中3数学 夏休みの計算 第8回 全32問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-26+3\times(-6)$
答え $-44$
\begin{eqnarray*} &&-26+3\times(-6)\\ &=&-26-18\\ &=&-44 \end{eqnarray*}② $\cfrac{2}{3}-2+\cfrac{7}{4}$
答え $\cfrac{5}{12}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2}{3}-2+\cfrac{7}{4}\\ &=&\cfrac{8}{12}-\cfrac{24}{12}+\cfrac{21}{12}\\ &=&\cfrac{5}{12} \end{eqnarray*}③ $-5+(-1^2+3)\times(-2)^2$
答え $3$
\begin{eqnarray*} &&-5+(-1^2+3)\times(-2)^2\\ &=&-5+(-1+3)\times4\\ &=&-5+2\times4\\ &=&-5+8\\ &=&3 \end{eqnarray*}④ $2(5x-15)+3(x+9)$
答え $13x-3$
\begin{eqnarray*} &&2(5x-15)+3(x+9)\\ &=&10x-30+3x+27\\ &=&13x-3 \end{eqnarray*}⑤ $(-14x^2y+21xy^2)\div\left(-\cfrac{7}{5}xy\right)$
答え $10x-15y$
\begin{eqnarray*} &&(-14x^2y+21xy^2)\div\left(-\cfrac{7}{5}xy\right)\\ &=&(-14x^2y+21xy^2)\times\left(-\cfrac{5}{7xy}\right)\\ &=&-14x^2y\times\left(-\cfrac{5}{7xy}\right)+21xy^2\times\left(-\cfrac{5}{7xy}\right)\\ &=&10x-15y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{2a+3b}{4}-\cfrac{9a-6b}{8}$
答え $\cfrac{-5a+12b}{8}\\\quad\left(-\cfrac{5a-12b}{8},-\cfrac{5}{8}a+\cfrac{3}{2}bも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2a+3b}{4}-\cfrac{9a-6b}{8}\\ &=&\cfrac{2(2a+3b)-(9a-6b)}{8}\\ &=&\cfrac{4a+6b-9a+6b}{8}\\ &=&\cfrac{-5a+12b}{8} \end{eqnarray*}⑦ $(x-9)(x+6)$
答え $x^2-3x-54$
⑧ $\left(2x-\cfrac{3}{5}\right)^2$
答え $4x^2-\cfrac{12}{5}x+\cfrac{9}{25}$
⑨ $\left(\cfrac{3}{4}x+\cfrac{5}{6}y\right)\left(\cfrac{3}{4}x-\cfrac{5}{6}y\right)$
答え $\cfrac{9}{16}x^2-\cfrac{25}{36}y^2$
⑩ $2(2x-3y)^2-(3x+2y)(3x-4y)$
答え $-x^2-18xy+26y^2$
\begin{eqnarray*} &&2(4x^2-12xy+9y^2)-(9x^2-6xy-8y^2)\\ &=&8x^2-24xy+18y^2-9x^2+6xy+8y^2\\ &=&-x^2-18xy+26y^2 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{54}-\sqrt{\cfrac{8}{3}}$
答え $\cfrac{7\sqrt{6}}{3}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{54}-\sqrt{\cfrac{8}{3}}\\ &=&3\sqrt{6}-\cfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}\\ &=&3\sqrt{6}-\cfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ &=&3\sqrt{6}-\cfrac{2\sqrt{6}}{3}\\ &=&\cfrac{9\sqrt{6}}{3}-\cfrac{2\sqrt{6}}{3}\\\ &=&\cfrac{7\sqrt{6}}{3} \end{eqnarray*}⑫ $2\sqrt{10}\times6\sqrt{5}\div8\sqrt{175}$
答え $\cfrac{3\sqrt{14}}{14}$
\begin{eqnarray*} &&2\sqrt{10}\times6\sqrt{5}\div8\sqrt{175}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{10}\times6\sqrt{5}}{8\sqrt{175}}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{7}}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{14}}{14} \end{eqnarray*}⑬ $\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{6}\right)^2$
答え $51-36\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(3\sqrt{3}-2\sqrt{6}\right)^2\\ &=&27-12\sqrt{18}+24\\ &=&51-36\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $64x^2y-16xy$
答え $16xy(4x-1)$
② $x^2-16x+39$
答え $(x-13)(x-3)$
③ $36x^2+60xy+25y^2$
答え $(6x+5y)^2$
④ $9a^2-\cfrac{1}{4}$
答え $\left(3a+\cfrac{1}{2}\right)\left(3a-\cfrac{1}{2}\right)$
⑤ $64x^2-16y^2$
答え $16(2x+y)(2x-y)$
\begin{eqnarray*} &&64x^2-16y^2\\ &=&16(4x^2-y^2)\\ &=&16(2x+y)(2x-y) \end{eqnarray*}① $x-\cfrac{1}{4}=\cfrac{1-x}{2}$
答え $x=\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} x-\cfrac{1}{4}&=&\cfrac{1-x}{2}\quad(\times4) \\ 4x-1&=&2-2x \\ 4x+2x&=&2+1\\ 6x&=&3\\ x&=&\cfrac{3}{6}=\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 5x-4y=5\\ 3x+4y+4=9x-y \end{array}\right.$
答え $x=9,y=10$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 5x-4y=5\qquad…①\\ 3x+4y+4=9x-y\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 3x+4y+4&=&9x-y\\ 3x+4y-9x+y&=&-4\\ -6x+5y&=&-4\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times5+③\times4$ \begin{eqnarray*} 25x-20y=\phantom{-}25\\ \underline{+) \quad -24x+20y=-16} \\ x\phantom{-112y}=\phantom{-1}9 \\ \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=9を①に代入\\ 5\times9-4y&=&5\\ 45-4y&=&5\\ -4y&=&5-45\\ -4y&=&-40\\ y&=&10 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=9\\ y=10 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2+17x-60=0$
答え $x=-20 ,\ x=3$
\begin{eqnarray*} x^2+17x-60&=&0 \\ (x+20)(x-3)&=&0\\ x&=&-20,\ x=3 \end{eqnarray*}④ $4x^2-4x+1=0$
答え $x=\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} 4x^2-4x+1&=&0 \\ (2x-1)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}⑤ $12x^2-8=0$
答え $x=\pm \cfrac{\sqrt{6}}{3}$
\begin{eqnarray*} 12x^2-8&=&0 \quad(\div4)\\ 3x^2-2&=&0 \\ 3x^2&=&2 \\ x^2&=&\cfrac{2}{3}\\ x&=&\pm \sqrt {\frac{\ 2\ }{\ 3\ }}=\pm \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\pm \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\pm \cfrac{\sqrt{6}}{3} \end{eqnarray*}⑥ $24x^2=32x$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{4}{3}$
\begin{eqnarray*} 24x^2&=&32x \quad(\div8)\\ 3x^2&=&4x \\ 3x^2-4x&=&0\\ x(3x-4)&=&0\\ x&=&0,\ x=\cfrac{4}{3} \end{eqnarray*}⑦ $2x^2+4=5x^2+6x-2$
答え $x=-1\pm\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} 2x^2+4&=&5x^2+6x-2\\ 2x^2+4-5x^2-6x+2&=&0\\ -3x^2-6x+6&=&0\qquad(\div(-3))\\ x^2+2x-2&=&0 \end{eqnarray*} $2$ 次方程式の解の公式により、 \begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times1\times(-2)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}\\ &=&\cfrac{-2\pm\sqrt{12}}{2}\\ &=&\cfrac{-2\pm2\sqrt{3}}{2}\\ &=&-1\pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=\cfrac{4}{5}x-2\quad[x]$
答え $x=\cfrac{5y+10}{4}\\ \left(\cfrac{5}{4}y+\cfrac{5}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{4}{5}x-2\quad(\times5) \\ 5y&=&4x-10\quad(左辺と右辺をとりかえる) \\ 4x-10&=&5y\\ 4x&=&5y+10\\ x&=&\cfrac{5y+10}{4} \end{eqnarray*}$x=3+2\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-6x$
答え $3$
\begin{eqnarray*} &&x^2-6x\\ &=&x(x-6)\quad \class{mathbg-r}{（ここで代入する）} \\ &=&(3+2\sqrt{3})(3+2\sqrt{3}-6)\\ &=&(3+2\sqrt{3})(-3+2\sqrt{3})\\ &=&(2\sqrt{3}+3)(2\sqrt{3}-3)\\ &=&12-9\\ &=&3 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや、自信がないときは、単に代入して、がんばって計算すれば同じ答えがでます。ていうかこの問題、こっちのほうがラクかも。 \begin{eqnarray*} &&x^2-6x\\ &=&(3+2\sqrt{3})^2-6(3+2\sqrt{3})\\ &=&9+12\sqrt{3}+12-18-12\sqrt{3}\\ &=&3 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-8$ のとき、$y=48$ である。$x=3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-18$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{48}{-8}=-6\\ y=-6xに\ x=3\ を代入する\\ y=-6\times3=-18$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-2$ のとき、$y=3$ である。$x=6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-1$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-2\times3=-6\\ y=-\cfrac{6}{x}\ に\ x=6\ を代入する\\ y=-\cfrac{6}{6}=-1$$⑤ 下の直線の式を求めなさい。
答え $y=-3x-4$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{5-(-1)}{-3-(-1)}=\cfrac{6}{-2}=-3\\ \end{eqnarray*} $y=-3x+b$ に $x=-1,\ y=-1$ を代入 \begin{eqnarray*} -1&=&-3\times(-1)+b\\ -1&=&3+b\\ -4&=&b \end{eqnarray*}⑥ $8$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$46$ 点、$37$ 点、$55$ 点、$44$ 点、$39$ 点、$60$ 点、$58$ 点、$69$ 点だった。このときの中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $50.5\ 点$
得点を低い順にならべると、$$37,\ 39,\ 44,\ 46,\ 55,\ 58,\ 60,\ 69$$ $8$ 人の中央値（メジアン）は $4$ 番目と $5$ 番目の平均だから、 $$(46+55)\div2=50.5$$
⑦ $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が $3$ の倍数になる確率を求めなさい。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-44②\cfrac{5}{12}③3④13x-3⑤10x-15y\ ⑥\cfrac{-5a+12b}{8}\\\quad\left(-\cfrac{5a-12b}{8},-\cfrac{5}{8}a+\cfrac{3}{2}bも可\right)\\ ⑦x^2-3x-54 ⑧4x^2-\cfrac{12}{5}x+\cfrac{9}{25}⑨\cfrac{9}{16}x^2-\cfrac{25}{36}y^2\\ ⑩-x^2-18xy+26y^2 ⑪\cfrac{7\sqrt{6}}{3}⑫\cfrac{3\sqrt{14}}{14}⑬51-36\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①16xy(4x-1)②(x-13)(x-3)\\ ③(6x+5y)^2④\left(3a+\cfrac{1}{2}\right)\left(3a-\cfrac{1}{2}\right)\\ ⑤16(2x+y)(2x-y)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{1}{2}②x=9,y=10③x=-20,x=3\\ ④x=\cfrac{1}{2}⑤x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{3}⑥x=0,x=\cfrac{4}{3}\\ ⑦x=-1\pm\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{5y+10}{4} \left(\cfrac{5}{4}y+\cfrac{5}{2}も可\right)\\ ②3③y=-18 ④y=-1⑤y=-3x-4⑥50.5点⑦\cfrac{1}{3} $