中3数学 2学期の計算 第12回 全35問
ページがちゃんと表示されるまで$10$秒くらいかかります。印刷するときは、ちょっと待ってからにしてください。
$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-12-8\div(-2)$
答え $-8$
\begin{eqnarray*} &&-12-8\div(-2)\\ &=&-12+4\\ &=&-8 \end{eqnarray*}② $(-3)^2\times5-6^2\times2$
答え $-27$
\begin{eqnarray*} &&(-3)^2\times5-6^2\times2\\ &=&9\times5-36\times2\\ &=&45-72\\ &=&-27 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{2}{3}+\cfrac{4}{7}\div\left(-\cfrac{20}{21}\right)$
答え $\cfrac{1}{15}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{3}+\cfrac{4}{7}\div\left(-\cfrac{20}{21}\right)\\ &=&\cfrac{2}{3}+\cfrac{4}{7}\times\left(-\cfrac{21}{20}\right)\\ &=&\cfrac{2}{3}-\cfrac{3}{5}\\ &=&\cfrac{10}{15}-\cfrac{9}{15}\\ &=&\cfrac{1}{15} \end{eqnarray*}④ $\cfrac{3}{2}(6x-2)-\cfrac{1}{3}(30x-36)$
答え $-x+9$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3}{2}(6x-2)-\cfrac{1}{3}(30x-36)\\ &=&9x-3-10x+12\\ &=&-x+9 \end{eqnarray*}⑤ $(54x^2y-99xy^2)\div\left(-\cfrac{9}{7}xy\right)$
答え $-42x+77y$
\begin{eqnarray*} &&(54x^2y-99xy^2)\div\left(-\cfrac{9}{7}xy\right)\\ &=&(54x^2y-99xy^2)\times\left(-\cfrac{7}{9xy}\right)\\ &=&54x^2y\times\left(-\cfrac{7}{9xy}\right)-99xy^2\times\left(-\cfrac{7}{9xy}\right)\\ &=&-42x+77y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{x-2y}{5}-\cfrac{4x+y}{10}$
答え $\cfrac{-2x-5y}{10}\\\quad\left(-\cfrac{2x+5y}{10},-\cfrac{1}{5}x-\cfrac{1}{2}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-2y}{5}-\cfrac{4x+y}{10}\\ &=&\cfrac{2(x-2y)-(4x+y)}{10}\\ &=&\cfrac{2x-4y-4x-y}{10}\\ &=&\cfrac{-2x-5y}{10} \end{eqnarray*}⑦ $(x-7)(x+6)$
答え $x^2-x-42$
⑧ $\left(\cfrac{2}{3}x-\cfrac{1}{2}y\right)^2$
答え $\cfrac{4}{9}x^2-\cfrac{2}{3}xy+\cfrac{1}{4}y^2$
⑨ $\left(\cfrac{5}{6}a+\cfrac{4}{5}b\right)\left(\cfrac{5}{6}a-\cfrac{4}{5}b\right)$
答え $\cfrac{25}{36}a^2-\cfrac{16}{25}b^2$
⑩ $-(x+3)(3x-1)-2(2x+1)^2$
答え $-11x^2-16x+1$
\begin{eqnarray*} &&-(x+3)(3x-1)-2(2x+1)^2\\ &=&-(3x^2-x+9x-3)-2(4x^2+4x+1)\\ &=&-3x^2+x-9x+3-8x^2-8x-2\\ &=&-11x^2-16x+1 \end{eqnarray*}⑪ $-\sqrt{2}\times\sqrt{6}+4\sqrt{7}\div\sqrt{21}$
答え $-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}$
\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{2}\times\sqrt{6}+4\sqrt{7}\div\sqrt{21}\\ &=&-\sqrt{12}+\cfrac{4\sqrt{7}}{\sqrt{21}}\\ &=&-2\sqrt{3}+\cfrac{4}{\sqrt{3}}\\ &=&-2\sqrt{3}+\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\\ &=&-\cfrac{-6\sqrt{3}}{3}+\cfrac{4\sqrt{3}}{3}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}⑫ $2\sqrt{15}\div(-4\sqrt{50})\times12\sqrt{5}$
答え $-3\sqrt{6}$
\begin{eqnarray*} &&2\sqrt{15}\div(-4\sqrt{50})\times12\sqrt{5}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{15}\times12\sqrt{5}}{4\sqrt{50}}\\ &=&-\cfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ &=&-\cfrac{6\sqrt{6}}{2}\\ &=&-3\sqrt{6} \end{eqnarray*}⑬ $\left(3-5\sqrt{2}\right)^2$
答え $59-30\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(3-5\sqrt{2}\right)^2\\ &=&9-30\sqrt{2}+50\\ &=&59-30\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $36p^2q-18pq^2$
答え $18pq(2p-q)$
② $x^2+11x-42$
答え $(x+14)(x-3)$
③ $\cfrac{1}{9}x^2-\cfrac{1}{3}xy+\cfrac{1}{4}y^2$
答え $\left(\cfrac{1}{3}x-\cfrac{1}{2}y\right)^2$
④ $225a^2-289b^2$
答え $\left(15a+17b\right)\left(15a-17b\right)$
⑤ $ax-ay-x+y$
答え $(x-y)(a-1)$
\begin{eqnarray*} &&ax-ay-x+y\\ &=&a(x-y)-(x-y)\\ &&(x-y)=Aとする\\ &=&aA-A\\ &=&A(a-1)\\ &=&(x-y)(a-1) \end{eqnarray*}① $\cfrac{1}{3}(4x+1)=\cfrac{1}{2}x-3$
答え $x=-4$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{3}(4x+1)&=&\cfrac{1}{2}x-3\quad(\times6) \\ 8x+2&=&3x-18 \\ 8x-3x&=&-18-2\\ 5x&=&-20 \\ x&=&-\cfrac{20}{5}=-4 \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 0.4(2x-y)=-0.6-0.1y\\ x+\cfrac{4}{3}y=-11 \end{array}\right.$
答え $x=-3,y=-6$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 0.4(2x-y)=-0.6-0.1y\qquad…①\\ x+\cfrac{4}{3}y=-11\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①に10を掛けて整理$ \begin{eqnarray*} 0.4(2x-y)&=&-0.6-0.1y\quad(\times10)\\ 4(2x-y)&=&-6-y\\ 8x-4y&=&-6-y\\ 8x-3y&=&-6\qquad…③ \end{eqnarray*} $②の分母をはらう$ \begin{eqnarray*} x+\cfrac{4}{3}y&=&-11\quad(\times3)\\ 3x+4y&=&-33\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times4+④\times3$ \begin{eqnarray*} 32x-12y=-24\\ \underline{+) \quad 9x+12y=-99} \\ 41x\phantom{+12y}=-123\\ x=\phantom{1}-3 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-3を④に代入\\ 3\times(-3)+4y&=&-33\\ -9+4y&=&-33\\ 4y&=&-33+9\\ 4y&=&-24\\ y&=&-6\\ \left\{ \begin{array}{l} x=-3\\ y=-6 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2-12x+42=10$
答え $x=4 ,\ x=8$
\begin{eqnarray*} x^2-12x+42&=&10\\ x^2-12x+42&-&10=0\\ x^2-12x+32&=&0 \\ (x-4)(x-8)&=&0\\ x&=&4,\ x=8 \end{eqnarray*}④ $\cfrac{2}{5}x^2-5=0$
答え $x=\pm\cfrac{5\sqrt{2}}{2}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{2}{5}x^2-5&=&0 \quad\left(両辺に\times5\right)\\ 2x^2-25&=&0 \\ 2x^2&=&25\\ x^2&=&\cfrac{25}{2}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{25}{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}=\pm\cfrac{5\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}⑤ $-8x^2=14x$
答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{7}{4}$
\begin{eqnarray*} -8x^2&=&14x\qquad両辺を(-2)で割る\\ 4x^2&=&-7x\\ 4x^2+7x&=&0\\ x(4x+7)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=-\cfrac{7}{4} \end{eqnarray*}⑥ $2x^2-\cfrac{16}{3}x+\cfrac{32}{9}=0$
答え $x=\cfrac{4}{3}$
\begin{eqnarray*} 2x^2-\cfrac{16}{3}x+\cfrac{32}{9}&=&0\quad\left(両辺に\times9\right)\\ 18x^2-48x+32&=&0\quad\left(両辺を2で割る\right)\\ 9x^2-24x+16&=&0\\ (3x-4)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{4}{3} \end{eqnarray*}⑦ $5(x+1)^2-15=0$
答え $x=-1\pm\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} 5(x+1)^2-15&=&0\\ 5(x+1)^2&=&15\\ (x+1)^2&=&3\\ x+1&=&\pm\sqrt{3}\\ x&=&-1\pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}⑧ $2x^2+x-3=0$
答え $x=1, \ x=-\cfrac{3}{2}$
\begin{eqnarray*} 2x^2&+&x-3=0\\ x&=&\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times2\times(-3)}}{2\times2}\\ &=&\cfrac{-1\pm\sqrt{1+24}}{4}\\ &=&\cfrac{-1\pm\sqrt{25}}{4}\\ &=&\cfrac{-1\pm5}{4}\\ x&=&\cfrac{4}{4}, \ x=-\cfrac{6}{4}\\ x&=&1, \ x=-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=-\cfrac{2x-4}{5}\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-5y+4}{2}\\\left(x=-\cfrac{5y-4}{2},-\cfrac{5}{2}y+2も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{2x-4}{5}\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ -\cfrac{2x-4}{5}&=&y\quad(両辺に\times5)\\ -2x+4&=&5y\quad(両辺に\times-1)\\ 2x-4&=&-5y\\ 2x&=&-5y+4\\ x&=&\cfrac{-5y+4}{2} \end{eqnarray*}$x=3+2\sqrt{5}, \ y=3-2\sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$3x^2-6xy+3y^2$
答え $240$
\begin{eqnarray*} &&3x^2-6xy+3y^2\\ &=&3(x^2-2xy+y^2)\\ &=&3(x-y)^2\\ &=&3\{3+2\sqrt{5}-(3-2\sqrt{5})\}^2\\ &=&3(3+2\sqrt{5}-3+2\sqrt{5})^2\\ &=&3(4\sqrt{5})^2\\ &=&3\times80\\ &=&240 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&3x^2-6xy+3y^2\\ &=&3(3+2\sqrt{5})^2-6(3+2\sqrt{5})(3-2\sqrt{5})+(3-2\sqrt{5})^2\\ &=&3(9+12\sqrt{5}+20)-6(9-20)+3(9-12\sqrt{5}+20)\\ &=&3(29+12\sqrt{5})-6\times(-11)+3(29-12\sqrt{5})\\ &=&87+36\sqrt{5}+66+87-36\sqrt{5})\\ &=&240 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-\cfrac{1}{3}$ のとき、$y=-\cfrac{3}{4}$ である。$x=6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{27}{2}$
比例の式の形は $y=ax$ \begin{eqnarray*} y&=&axに\ x=-\cfrac{1}{3}, \ y=-\cfrac{3}{4}\ を代入する\\ -\cfrac{3}{4}&=&-\cfrac{1}{3}a\quad(両辺に\times12)\\ -9&=&-4a\\ \cfrac{9}{4}=&a\\ y&=&\cfrac{9}{4}x \ に \ x=6 \ を代入する\\ y&=&\cfrac{9}{4}\times6=\cfrac{27}{2} \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-\cfrac{8}{5}$ のとき、$y=15$ である。$x=3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-8$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-\cfrac{8}{5}\times15=-24\\ y=-\cfrac{24}{x}\ に\ x=3\ を代入する\\ y=-\cfrac{24}{3}=-8$$⑤ $2$ 点 $(-6, \ 0), \ (3, \ -6)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{2}{3}x-4$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-6-0}{3-(-6)}=\cfrac{-6}{9}=-\cfrac{2}{3}\\ \\ y&=&-\cfrac{2}{3}x+bに x=-6, \ y=0 を代入する\\ 0&=&-\cfrac{2}{3}\times(-6)+b\\ 0&=&4+b\\ -4&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-6$ のとき、$y=-24$ である。$x=\cfrac{3}{4}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{3}{8}$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{-24}{(-6)^2}=\cfrac{-24}{36}=-\cfrac{2}{3}\\ y=-\cfrac{2}{3}x^2に\ x=\cfrac{3}{4}\ を代入する\\ y=-\cfrac{2}{3}\times\left(\cfrac{3}{4}\right)^2=-\cfrac{2}{3}\times\cfrac{9}{16}=-\cfrac{3}{8}$$⑦ 下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
答え 放物線…$y=\cfrac{1}{2}x^2$
点 $Q$ の座標…$\left(5, \ \cfrac{25}{2}\right)$
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P(-4, \ 8)$ だから、 \begin{eqnarray*} a=\cfrac{y}{x^2} =\cfrac{8}{(-4)^2}=\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} ＜点 $Q$ の座標＞
$x$ 座標は $-2$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=\cfrac{1}{2}x^2$ に $x=5$ を代入
$ y=\cfrac{1}{5}\times5^2=\cfrac{25}{2} $
⑧ 袋の中に赤玉が $2$ 個と白玉が $3$ 個はいっている。袋の中から玉を $2$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の少なくとも $1$ 個が白玉である確率を求めなさい。
答え $\cfrac{9}{10}$
①，②，③，④，⑤と、$5$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②が赤玉、③と④と⑤が白玉ということにします。①②③④⑤という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を同時に取り出す」ときは、同じ玉を取り出せないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{18}{20}=\cfrac{9}{10}$$
⑨ $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$$\boxed{\large{\ 6\ }}$ と数字のかかれたカードが全部で $4$ 枚ある。この中から $2$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$2$ けたの整数をつくるとき、偶数となる確率を求めなさい。
赤でチェックしたところが偶数。答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-8②-27③\cfrac{1}{15}④-x+9 ⑤-42x+77y\\ ⑥\cfrac{-2x-5y}{10}\quad\left(-\cfrac{2x+5y}{10},-\cfrac{1}{5}x-\cfrac{1}{2}yも可\right)\\ ⑦x^2-x-42 ⑧\cfrac{4}{9}x^2-\cfrac{2}{3}xy+\cfrac{1}{4}y^2⑨\cfrac{25}{36}a^2-\cfrac{16}{25}b^2\\ ⑩-11x^2-16x+1 ⑪-\cfrac{2\sqrt{3}}{3}⑫-3\sqrt{6}⑬59-30\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①18pq(2p-q)②(x+14)(x-3)\\ ③\left(\cfrac{1}{3}x-\cfrac{1}{2}y\right)^2④\left(15a+17b\right)\left(15a-17b\right)\\ ⑤(x-y)(a-1)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-4②x=-3,y=-6\\ ③x=4,x=8④x=\pm\cfrac{5\sqrt{2}}{2}⑤x=0,x=-\cfrac{7}{4}\\ ⑥x=\cfrac{4}{3}⑦x=-1\pm\sqrt{3}⑧x=1,x=-\cfrac{3}{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-5y+4}{2}\left(x=-\cfrac{5y-4}{2},-\cfrac{5}{2}y+2も可\right)\\ ②240③y=\cfrac{27}{2}④y=-8 ⑤y=-\cfrac{2}{3}x-4⑥y=-\cfrac{3}{8}\\ ⑦放物線…y=\cfrac{1}{2}x^2，Ｑの座標\left(5,\cfrac{25}{2}\right)\\ ⑧\cfrac{9}{10}⑨\cfrac{7}{9} $