)$

答え　 $-7$

$\begin{eqnarray*} &&5+3\times(-4)\\ &=&5-12\\ &=&-7 \end{eqnarray*}$

類題

$1-\cfrac{3}{10}-\cfrac{5}{6}$

答え　 $-\cfrac{2}{15}$

$\begin{eqnarray*} &&1-\cfrac{3}{10}-\cfrac{5}{6}\\ &=&\cfrac{30}{30}-\cfrac{9}{30}-\cfrac{25}{30}\\ &=&-\cfrac{4}{30}\\&=&-\cfrac{2}{15} \end{eqnarray*}$

類題

$-2^2\times(-2)^4$

答え　 $-64$

$\begin{eqnarray*} &&-2^2\times(-2)^4\\ &=&-4\times16\\ &=&-64 \end{eqnarray*}$

類題

$-8x+7y-15x-15y$

答え　 $-23x-8y$

$\begin{eqnarray*} &&-8x+7y-15x-15y\\ &=&-8x-15x+7y-15y\\ &=&-23x-8y \end{eqnarray*}$

類題

$-3a-\cfrac{11}{12}b+2a+\cfrac{10}{11}b$

答え　 $-a-\cfrac{1}{132}b$

$\begin{eqnarray*} &&-3a-\cfrac{11}{12}b+2a+\cfrac{10}{11}b\\ &=&-3a+2a-\cfrac{11}{12}b+\cfrac{10}{11}b\\ &=&-a-\cfrac{121}{132}b+\cfrac{120}{132}b\\ &=&-a-\cfrac{1}{132}b \end{eqnarray*}$

類題

$(-6x-y)+(15x-6y)$

答え　 $9x-7y$

$\begin{eqnarray*} &&(-6x-y)+(15x-6y)\\ &=&-6x-y+15x-6y\\ &=&-6x+15x-y-6y\\ &=&9x-7y \end{eqnarray*}$

類題

$(-3x^2+7x)-(-5x^2+2x)$

答え　 $2x^2+5x$

$\begin{eqnarray*} &&(-3x^2+7x)-(-5x^2+2x)\\ &=&-3x^2+7x+5x^2-2x\\ &=&-3x^2+5x^2+7x-2x\\ &=&2x^2+5x \end{eqnarray*}$

類題

$-12(6a-8b)$

答え　 $-72a+96b$

類題

$30\left(\cfrac{3}{5}x-\cfrac{7}{6}y\right)$

答え　 $18x-35y$

$\begin{eqnarray*} &&30\left(\cfrac{3}{5}x-\cfrac{7}{6}y\right)\\ &=&30\times\cfrac{3}{5}x+30\times\left(-\cfrac{7}{6}y\right)\\ &=&18x-35y \end{eqnarray*}$

類題

$(-125a^2+225a-325)\div(-25)$

答え　 $5a^2-9a+13$

類題

$(75x-100y)\div\left(-\cfrac{25}{2}\right)$

答え　 $-6x+8y$

$\begin{eqnarray*} &&(75x-100y)\div\left(-\cfrac{25}{2}\right)\\ &=&(75x-100y)\times\left(-\cfrac{2}{25}\right)\\ &=&75x\times\left(-\cfrac{2}{25}\right)-100y\times\left(-\cfrac{2}{25}\right)\\ &=&-6x+8y \end{eqnarray*}$

類題

$6(3a-7b)-8(2a+6b)$

答え　 $2a-90b$

$\begin{eqnarray*} &&6(3a-7b)-8(2a+6b)\\ &=&18a-42b-16a-48b\\ &=&18a-16a-42b-48b\\ &=&2a-90b \end{eqnarray*}$

類題

$-\cfrac{2}{11}(44x-77y)+\cfrac{5}{8}(8x-24y)$

答え　 $-3x-y$

$\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{2}{11}(44x-77y)+\cfrac{5}{8}(8x-24y)\\ &=&-8x+14y+5x-15y\\ &=&-8x+5x+14y-15y\\ &=&-3x-y \end{eqnarray*}$

類題

$\cfrac{2x-3y}{5}-\cfrac{6x-y}{10}$

答え　 $\cfrac{-2x-5y}{10}\quad\left(-\cfrac{2x+5y}{10},-\cfrac{1}{5}x-\cfrac{1}{2}yも可\right)$

$\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x-3y}{5}-\cfrac{6x-y}{10}\\ &=&\cfrac{2(2x-3y)-(6x-y)}{10}\\ &=&\cfrac{4x-6y-6x+y}{10}\\ &=&\cfrac{4x-6x-6y+y}{10}\\ &=&\cfrac{-2x-5y}{10} \end{eqnarray*}$

類題

$(-2x)^2\times(-2x^2)$

答え　 $-8x^4$

$\begin{eqnarray*} &&(-2x)^2\times(-2x^2)\\ &=&4x^2\times (-2x^2)\\ &=&-8x^4 \end{eqnarray*}$

類題

$15xy\div(-75x^2y^2)\times(-15xy)$

答え　 $3$

$\begin{eqnarray*} &&15xy\div(-75x^2y^2)\times(-15xy)\\ &=&\cfrac{15xy\times(-15xy)}{-75xxyy}\\ &=&3 \end{eqnarray*}$

類題

$2xy\div\left(-\cfrac{48}{13}x^2y^2\right)\times2y$

答え　 $-\cfrac{13}{12x}$

$\begin{eqnarray*} &&2xy\div\left(-\cfrac{48}{13}x^2y^2\right)\times2y\\ &=&\cfrac{2xy}{1}\times\left(-\cfrac{13}{48xxyy}\right)\times\cfrac{2y}{1}\\ &=&-\cfrac{13}{12x} \end{eqnarray*}$

類題

$\boxed{\large{\ 2\ }}$ 次の①～④の方程式を解きなさい。

$-2(6x-2)=2x+11$

答え　 $x=-\cfrac{1}{2}$

$\begin{eqnarray*} -2(6x-2)&=&2x+11 \\ -12x+4&=&2x+11 \\ -12x-2x&=&11-4\\ -14x&=&7 \\ x&=&-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$

類題

$-\cfrac{1}{6}x-\cfrac{5}{4}=\cfrac{7}{3}x+1$

答え　 $x=-\cfrac{9}{10}$

$\begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{6}x-\cfrac{5}{4}&=&\cfrac{7}{3}x+1\quad(\times12)\\ -2x-15&=&28x+12 \\ -2x-28x&=&12+15\\ -30x&=&27\\ x&=&-\cfrac{27}{30}=-\cfrac{9}{10} \end{eqnarray*}$

類題

$\left\{\begin{array}{l} 3x+2y=0\\ 15x+8y=-1 \end{array}\right.$

答え　 $x=-\cfrac{1}{3},y=\cfrac{1}{2}$

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=0\qquad…①\\ 15x+8y=-1\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

$①\times5-②$

$\begin{eqnarray*} 15x+10y=\phantom{-}0\\ \underline{-) \quad 15x+\phantom{1}8y=-1} \\ 2y=\phantom{-}1 \\ y=\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=\cfrac{1}{2}を①に代入\\ 3x+2\times\cfrac{1}{2}&=&0\\ 3x+1&=&0\\ 3x&=&-1\\ x&=&-\cfrac{1}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\cfrac{1}{3}\\ y=\cfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

類題

$\left\{\begin{array}{l} 9x+5y=-2\\ 8x-4=3(2x-y)+5 \end{array}\right.$

答え　 $x=-3,y=5$

$\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 9x+5y=-2\qquad…①\\ 8x-4=3(2x-y)+5\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

$②を整理$

$\begin{eqnarray*} 8x-4&=&6x-3y+5\\ 8x-6x+3y&=&5+4\\ 2x+3y&=&9\qquad…③ \end{eqnarray*}$

$①\times3-③\times5$

$\begin{eqnarray*} 27x+15y=-6\\ \underline{-) \quad 10x+15y=45} \\ 17x=-51 \\ x=-3 \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-3を③に代入\\ 2\times(-3)+3y&=&9\\ -6+3y&=&9\\ 3y&=&9+6\\ 3y&=&15\\ y&=&5\\ \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-3\\ y=5 \end{array} \right. \end{eqnarray*}$

類題

$\boxed{\large{\ 3\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

次の式を $[\phantom{y}]$ 内の文字について解きなさい。
$y=-6x+2\quad[x]$

答え　 $x=\cfrac{-y+2}{6}\left(x=-\cfrac{y-2}{6},x=-\cfrac{1}{6}y+\cfrac{1}{3}も可\right)$

$\begin{eqnarray*} y&=&-6x+2 \\ 6x&=&-y+2 \\ x&=&\cfrac{-y+2}{6} \end{eqnarray*}$

類題

次の式を $[\phantom{h}]$ 内の文字について解きなさい。
$S=\cfrac{(a+b)h}{2}\quad[a]$

答え　 $a=\cfrac{2S}{h}-b\left(a=\cfrac{2S-bh}{h}も可\right)$

$\begin{eqnarray*} S&=&\cfrac{(a+b)h}{2}\quad （右辺と左辺をとりかえる） \\ \cfrac{(a+b)h}{2}&=&S\quad(両辺に\times2) \\ (a+b)h&=&2S \\ a+b&=&\cfrac{2S}{h} \\ a&=&\cfrac{2S}{h}-b \\ \end{eqnarray*}$

類題

　 $x=-2, \ y=-\cfrac{1}{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
$\qquad -\cfrac{x^2}{y}$

答え　 $8$

$\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{x^2}{y}\\\\ &=&-\cfrac{(-2)^2}{-\cfrac{1}{2}}\\\\ &=&-\cfrac{4}{-\cfrac{1}{2}}\\\\ &=&-4\div\left(-\cfrac{1}{2}\right)\\ &=&-4\times\left(-\cfrac{2}{1}\right)\\ &=&8 \end{eqnarray*}$

類題

$y$ が $x$ に比例し、 $x=-3$ のとき、 $y=-9$ である。 $x=18$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え　 $y=54$

比例の式の形は

$y=ax$

$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-9}{-3}=3$

$y=3x$ に

$x=18$ を代入

$\begin{eqnarray*} y=3\times18=54 \end{eqnarray*}$

類題

$y$ が $x$ に反比例し、 $x=-3$ のとき、 $y=-9$ である。 $x=18$ のときの $y$ の値を求めなさい。

答え　 $y=\cfrac{3}{2}$

反比例の式の形は

$y=\cfrac{a}{x}$

$a=x \times y=-3\times(-9)=27$

$y=\cfrac{27}{x}$ に

$x=18$ を代入

$\begin{eqnarray*} y=\cfrac{27}{18}=\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}$

類題

変化の割合が $-\cfrac{3}{4}$ で、点 $(-8,\ 1)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え　 $y=-\cfrac{3}{4}x-5$

直線の式の形は

$y=ax+b$
変化の割合が

$-\cfrac{3}{4}$ なので

$a=-\cfrac{3}{4}$

$y=-\cfrac{3}{4}x+b$ に

$x=-8,\ y=1$ を代入

$\begin{eqnarray*} 1&=&-\cfrac{3}{4}\times(-8)+b\\ 1&=&6+b\\ 1-6&=&b\\ -5&=&b \end{eqnarray*}$

類題

$2$ 点 $(4,\ -9),\ (-8,\ 0)$ を通る直線の式を求めなさい。

答え　 $y=-\cfrac{3}{4}x-6$

直線の式の形は

$y=ax+b$

$\begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{0-(-9)}{-8-4}=\cfrac{9}{-12}=-\cfrac{3}{4}\\ \end{eqnarray*}$

$y=-\cfrac{3}{4}x+b$ に

$x=-8,\ y=0$ を代入

$\begin{eqnarray*} 0&=&-\cfrac{3}{4}\times(-8)+b\\ 0&=&6+b\\ -6&=&b \end{eqnarray*}$

類題

$\boxed{\large{\ 4\ }}$ 以下の問いに答えなさい。

三角形
①右の ▱ $ABCD$ で、対角線の交点を $O$ とする。 $O$ を通る直線と辺 $AD, \ BC$ との交点をそれぞれ $E, \ F$ とする。
$AE=CF$ であることを証明しなさい。

$\triangle AEO$ と $\triangle CFO$ で、
対頂角だから、 $\angle AOE =\angle COF$ 　……①
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、 $OA=OC$ 　……②
平行線の錯角だから、 $\angle EAO =\angle FCO$ 　……③
①②③より、 $1$ 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
$\triangle AEO \ \equiv \ \triangle CFO$
合同な図形の対応する辺だから、
$AE= CF$

類題

②右の図において、 $\triangle ADB$ と $\triangle ACE$ がどちらも正三角形であるならば、 $\triangle ADC \ \equiv \ \triangle ABE$ となることを証明しなさい。

$\triangle ADC$ と $\triangle ABE$ で、
仮定から、
$AD=AB$ 　……①
$AC=AE$ 　……②
$\angle DAC=\angle BAC+60^{ \circ }$ 　……③
$\angle BAE=\angle BAC+60^{ \circ }$ 　……④
③④より、 $\angle DAC=\angle BAE$ 　……⑤
①②⑤より、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
$\triangle ADC \ \equiv \ \triangle ABE$

類題

答え

$\boxed{\large{\ 1\ }}①-7②-\cfrac{2}{15}③-64④-23x-8y⑤-a-\cfrac{1}{132}b\\ ⑥9x-7y⑦2x^2+5x⑧-72a+96b\\ ⑨18x-35y⑩5a^2-9a+13⑪-6x+8y\\ ⑫2a-90b⑬-3x-y⑭\cfrac{-2x-5y}{10}⑮-8x^4\\ ⑯3⑰-\cfrac{13}{12x}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①x=-\cfrac{1}{2}②x=-\cfrac{9}{10}③x=-\cfrac{1}{3},y=\cfrac{1}{2}\\ ④x=-3,y=5\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{-y+2}{6}②a=\cfrac{2S}{h}-b③8\\ ④y=54⑤y=\cfrac{3}{2}⑥y=-\cfrac{3}{4}x-5⑦y=-\cfrac{3}{4}x-6\\ \boxed{\large{\ 4\ }}$
① $\triangle AEO$ と $\triangle CFO$ で、
対頂角だから、 $\angle AOE =\angle COF$ 　……①
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから、 $OA=OC$ 　……②
平行線の錯角だから、 $\angle EAO =\angle FCO$ 　……③
①②③より、 $1$ 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
$\triangle AEO \ \equiv \ \triangle CFO$
合同な図形の対応する辺だから、
$AE= CF$
②　 $\triangle ADC$ と $\triangle ABE$ で、
仮定から、
$AD=AB$ 　……①
$AC=AE$ 　……②
$\angle DAC=\angle BAC+60^{ \circ }$ 　……③
$\angle BAE=\angle BAC+60^{ \circ }$ 　……④
③④より、 $\angle DAC=\angle BAE$ 　……⑤
①②⑤より、二組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
$\triangle ADC \ \equiv \ \triangle ABE$

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