中3数学 夏休みの計算 第17回 全32問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $17-(-8)\times(-4)$
答え $-15$
\begin{eqnarray*} &&17-(-8)\times(-4)\\ &=&17-32\\ &=&-15 \end{eqnarray*}② $\cfrac{3}{7}-1+\cfrac{7}{8}$
答え $\cfrac{17}{56}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3}{7}-1+\cfrac{7}{8}\\ &=&\cfrac{24}{56}-\cfrac{56}{56}+\cfrac{49}{56}\\ &=&\cfrac{17}{56} \end{eqnarray*}③ $(-2)^2-\{2-(-2^2)\}\times(-1^2)$
答え $10$
\begin{eqnarray*} &&(-2)^2-\{2-(-2^2)\}\times(-1^2)\\ &=&4-\{2-(-4)\}\times(-1)\\ &=&4-(2+4)\times(-1)\\ &=&4-(+6)\times(-1)\\ &=&4-6\times(-1)\\ &=&4+6\\ &=&10 \end{eqnarray*}④ $-2(5x+2)+3(4x+2)$
答え $2x+2$
\begin{eqnarray*} &&-2(5x+2)+3(4x+2)\\ &=&-10x-4+12x+6\\ &=&2x+2 \end{eqnarray*}⑤ $(-12a^2b+15ab^2)\div\left(-\cfrac{3}{2}ab\right)$
答え $8a-10b$
\begin{eqnarray*} &&(-12a^2b+15ab^2)\div\left(-\cfrac{3}{2}ab\right)\\ &=&(-12a^2b+15ab^2)\times\left(-\cfrac{2}{3ab}\right)\\ &=&-12a^2b\times\left(-\cfrac{2}{3ab}\right)+15ab^2\times\left(-\cfrac{2}{3ab}\right)\\ &=&8a-10b \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{x-3y}{2}-\cfrac{6x-y}{4}$
答え $\cfrac{-4x-5y}{4}\\\quad\left(-\cfrac{4x+5y}{4},-x-\cfrac{5}{4}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-3y}{2}-\cfrac{6x-y}{4}\\ &=&\cfrac{2(x-3y)-(6x-y)}{4}\\ &=&\cfrac{2x-6y-6x+y}{4}\\ &=&\cfrac{-4x-5y}{4} \end{eqnarray*}⑦ $(x+6)(x-5)$
答え $x^2+x-30$
⑧ $(2x+5)^2$
答え $4x^2+20x+25$
⑨ $\left(\cfrac{11}{12}x+y\right)\left(\cfrac{11}{12}x-y\right)$
答え $\cfrac{121}{144}x^2-y^2$
⑩ $2(x-y)(x+3y)-3(x+2y)^2$
答え $-x^2-8xy-18y^2$
\begin{eqnarray*} &&2(x^2+2xy-3y^2)-3(x^2+4xy+4y^2)\\ &=&2x^2+4xy-6y^2-3x^2-12xy-12y^2\\ &=&-x^2-8xy-18y^2 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{32}-\sqrt{\cfrac{1}{2}}$
答え $\cfrac{7\sqrt{2}}{2}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{32}-\sqrt{\cfrac{1}{2}}\\ &=&4\sqrt{2}-\cfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\\ &=&4\sqrt{2}-\cfrac{1}{\sqrt{2}}\\ &=&4\sqrt{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\\ &=&\cfrac{8\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\\ &=&\cfrac{7\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}⑫ $10\sqrt{30}\div\sqrt{10}\div\sqrt{15}$
答え $2\sqrt{5}$
\begin{eqnarray*} &&10\sqrt{30}\div\sqrt{10}\div\sqrt{15}\\ &=&\cfrac{10\sqrt{30}}{\sqrt{10}\times\sqrt{15}}\\ &=&\cfrac{10}{\sqrt{5}}\\ &=&\cfrac{10\sqrt{5}}{5}\\ &=&2\sqrt{5} \end{eqnarray*}⑬ $\left(3-2\sqrt{3}\right)^2$
答え $21-12\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} &&\left(3-2\sqrt{3}\right)^2\\ &=&9-12\sqrt{3}+12\\ &=&21-12\sqrt{3} \end{eqnarray*}① $32a^2b-96ab^2$
答え $32ab(a-3b)$
② $x^2-3x-54$
答え $(x+6)(x-9)$
③ $9x^2-6xy+y^2$
答え $(3x-y)^2$
④ $4a^2-\cfrac{9}{169}b^2$
答え $\left(2a+\cfrac{3}{13}b\right)\left(2a-\cfrac{3}{13}b\right)$
⑤ $-x^2-2xy-y^2$
答え $-(x+y)^2$
\begin{eqnarray*} &&-x^2-2xy-y^2\\ &=&-(x^2+2xy+y^2)\\ &=&-(x+y)^2 \end{eqnarray*}① $12x+3=\cfrac{1-x}{2}$
答え $x=-\cfrac{1}{5}$
\begin{eqnarray*} 12x+3&=&\cfrac{1-x}{2}\quad(\times2) \\ 24x+6&=&1-x \\ 24x+x&=&1-6 \\ 25x&=&-5\\ x&=&-\cfrac{5}{25}=-\cfrac{1}{5} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 4x+5y=2\\ 0.3x-0.4y=1.7 \end{array}\right.$
答え $x=3,y=-2$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x+5y=2\qquad…①\\ 0.3x-0.4y=1.7\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②\times10$ \begin{eqnarray*} 0.3x-0.4y&=&1.7\quad(\times10)\\ 3x-4y&=&17\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times3-③\times4$ \begin{eqnarray*} 12x+15y=\phantom{-1}6\\ \underline{-) \quad 12x-16y=\phantom{-}68} \\ 31y=-62 \\ y=-2\phantom{5} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-2を①に代入\\ 4x+5\times(-2)&=&2\\ 4x-10&=&2\\ 4x&=&2+10\\ 4x&=&12\\ x&=&3 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=3\\ y=-2 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2-17x-60=0$
答え $x=20 ,\ x=-3$
\begin{eqnarray*} x^2-17x-60&=&0 \\ (x-20)(x+3)&=&0\\ x&=&20,\ x=-3 \end{eqnarray*}④ $-36x^2+60x-25=0$
答え $x=\cfrac{5}{6}$
\begin{eqnarray*} -36x^2+60x-25&=&0 \quad(\times-1)\\ 36x^2-60x+25&=&0\\ (6x-5)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{5}{6} \end{eqnarray*}⑤ $32x^2-20=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{10}}{4}$
\begin{eqnarray*} 32x^2-20&=&0 \quad(\div4)\\ 8x^2-5&=&0 \\ 8x^2&=&5 \\ x^2&=&\cfrac{5}{8}\\ x&=&\pm \sqrt{\cfrac{5}{8}}=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}=\pm\cfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{10}}{4} \end{eqnarray*}⑥ $-32x^2=20x$
答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{5}{8}$
\begin{eqnarray*} -32x^2&=&20x \quad(\div-4)\\ 8x^2&=&-5x\\ 8x^2+5x&=&0\\ x(8x+5)&=&0\\ x&=&0,\ x=-\cfrac{5}{8} \end{eqnarray*}⑦ $-5x^2+9x=4$
答え $x=1 ,\ x=\cfrac{4}{5}$
\begin{eqnarray*} -5x^2+9x&=&4\\ -5x^2+9x-4&=&0\quad(\times-1)\\ 5x^2-9x+4&=&0 \end{eqnarray*} $2$ 次方程式の解の公式により、 \begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-9)\pm\sqrt{(-9)^2-4\times5\times4}}{2\times5}\\ &=&\cfrac{9\pm\sqrt{81-80}}{10}\\ &=&\cfrac{9\pm\sqrt{1}}{10}\\ &=&\cfrac{9\pm1}{10}\\ x&=&\cfrac{10}{10} ,\ x=\cfrac{8}{10}\\ x&=&1 ,\ x=\cfrac{4}{5} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$-5x=\cfrac{20}{3}y-6\quad[y]$
答え $y=\cfrac{-15x+18}{20}\\ \left(-\cfrac{15x-18}{20},-\cfrac{3}{4}x+\cfrac{9}{10}も可\right)$
\begin{eqnarray*} -5x&=&\cfrac{20}{3}y-6\quad(\times3) \\ -15x&=&20y-18\quad(左辺と右辺をとりかえる) \\ 20y-18&=&-15x\\ 20y&=&-15x+18\\ y&=&\cfrac{-15x+18}{20} \end{eqnarray*} $x=2\sqrt{3}+5, \ y=2\sqrt{3}-5$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2+xy$
答え $24+20\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} &&x^2+xy\\ &=&x(x+y) \quadここで代入\\ &=&(2\sqrt{3}+5)(2\sqrt{3}+5+2\sqrt{3}-5)\\ &=&(2\sqrt{3}+5)(4\sqrt{3})\\ &=&24+20\sqrt{3} \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや、自信がないときは、単に代入して、がんばって計算すれば同じ答えがでます。 \begin{eqnarray*} &&x^2+xy\\ &=&(2\sqrt{3}+5)^2+(2\sqrt{3}+5)(2\sqrt{3}-5)\\ &=&12+20\sqrt{3}+25+12-25\\ &=&24+20\sqrt{3} \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-9$ のとき、$y=6$ である。$x=\cfrac{1}{2}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{1}{3}$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{6}{-9}=-\cfrac{2}{3}\\ y=-\cfrac{2}{3}xに\ x=\cfrac{1}{2}\ を代入する\\ y=-\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{2}=-\cfrac{1}{3}$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=7$ のとき、$y=-6$ である。$x=9$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{14}{3}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=7\times(-6)=-42\\ y=-\cfrac{42}{x}\ に\ x=9\ を代入する\\ y=-\cfrac{42}{9}=-\cfrac{14}{3}$$⑤ 下の直線の式を求めなさい。
答え $y=3x-1$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-4-5}{-1-2}=\cfrac{-9}{-3}=3\\ \end{eqnarray*} $y=3x+b$ に $x=2,\ y=5$ を代入 \begin{eqnarray*} 5&=&3\times2+b\\ 5&=&6+b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}⑥ $8$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$48$ 点、$73$ 点、$64$ 点、$12$ 点、$96$ 点、$72$ 点、$46$ 点、$53$ 点だった。このときの中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $58.5\ 点$
得点を低い順にならべると、$$12,\ 46,\ 48,\ 53,\ 64,\ 72, \ 73,\ 96$$ $8$ 人の中央値（メジアン）は $4$ 番目と $5$ 番目の平均だから、 $$(53+64)\div2=58.5$$
⑥ 箱の中にくじが $6$ 本はいっている。このうち、当たりくじは $2$ 本である。箱の中からくじを $1$ 本ひいて、箱に戻す。さらにもう一度くじをひくとき、はじめにひいたくじと、$2$ 回目にひいたくじのうち、少なくとも $1$ 本が当たる確率を求めなさい。
答え $\cfrac{5}{9}$
①，②，③，④，⑤, ⑥と、$6$ 本のくじに番号をつけてしまいます。そして、①と②が当たり、③と④と⑤と⑥がはずれということにします。①②③④⑤⑥という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「いったんひいたくじをもとに戻し、またくじをひく」ときは、同じくじをひけるので、表にナナメ線は入れません。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{20}{36}=\cfrac{5}{9}$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-15②\cfrac{17}{56}③10④2x+2⑤8a-10b\\ ⑥\cfrac{-4x-5y}{4}\quad\left(-\cfrac{4x+5y}{4},-x-\cfrac{5}{4}yも可\right)\\ ⑦x^2+x-30 ⑧4x^2+20x+25⑨\cfrac{121}{144}x^2-y^2\\ ⑩-x^2-8xy-18y^2 ⑪\cfrac{7\sqrt{2}}{2}⑫2\sqrt{5}⑬21-12\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①32ab(a-3b)②(x+6)(x-9) ③(3x-y)^2\\ ④\left(2a+\cfrac{3}{13}b\right)\left(2a-\cfrac{3}{13}b\right) ⑤-(x+y)^2\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{1}{5}②x=3 ,y=-2③x=20,x=-3\\ ④x=\cfrac{5}{6}⑤x=\pm\cfrac{\sqrt{10}}{4}⑥x=0,x=-\cfrac{5}{8}\\ ⑦x=1,x=\cfrac{4}{5}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①y=\cfrac{-15x+18}{20} \left(-\cfrac{15x-18}{20},-\cfrac{3}{4}x+\cfrac{9}{10}も可\right)\\ ②24+20\sqrt{3}③y=-\cfrac{1}{3} ④y=-\cfrac{14}{3}⑤y=3x-1\\ ⑥58.5点 ⑦\cfrac{5}{9} $