中3数学 2学期の計算 第17回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-20-12\div4$
答え $-23$
\begin{eqnarray*} &&-20-12\div4\\ &=&-20-3\\ &=&-23 \end{eqnarray*}② $(-5)^2\times(-2)-(-6^2)\div3$
答え $-38$
\begin{eqnarray*} &&(-5)^2\times(-2)-(-6^2)\div3\\ &=&25\times(-2)+36\div3\\ &=&-50+12\\ &=&-38 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{5}{3}+\cfrac{16}{3}\div\left(-\cfrac{20}{9}\right)$
答え $\cfrac{1}{15}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{5}{3}+\cfrac{16}{3}\div\left(-\cfrac{20}{9}\right)\\ &=&\cfrac{5}{3}+\cfrac{16}{3}\times\left(-\cfrac{9}{20}\right)\\ &=&\cfrac{5}{3}-\cfrac{12}{5}\\ &=&\cfrac{25}{15}-\cfrac{36}{15}\\ &=&-\cfrac{11}{15} \end{eqnarray*}④ $\cfrac{4}{5}(25x-40)-\cfrac{3}{4}(16x-36)$
答え $8x-5$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{4}{5}(25x-40)-\cfrac{3}{4}(16x-36)\\ &=&20x-32-12x+27\\ &=&8x-5 \end{eqnarray*}⑤ $(27x^2y+63xy^2)\div\left(-\cfrac{9}{4}xy\right)$
答え $-12x-24y$
\begin{eqnarray*} &&(27x^2y+63xy^2)\div\left(-\cfrac{9}{4}xy\right)\\ &=&(27x^2y+63xy^2)\times\left(-\cfrac{4}{9xy}\right)\\ &=&27x^2y\times\left(-\cfrac{4}{9xy}\right)+63xy^2\times\left(-\cfrac{4}{9xy}\right)\\ &=&-12x-28y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{x+5y}{4}-\cfrac{3x+2y}{8}$
答え $\cfrac{-x+8y}{8}\\\quad\left(-\cfrac{x-8y}{8},-\cfrac{1}{8}x+yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x+5y}{4}-\cfrac{3x+2y}{8}\\ &=&\cfrac{2(x+5y)-(3x+2y)}{8}\\ &=&\cfrac{2x+10y-3x-2y}{8}\\ &=&\cfrac{-x+8y}{8} \end{eqnarray*}⑦ $(x-3)(x-7)$
答え $x^2-10x+21$
⑧ $\left(\cfrac{5}{4}x-\cfrac{2}{3}y\right)^2$
答え $\cfrac{25}{16}x^2-\cfrac{5}{3}xy+\cfrac{4}{9}y^2$
⑨ $\left(1.2a+1.1b\right)\left(1.2a-1.1b\right)$
答え $1.44a^2-1.21b^2$
⑩ $-2(2x+1)(x-2)-(x+1)(3x-4)$
答え $-7x^2+7x+8$
\begin{eqnarray*} &&-2(2x+1)(x-2)-(x+1)(3x-4)\\ &=&-2(2x^2-4x+x-2)-(3x^2-4x+3x-4)\\ &=&-2(2x^2-3x-2)-(3x^2-x-4)\\ &=&-4x^2+6x+4-3x^2+x+4\\ &=&-7x^2+7x+8 \end{eqnarray*}⑪ $-\sqrt{8}\times3\sqrt{12}+11\sqrt{27}\div\sqrt{2}$
答え $-\cfrac{3\sqrt{6}}{2}$
\begin{eqnarray*} &&-\sqrt{8}\times3\sqrt{12}+11\sqrt{27}\div\sqrt{2}\\ &=&-3\sqrt{96}+\cfrac{11\sqrt{27}}{\sqrt{2}}\\ &=&-12\sqrt{6}+\cfrac{33\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\ &=&-12\sqrt{6}+\cfrac{33\sqrt{6}}{2}\\ &=&-\cfrac{24\sqrt{6}}{2}+\cfrac{33\sqrt{6}}{2}\\ &=&\cfrac{9\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}⑫ $-10\sqrt{2}\div(-5\sqrt{12})\times3\sqrt{3}$
答え $3\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&-10\sqrt{2}\div(-5\sqrt{12})\times3\sqrt{3}\\ &=&\cfrac{10\sqrt{2}\times3\sqrt{3}}{5\sqrt{12}}\\ &=&\cfrac{6}{\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{2}}{2}\\ &=&3\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑬ $-\left(3\sqrt{5}+4\right)^2$
答え $-61-24\sqrt{5}$
\begin{eqnarray*} &&-\left(3\sqrt{5}+4\right)^2\\ &=&-(45+24\sqrt{5}+16)\\ &=&-(61+24\sqrt{5})\\ &=&-61-24\sqrt{5} \end{eqnarray*}① $48m^2n-96mn^2+24mn$
答え $24mn(2m-4n+1)$
② $x^2-14x-51$
答え $(x-17)(x+3)$
③ $x^2+xy+\cfrac{1}{4}y^2$
答え $\left(x+\cfrac{1}{2}y\right)^2$
④ $a^2-\cfrac{144}{169}$
答え $\left(a+\cfrac{12}{13}\right)\left(a-\cfrac{12}{13}\right)$
⑤ $ax-ay-4x+4y$
答え $(x-y)(a-4)$
\begin{eqnarray*} &&ax-ay-4x+4y\\ &=&a(x-y)-4(x-y)\\ &&x-y=Aとする\\ &=&aA-4A\\ &=&A(a-4)\\ &=&(x-y)(a-4) \end{eqnarray*}① $-\cfrac{x+6}{8}=-\cfrac{5}{4}x-3$
答え $x=-2$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{x+6}{8}&=&-\cfrac{5}{4}x-3\quad(\times8) \\ -x-6&=&-10x-24 \\ -x+10x&=&-24+6\\ 9x&=&-18 \\ x&=&-\cfrac{18}{9}=-2 \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 0.7x+0.4y=2.3\\ 3x-3y=2y-64 \end{array}\right.$
答え $x=-3,y=11$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 0.7x+0.4y=2.3\qquad…①\\ 3x-3y=2y-64\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $①\times10$ \begin{eqnarray*} 0.7x+0.4y&=&2.3\quad(\times10)\\ 7x+4y&=&23\qquad…③ \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 3x-3y&=&2y-64\\ 3x-3y-2y&=&-64\\ 3x-5y&=&-64\qquad…④ \end{eqnarray*} $③\times5+④\times4$ \begin{eqnarray*} 35x+20y=\phantom{-}115\\ \underline{+) \quad 12x-20y=-256} \\ 47x\phantom{-112y}=-141\\ x=-3\phantom{12} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-3を③に代入\\ 7\times(-3)+4y&=&23\\ -21+4y&=&23\\ 4y&=&23+21\\ 4y&=&44\\ y&=&11\\ \left\{ \begin{array}{l} x=-3\\ y=11 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $(x-8)(x-4)=77$
答え $x=15 ,\ x=-3$
\begin{eqnarray*} (x-8)(x-4)&=&77\\ x^2-12x+32&=&77\\ x^2-12x+32-77&=&0\\ x^2-12x-45&=&0 \\ (x-15)(x+3)&=&0\\ x&=&15,\ x=-3 \end{eqnarray*}④ $\cfrac{3}{2}x^2-1=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{2}x^2-1&=&0 \quad\left(両辺に\times2\right)\\ 3x^2-2&=&0 \\ 3x^2&=&2\\ x^2&=&\cfrac{2}{3}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{2}{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{3} \end{eqnarray*}⑤ $5x^2=\cfrac{10}{3}x$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{2}{3}$
\begin{eqnarray*} 5x^2&=&\cfrac{10}{3}x \quad\left(両辺に\times3\right)\\ 15x^2&=&10x \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{5}\right)\\ 3x^2&=&2x\\ 3x^2-2x&=&0\\ x(3x-2)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=\cfrac{2}{3} \end{eqnarray*}⑥ $(x+8)^2=8(x+6)$
答え $x=-4$
\begin{eqnarray*} (x+8)^2&=&8(x+6)\\ x^2+16x+64&=&8x+48\\ x^2+16x+64&-&8x-48=0\\ x^2+8x+16&=&0\\ (x+4)^2&=&0\\ x&=&-4 \end{eqnarray*}⑦ $2(x+8)^2=8$
答え $x=-6, \ x=-10$
\begin{eqnarray*} 2(x+8)^2&=&8\\ (x+8)^2&=&4\\ x+8&=&\pm\sqrt{4}\\ x+8&=&\pm2\\ x&=&-8\pm2\\ x&=&-6, \ x=-10 \end{eqnarray*}⑧ $x^2+8x+4=0$
答え $x=-4\pm2\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} x^2&+&8x+4=0\\ x&=&\cfrac{-8\pm\sqrt{8^2-4\times1\times4}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{-8\pm\sqrt{64-16}}{2}\\ &=&\cfrac{-8\pm\sqrt{48}}{2}\\ &=&\cfrac{-8\pm4\sqrt{3}}{2}\\ &=&-4\pm2\sqrt{3} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$x=-\cfrac{4y-24}{3}\quad[y]$
答え $y=\cfrac{-3x+24}{4}\\\left(y=-\cfrac{3x-24}{4},-\cfrac{3}{4}x+6も可\right)$
\begin{eqnarray*} x&=&-\cfrac{4y-24}{3}\quad[y]\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ -\cfrac{4y-24}{3}&=&x\quad(両辺に\times3)\\ -4y+24&=&3x\quad(両辺に\times-1)\\ 4y-24&=&-3x\\ 4y&=&-3x+24\\ y&=&\cfrac{-3x+24}{4} \end{eqnarray*}$a=\sqrt{5}+5$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$a^2-10a$
答え $-20$
\begin{eqnarray*} &&a^2-10a\\ &=&a(a-10)\\ &=&(\sqrt{5}+5)(\sqrt{5}+5-10)\\ &=&(\sqrt{5}+5)(\sqrt{5}-5)\\ &=&5-25\\ &=&-20 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます。 \begin{eqnarray*} &&a^2-10a\\ &=&(\sqrt{5}+5)^2-10(\sqrt{5}+5)\\ &=&5+10\sqrt{5}+25-10\sqrt{5}-50\\ &=&-20 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-\cfrac{2}{7}$ のとき、$y=-\cfrac{5}{21}$ である。$x=-12$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-10$
比例の式の形は $y=ax$ \begin{eqnarray*} y&=&axに\ x=-\cfrac{2}{7}, \ y=-\cfrac{5}{21}\ を代入する\\ -\cfrac{5}{21}&=&-\cfrac{2}{7}a\quad(両辺に\times21)\\ -5&=&-6a\\ \cfrac{5}{6}&=&a\\ y&=&\cfrac{5}{6}x \ に \ x=-12 \ を代入する\\ y&=&\cfrac{5}{6}\times(-12)=-10 \end{eqnarray*}④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=3$ のとき、$y=-8$ である。$x=36$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{2}{3}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=3\times\left(-8\right)=-24\\ y=-\cfrac{24}{x}\ に\ x=36\ を代入する\\ y=-\cfrac{24}{36}=-\cfrac{2}{3}$$⑤ $2$ 点 $(-3, \ -3), \ (6, \ 3)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{2}{3}x-1$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{3-(-3)}{6-(-3)}=\cfrac{6}{9}=\cfrac{2}{3}\\ \\ y&=&\cfrac{2}{3}x+bに x=6, \ y=3 を代入する\\ 3&=&\cfrac{2}{3}\times6+b\\ 3&=&4+b\\ 3-4&=&b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=6$ のとき、$y=-18$ である。$x=-4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-8$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{-18}{6^2}=\cfrac{-18}{36}=-\cfrac{1}{2}\\ y=-\cfrac{1}{2}x^2に\ x=-4\ を代入する\\ y=-\cfrac{1}{2}\times(-4)^2=-\cfrac{1}{2}\times16=-8$$⑦ 下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
答え 放物線…$y=-\cfrac{1}{4}x^2$
点 $Q$ の座標…$\left(6, \ -9\right)$
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P\left(-4, \ -4\right)$ だから、 \begin{eqnarray*} y=ax^2&に&\ x=-4, \ y=-4\ を代入する\\ -4&=&a\times(-4)^2\\ -4&=&16a -\cfrac{1}{4}&=&a \end{eqnarray*} ＜点 $Q$ の座標＞
$x$ 座標は $6$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=-\cfrac{1}{4}x^2$ に $x=6$ を代入
$ y=-\cfrac{1}{4}\times6^2=-\cfrac{1}{4}\times36=-9 $
⑧ $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$$\boxed{\large{\ 4\ }}$$\boxed{\large{\ 8\ }}$ と数字のかかれたカードが全部で $4$ 枚ある。この中から $2$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$2$ けたの整数をつくるとき、 $6$ の倍数となる確率を求めなさい。
赤でチェックしたところが $6$ の倍数。⑨ 箱の中にくじが $6$ 本はいっている。このうち、当たりくじは $2$ 本である。箱の中からくじを $2$ 本同時にひくとき、少なくとも $1$ 本が当たる確率を求めなさい。
答え $\cfrac{3}{5}$
①，②，③，④，⑤, ⑥と、$6$ 本のくじに番号をつけてしまいます。そして、①と②が当たり、③と④と⑤と⑥がはずれということにします。①②③④⑤⑥という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「くじを同時にひく」ときは、同じくじをひけないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{18}{30}=\cfrac{3}{5}$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-23②-38③-\cfrac{11}{15}④8x-5 ⑤-12x-28y\\ ⑥\cfrac{-x+8y}{8}\quad\left(-\cfrac{x-8y}{8},-\cfrac{1}{8}x+yも可\right)\\ ⑦x^2-10x+21 ⑧\cfrac{25}{16}x^2-\cfrac{5}{3}xy+\cfrac{4}{9}y^2\\ ⑨1.44a^2-1.21b^2 ⑩-7x^2+7x+8\\ ⑪\cfrac{9\sqrt{6}}{2}⑫3\sqrt{2}⑬-61-24\sqrt{5}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①24mn(2m-4n+1)②(x-17)(x+3)\\ ③\left(x+\cfrac{1}{2}y\right)^2④\left(a+\cfrac{12}{13}\right)\left(a-\cfrac{12}{13}\right)\\ ⑤(x-y)(a-4)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-2②x=-3,y=11\\ ③x=15,x=-3④x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{3}⑤x=0,x=\cfrac{2}{3}\\ ⑥x=-4⑦x=-6,x=-10⑧x=-4\pm2\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①y=\cfrac{-3x+24}{4}\left(y=-\cfrac{3x-24}{4},-\cfrac{3}{4}x+6も可\right)\\ ②-20③y=-10④y=-\cfrac{2}{3} ⑤y=\cfrac{2}{3}x-1⑥y=-8\\ ⑦放物線…y=-\cfrac{1}{4}x^2，Ｑの座標\left(6,-9\right)\\ ⑧\cfrac{4}{9}⑨\cfrac{3}{5} $