中3数学 2学期の計算 第11回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $8-1\times(-3)$
答え $11$
\begin{eqnarray*} &&8-1\times(-3)\\ &=&8+3\\ &=&11 \end{eqnarray*}② $-2^2\times(-3)+(-5)^2\times(-2)$
答え $-38$
\begin{eqnarray*} &&-2^2\times(-3)+(-5)^2\times(-2)\\ &=&-4\times(-3)+25\times(-2)\\ &=&12-50\\ &=&-38 \end{eqnarray*}③ $-\cfrac{6}{7}-\cfrac{12}{25}\div\left(-\cfrac{14}{15}\right)$
答え $-\cfrac{12}{35}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{6}{7}-\cfrac{12}{25}\div\left(-\cfrac{14}{15}\right)\\ &=&-\cfrac{6}{7}-\cfrac{12}{25}\times\left(-\cfrac{15}{14}\right)\\ &=&-\cfrac{6}{7}+\cfrac{18}{35}\\ &=&-\cfrac{30}{35}+\cfrac{18}{35}\\ &=&-\cfrac{12}{35} \end{eqnarray*}④ $\cfrac{6}{5}(15x-10)-\cfrac{7}{8}(24x-16)$
答え $-3x+2$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{6}{5}(15x-10)-\cfrac{7}{8}(24x-16)\\ &=&18x-12-21x+14\\ &=&-3x+2 \end{eqnarray*}⑤ $(12x^2y-6xy^2)\div\left(-\cfrac{3}{2}xy\right)$
答え $-8x+4y$
\begin{eqnarray*} &&(12x^2y-6xy^2)\div\left(-\cfrac{3}{2}xy\right)\\ &=&(12x^2y-6xy^2)\times\left(-\cfrac{2}{3xy}\right)\\ &=&12x^2y\times\left(-\cfrac{2}{3xy}\right)-6xy^2\times\left(-\cfrac{2}{3xy}\right)\\ &=&-8x+4y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{3x+y}{5}-\cfrac{4x+3y}{3}$
答え $\cfrac{-11x-12y}{15}\\\quad\left(-\cfrac{11x+12y}{15},-\cfrac{11}{15}x-\cfrac{4}{5}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3x+y}{5}-\cfrac{4x+3y}{3}\\ &=&\cfrac{3(3x+y)-5(4x+3y)}{15}\\ &=&\cfrac{9x+3y-20x-15y}{15}\\ &=&\cfrac{-11x-12y}{15} \end{eqnarray*}⑦ $(x-5)(x-12)$
答え $x^2-17x+60$
⑧ $\left(\cfrac{1}{2}x-y\right)^2$
答え $\cfrac{1}{4}x^2-xy+y^2$
⑨ $\left(2a+3b\right)\left(2a-3b\right)$
答え $4a^2-9b^2$
⑩ $-3(x-2)^2+(4x-3)(x-1)$
答え $x^2+5x-9$
\begin{eqnarray*} &&-3(x-2)^2+(4x-3)(x-1)\\ &=&-3(x^2-4x+4)+4x^2-4x-3x+3\\ &=&-3x^2+12x-12+4x^2-7x+3\\ &=&x^2+5x-9 \end{eqnarray*}⑪ $-\sqrt{30}\times2\sqrt{2}+10\sqrt{5}\div\sqrt{3}$
答え $-\cfrac{2\sqrt{15}}{3}$
\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{30}\times2\sqrt{2}+10\sqrt{5}\div\sqrt{3}\\ &=&-2\sqrt{60}+\cfrac{10\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\\ &=&-4\sqrt{15}+\cfrac{10\sqrt{15}}{3}\\ &=&-\cfrac{-12\sqrt{15}}{3}+\cfrac{10\sqrt{15}}{3}\\ &=&-\cfrac{2\sqrt{15}}{3} \end{eqnarray*}⑫ $2\sqrt{10}\div\cfrac{6\sqrt{32}}{\sqrt{3}}\times\left(-\cfrac{3\sqrt{12}}{\sqrt{5}}\right)$
答え $-\cfrac{3}{2}$
\begin{eqnarray*} &&2\sqrt{10}\div\cfrac{6\sqrt{32}}{\sqrt{3}}\times\left(-\cfrac{3\sqrt{12}}{\sqrt{5}}\right)\\ &=&2\sqrt{10}\times\cfrac{\sqrt{3}}{6\sqrt{32}}\times\left(-\cfrac{3\sqrt{12}}{\sqrt{5}}\right)\\ &=&-\cfrac{3}{\sqrt{4}}\\ &=&-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}⑬ $\left(1+4\sqrt{5}\right)^2$
答え $81+8\sqrt{5}$
\begin{eqnarray*} &&\left(1+4\sqrt{5}\right)^2\\ &=&1+8\sqrt{5}+80\\ &=&81+8\sqrt{5} \end{eqnarray*}① $14abc-21ab+7a$
答え $7a(2bc-3b+1)$
② $x^2+15x+14$
答え $(x+14)(x+1)$
③ $4x^2-\cfrac{12}{5}xy+\cfrac{9}{25}y^2$
答え $\left(2x-\cfrac{3}{5}y\right)^2$
④ $121p^2-196q^2$
答え $\left(11p+14q\right)\left(11p-14q\right)$
⑤ $3x^2-3xy-36y^2$
答え $3(x-4y)(x+3y)$
\begin{eqnarray*} &&3x^2-3xy-36y^2\\ &=&3(x^2-xy-12y^2)\\ &=&3(x-4y)(x+3y) \end{eqnarray*}① $\cfrac{3}{4}x+1=\cfrac{6}{5}x-\cfrac{13}{20}$
答え $x=\cfrac{11}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{4}x+1&=&\cfrac{6}{5}x-\cfrac{13}{20}\quad(\times20) \\ 15x+20&=&24x-13 \\ 15x-24x&=&-13-20\\ -9x&=&-33 \\ x&=&\cfrac{33}{9}=\cfrac{11}{3} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 8x+y=-1\\ 2x-\cfrac{1}{5}y=11 \end{array}\right.$
答え $x=3,y=-25$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 8x+y=-1\qquad…①\\ 2x-\cfrac{1}{5}y=11\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう$ \begin{eqnarray*} 2x-\cfrac{1}{5}y&=&11\quad(\times5)\\ 10x-y&=&55\qquad…③ \end{eqnarray*} $①+③$ \begin{eqnarray*} 8x+y=-1\\ \underline{+) \quad 10x-y=55} \\ 18x\phantom{+y}=54\\ x=\phantom{1}3 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=3を①に代入\\ 8\times3+y&=&-1\\ 24+y&=&-1\\ y&=&-1-24\\ y&=&-25\\ \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-25 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2-9x-20=16$
答え $x=12 ,\ x=-3$
\begin{eqnarray*} x^2-9x-20&=&16\\ x^2-9x-20&-&16=0\\ x^2-9x-36&=&0 \\ (x-12)(x+3)&=&0\\ x&=&12,\ x=-3 \end{eqnarray*}④ $\cfrac{3}{4}x^2-5=0$
答え $x=\pm\cfrac{2\sqrt{15}}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{4}x^2-5&=&0 \quad\left(両辺に\times4\right)\\ 3x^2-20&=&0 \\ 3x^2&=&20\\ x^2&=&\cfrac{20}{3}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{20}{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}}=\pm\cfrac{2\sqrt{15}}{3} \end{eqnarray*}⑤ $-6x^2=9x$
答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{3}{2}$
\begin{eqnarray*} -6x^2&=&9x\qquad両辺を(-3)で割る\\ 2x^2&=&-3x\\ 2x^2+3x&=&0\\ x(2x+3)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{64}{5}x^2+\cfrac{32}{5}x+\cfrac{4}{5}=0$
答え $x=-\cfrac{1}{4}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{64}{5}x^2+\cfrac{32}{5}x+\cfrac{4}{5}&=&0\quad\left(両辺に\times5\right)\\64x^2+32x+4&=&0\quad\left(両辺を4で割る\right)\\ 16x^2+8x+1&=&0\\ (4x+1)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}⑦ $8(x-3)^2-32=0$
答え $x=5, \ x=1$
\begin{eqnarray*} 8(x-3)^2-32&=&0\\ 8(x-3)^2&=&32\\ (x-3)^2&=&4\\ x-3&=&\pm\sqrt{4}=\pm2\\ x&=&3\pm2\\ x&=&5, \ x=1 \end{eqnarray*}⑧ $x^2-2x-1=0$
答え $x=1\pm\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} x^2&-&2x-1=0\\ x&=&\cfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times1\times(-1)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{8}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm2\sqrt{2}}{2}\\ &=&1\pm\sqrt{2} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=-\cfrac{3x-6}{2}\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-2y+6}{3}\\\left(x=-\cfrac{2y-6}{3},-\cfrac{2}{3}y+2も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{3x-6}{2}\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ -\cfrac{3x-6}{2}&=&y\quad(両辺に\times2)\\ -3x+6&=&2y\quad(両辺に\times-1)\\ 3x-6&=&-2y\\ 3x&=&-2y+6\\ x&=&\cfrac{-2y+6}{3} \end{eqnarray*}$x=2+\sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-4x$
答え $1$
\begin{eqnarray*} &&x^2-4x\\ &=&x(x-4)\\ &=&(2+\sqrt{5})((2+\sqrt{5}-4)\\ &=&(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\\ &=&5-4\\ &=&1 \end{eqnarray*} あるいは、単に代入しちゃってもOKです(このほうがラクかも) \begin{eqnarray*} &&x^2-4x\\ &=&(2+\sqrt{5})^2-4(2+\sqrt{5})\\ &=&4+4\sqrt{5}+5-8-4\sqrt{5}\\ &=&1 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-\cfrac{3}{4}$ のとき、$y=9$ である。$x=8$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-96$
比例の式の形は $y=ax$ \begin{eqnarray*} y&=&axに\ x=-\cfrac{3}{4}, \ y=9\ を代入する\\ 9&=&-\cfrac{3}{4}a\quad(両辺に\times4)\\ 36&=&-3a\\ -12&=&a\\ y&=&-12x \ に \ x=8 \ を代入する\\ y&=&-12\times8=-96 \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-\cfrac{3}{4}$ のとき、$y=8$ である。$x=3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-2$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-\cfrac{3}{4}\times8=-6\\ y=-\cfrac{6}{x}\ に\ x=3\ を代入する\\ y=-\cfrac{6}{3}=-2$$⑤ $2$ 点 $(-3, \ 5), \ (2, \ 7)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{2}{5}x+\cfrac{31}{5}$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{7-5}{2-(-3)}=\cfrac{2}{5}\\ \\ y&=&\cfrac{2}{5}x+bに x=2, \ y=7 を代入する\\ 7&=&\cfrac{2}{5}\times2+b\\ 7&=&\cfrac{4}{5}+b\\ 7-\cfrac{4}{5}&=&b\\ \cfrac{31}{5}&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-8$ のとき、$y=32$ である。$x=\cfrac{1}{2}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{1}{8}$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{32}{(-8)^2}=\cfrac{32}{64}=\cfrac{1}{2}\\ y=\cfrac{1}{2}x^2に\ x=\cfrac{1}{2}\ を代入する\\ y=\cfrac{1}{2}\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^2=\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{8}$$⑦ 下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
答え 放物線…$y=-\cfrac{2}{5}x^2$
点 $Q$ の座標…$\left(-2, \ -\cfrac{8}{5}\right)$
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P(5, \ -10)$ だから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y}{x^2}\\ &=&\cfrac{-10}{5^2}=-\cfrac{2}{5}\\ \end{eqnarray*} ＜点 $Q$ の座標＞
$x$ 座標は $-2$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=-\cfrac{2}{5}x^2$ に $x=-2$ を代入
$ y=-\cfrac{2}{5}\times(-2)^2=-\cfrac{8}{5} $
⑧ $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 1\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$ と数字のかかれたカードが全部で $4$ 枚ある。この中から $2$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$2$ けたの整数をつくるとき、偶数となる確率を求めなさい。
赤でチェックしたところが偶数。⑨ $2$ 個のサイコロを投げるとき、出る目の和が $3$ の倍数になる確率を求めなさい。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①11②-38③-\cfrac{12}{35}④-3x+2 ⑤-8x+4y\\ ⑥\cfrac{-11x-12y}{15}\quad\left(-\cfrac{11x+12y}{15},-\cfrac{11}{15}x-\cfrac{4}{5}yも可\right)\\ ⑦x^2-17x+60 ⑧\cfrac{1}{4}x^2-xy+y^2⑨4a^2-9b^2\\ ⑩x^2+5x-9 ⑪-\cfrac{2\sqrt{15}}{3}⑫-\cfrac{3}{2}⑬81+8\sqrt{5}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①7a(2bc-3b+1)②(x+14)(x+1)\\ ③\left(2x-\cfrac{3}{5}y\right)^2④\left(11p+14q\right)\left(11p-14q\right)\\ ⑤3(x-4y)(x+3y)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{11}{3}②x=3,y=-25\\ ③x=12,x=-3④x=\pm\cfrac{2\sqrt{15}}{3}⑤x=0,x=-\cfrac{3}{2}\\ ⑥x=-\cfrac{1}{4}⑦x=5, \ x=1⑧x=1\pm\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-2y+6}{3}\left(x=-\cfrac{2y-6}{3},-\cfrac{2}{3}y+2も可\right)\\ ②1③y=-96④y=-2 ⑤y=\cfrac{2}{5}x+\cfrac{31}{5}⑥y=\cfrac{1}{8}\\ ⑦放物線…y=-\cfrac{2}{5}x^2，Ｑの座標\left(-2,-\cfrac{8}{5}\right)\\ ⑧\cfrac{5}{9}⑨\cfrac{1}{3} $