中3数学 夏休みの計算 第7回 全32問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $25+8\times(-4)$
答え $-7$
\begin{eqnarray*} &&25+8\times(-4)\\ &=&25-32\\ &=&-7 \end{eqnarray*}② $-\cfrac{5}{4}-\cfrac{2}{5}+1$
答え $-\cfrac{13}{20}$
\begin{eqnarray*} &&-\cfrac{5}{4}-\cfrac{2}{5}+1\\ &=&-\cfrac{25}{20}-\cfrac{8}{20}+\cfrac{20}{20}\\ &=&-\cfrac{13}{20} \end{eqnarray*}③ $(-4^2)+(-2+4)\times(-3)^2$
答え $2$
\begin{eqnarray*} &&(-4^2)+(-2+4)\times(-3)^2\\ &=&-16+(-2+4)\times9\\ &=&-16+(+2)\times9\\ &=&-16+18\\ &=&2 \end{eqnarray*}④ $-(5x-15)+4(x+3)$
答え $-x+27$
\begin{eqnarray*} &&-(5x-15)+4(x+3)\\ &=&-5x+15+4x+12\\ &=&-x+27 \end{eqnarray*}⑤ $(-8x^2y+24xy^2)\div\left(-\cfrac{8}{3}xy\right)$
答え $3x-9y$
\begin{eqnarray*} &&(-8x^2y+24xy^2)\div\left(-\cfrac{8}{3}xy\right)\\ &=&(-8x^2y+24xy^2)\times\left(-\cfrac{3}{8xy}\right)\\ &=&-8x^2y\times\left(-\cfrac{3}{8xy}\right)+24xy^2\times\left(-\cfrac{3}{8xy}\right)\\ &=&3x-9y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{a+2b}{2}-\cfrac{4a-3b}{3}$
答え $\cfrac{-5a+12b}{6}\\\quad\left(-\cfrac{5a-12b}{6},-\cfrac{5}{6}a+2bも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{a+2b}{2}-\cfrac{4a-3b}{3}\\ &=&\cfrac{3(a+2b)-2(4a-3b)}{6}\\ &=&\cfrac{3a+6b-8a+6b}{6}\\ &=&\cfrac{-5a+12b}{6} \end{eqnarray*}⑦ $(x-4)(x+10)$
答え $x^2+6x-40$
⑧ $\left(x-\cfrac{1}{2}\right)^2$
答え $x^2-x+\cfrac{1}{4}$
⑨ $(4x+3y)(4x-3y)$
答え $16x^2-9y^2$
⑩ $-3(x+2y)^2+(x+4y)(x-y)$
答え $-2x^2-9xy-16y^2$
\begin{eqnarray*} &&-3(x^2+4xy+4y^2)+x^2+3xy-4y^2\\ &=&-3x^2-12xy-12y^2+x^2+3xy-4y^2\\ &=&-2x^2-9xy-16y^2 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{50}-\sqrt{\cfrac{25}{32}}$
答え $\cfrac{35\sqrt{2}}{8}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{50}-\sqrt{\cfrac{25}{32}}\\ &=&5\sqrt{2}-\cfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{32}}\\ &=&5\sqrt{2}-\cfrac{5}{4\sqrt{2}}\\ &=&5\sqrt{2}-\cfrac{5\sqrt{2}}{8}\\ &=&\cfrac{40\sqrt{2}}{8}-\cfrac{5\sqrt{2}}{8}\\\ &=&\cfrac{35\sqrt{2}}{8} \end{eqnarray*}⑫ $\sqrt{15}\times6\sqrt{6}\div2\sqrt{180}$
答え $\cfrac{3\sqrt{2}}{2}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{15}\times6\sqrt{6}\div2\sqrt{180}\\ &=&\cfrac{\sqrt{15}\times6\sqrt{6}}{2\sqrt{180}}\\ &=&\cfrac{3}{\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}⑬ $\left(5\sqrt{2}-2\right)^2$
答え $54-20\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(5\sqrt{2}-2\right)^2\\ &=&50-20\sqrt{2}+4\\ &=&54-20\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $21x^2y-42xy$
答え $21xy(x-2)$
② $x^2-15x+36$
答え $(x-12)(x-3)$
③ $4x^2+\cfrac{7}{2}xy+\cfrac{49}{81}y^2$
答え $\left(2x+\cfrac{7}{9}y\right)^2$
④ $a^2-\cfrac{1}{16}$
答え $\left(a+\cfrac{1}{4}\right)\left(a-\cfrac{1}{4}\right)$
⑤ $5x^2-10x-75$
答え $5(x+3)(x-5)$
\begin{eqnarray*} &&5x^2-10x-75\\ &=&5(x^2-2x-15)\\ &=&5(x+3)(x-5) \end{eqnarray*}① $-0.6x+1=\cfrac{2}{5}x+\cfrac{1}{2}$
答え $x=\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} -0.6x+1&=&\cfrac{2}{5}x+\cfrac{1}{2}\quad(\times10) \\ -6x+10&=&4x+5 \\ -6x-4x&=&5-10\\ -10x&=&-5\\ x&=&\cfrac{5}{10}=\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 7x-4y=-25\\ 3(x+y)=x-3 \end{array}\right.$
答え $x=-3,y=1$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 7x-4y=-25\qquad…①\\ 3(x+y)=x-3\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 3x+3y&=&x-3\\ 3x+3y-x&=&-3\\ 2x+3y&=&-3\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times3+③\times4$ \begin{eqnarray*} 21x-12y=-75\\ \underline{+) \quad 8x+12y=-12} \\ 29x\phantom{-12y}=-87 \\ x=-3\phantom{5} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-3を③に代入\\ 2\times(-3)+3y&=&-3\\ -6+3y&=&-3\\ 3y&=&-3+6\\ 3y&=&3\\ y&=&1 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-3\\ y=1 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2-6x-72=0$
答え $x=12 ,\ x=-6$
\begin{eqnarray*} x^2-4x-60&=&0 \\ (x-12)(x+6)&=&0\\ x&=&12,\ x=-6 \end{eqnarray*}④ $144x^2+24x+1=0$
答え $x=-\cfrac{1}{12}$
\begin{eqnarray*} 144x^2+24x+1&=&0 \\ (12x+1)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{1}{12} \end{eqnarray*}⑤ $6x^2=8$
答え $x=\pm \cfrac{2\sqrt{3}}{3}$
\begin{eqnarray*} 6x^2&=&8 \quad(\div2)\\ 3x^2&=&4 \\ x^2&=&\cfrac{4}{3}\\ x&=&\pm \sqrt {\frac{\ 4\ }{\ 3\ }}=\pm \cfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}=\pm \cfrac{2}{\sqrt{3}}=\pm \cfrac{2\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}⑥ $3x^2=15x$
答え $x=0 ,\ x=5$
\begin{eqnarray*} 3x^2&=&15x \quad(\div5)\\ x^2&=&5x \\ x^2-5x&=&0\\ x(x-5)&=&0\\ x&=&0,\ x=5 \end{eqnarray*}⑦ $3x^2-3=x^2-3x+1$
答え $x=\cfrac{-3\pm\sqrt{41}}{4}$
\begin{eqnarray*} 3x^2-3&=&x^2-3x+1\\ 3x^2-3-x^2+3x-1&=&0\\ 2x^2+3x-4&=&0 \end{eqnarray*} $2$ 次方程式の解の公式により、 \begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times2\times(-4)}}{2\times2}\\ &=&\cfrac{-3\pm\sqrt{9+32}}{4}\\ &=&\cfrac{-3\pm\sqrt{41}}{4} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=\cfrac{1}{4}x-\cfrac{2}{3}\quad[x]$
答え $x=\cfrac{12y+8}{3}\\ \left(4y+\cfrac{8}{3}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{1}{4}x-\cfrac{2}{3}\quad(\times12) \\ 12y&=&3x-8\quad(左辺と右辺をとりかえる) \\ 3x-8&=&12y\\ 3x&=&12y+8\\ x&=&\cfrac{12y+8}{3} \end{eqnarray*}$x=1+\sqrt{2}, \ y=2\sqrt{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-xy$
答え $-1$
\begin{eqnarray*} &&x^2-xy\\ &=&x(x-y)\quad \class{mathbg-r}{（ここで代入する）} \\ &=&(1+\sqrt{2})(1+\sqrt{2}-2\sqrt{2})\\ &=&(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})\\ &=&1-2\\ &=&-1 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや、自信がないときは、単に代入して、がんばって計算すれば同じ答えがでます \begin{eqnarray*} &&x^2-xy\\ &=&(1+\sqrt{2})^2-(1+\sqrt{2})2\sqrt{2}\\ &=&1+2\sqrt{2}+2-(2\sqrt{2}+4)\\ &=&1+2\sqrt{2}+2-2\sqrt{2}-4\\ &=&-1 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=10$ のとき、$y=-5$ である。$x=-8$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=4$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-5}{10}=-\cfrac{1}{2}\\ y=-\cfrac{1}{2}xに\ x=-8\ を代入する\\ y=-\cfrac{1}{2}\times(-8)=4$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=5$ のとき、$y=-6$ である。$x=-2$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=15$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=5\times(-6)=-30\\ y=-\cfrac{30}{x}\ に\ x=-2\ を代入する\\ y=-\cfrac{30}{-2}=15$$⑤ 下の直線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{1}{2}x-3$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-1-(-4)}{-4-2}=\cfrac{3}{-6}=-\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{1}{2}x+b$ に $x=-4,\ y=-1$ を代入 \begin{eqnarray*} -1&=&-\cfrac{1}{2}\times(-4)+b\\ -1&=&2+b\\ -3&=&b \end{eqnarray*}⑥ $8$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$82$ 点、$79$ 点、$95$ 点、$86$ 点、$77$ 点、$90$ 点、$78$ 点、$69$ 点だった。このときの中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $80.5\ 点$
得点を低い順にならべると、$$69,\ 77,\ 78,\ 79,\ 82,\ 86,\ 90,\ 95$$ $8$ 人の中央値（メジアン）は $4$ 番目と $5$ 番目の平均だから、 $$(79+82)\div2=80.5$$
⑦ $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が 奇数になる確率を求めなさい。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-7②-\cfrac{13}{20}③2④-x+27⑤3x-9y\ ⑥\cfrac{-5a+12b}{6}\\\quad\left(-\cfrac{5a-12b}{6},-\cfrac{5}{6}a+2bも可\right)\\ ⑦x^2+6x-40 ⑧x^2-x+\cfrac{1}{4}⑨16x^2-9y^2\\ ⑩-2x^2-9xy-16y^2 ⑪\cfrac{35\sqrt{2}}{8}⑫\cfrac{3\sqrt{2}}{2}⑬54-20\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①21xy(x-2)②(x-12)(x-3)\\ ③\left(2x+\cfrac{7}{9}y\right)^2④\left(a+\cfrac{1}{4}\right)\left(a-\cfrac{1}{4}\right)\\ ⑤5(x+3)(x-5)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{1}{2}②x=-3,y=1③x=12,x=-6\\ ④x=-\cfrac{1}{12}⑤x=\pm\cfrac{2\sqrt{3}}{3}⑥x=0,x=5\\ ⑦x=\cfrac{-3\pm\sqrt{41}}{4}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{12y+8}{3} \left(4y+\cfrac{8}{3}も可\right)\\ ②-1③y=4 ④y=15⑤y=-\cfrac{1}{2}x-3⑥80.5点⑦\cfrac{1}{2} $