中3数学 夏休みの計算 第9回 全32問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-37-9\times(-4)$
答え $-1$
\begin{eqnarray*} &&-37-9\times(-4)\\ &=&-37+36\\ &=&-1 \end{eqnarray*}② $\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{3}$
答え $\cfrac{1}{12}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{1}{2}-\cfrac{3}{4}+\cfrac{1}{3}\\ &=&\cfrac{6}{12}-\cfrac{9}{12}+\cfrac{4}{12}\\ &=&\cfrac{1}{12} \end{eqnarray*}③ $-8-(-3^2+6)\times(-1)^2$
答え $-5$
\begin{eqnarray*} &&-8-(-3^2+6)\times(-1)^2\\ &=&-8-(-9+6)\times1\\ &=&-8-(-3)\times1\\ &=&-8+3\\ &=&-5 \end{eqnarray*}④ $3(2x-12)-4(x-7)$
答え $2x-8$
\begin{eqnarray*} &&3(2x-12)-4(x-7)\\ &=&6x-36-4x+28\\ &=&2x-8 \end{eqnarray*}⑤ $(-81x^2y+63xy^2)\div\left(-\cfrac{9}{2}xy\right)$
答え $18x-14y$
\begin{eqnarray*} &&(-81x^2y+63xy^2)\div\left(-\cfrac{9}{2}xy\right)\\ &=&(-81x^2y+63xy^2)\times\left(-\cfrac{2}{9xy}\right)\\ &=&-81x^2y\times\left(-\cfrac{2}{9xy}\right)+63xy^2\times\left(-\cfrac{2}{9xy}\right)\\ &=&18x-14y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{a-2b}{3}-\cfrac{2a-7b}{4}$
答え $\cfrac{-2a+13b}{12}\\\quad\left(-\cfrac{2a-13b}{12},-\cfrac{1}{6}a+\cfrac{13}{12}bも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{a-2b}{3}-\cfrac{2a-7b}{4}\\ &=&\cfrac{4(a-2b)-3(2a-7b)}{12}\\ &=&\cfrac{4a-8b-6a+21b}{12}\\ &=&\cfrac{-2a+13b}{12} \end{eqnarray*}⑦ $(x+3)(x+5)$
答え $x^2+8x+15$
⑧ $\left(x-\cfrac{5}{6}\right)^2$
答え $x^2-\cfrac{5}{3}x+\cfrac{25}{36}$
⑨ $\left(\cfrac{7}{8}x+\cfrac{9}{10}y\right)\left(\cfrac{7}{8}x-\cfrac{9}{10}y\right)$
答え $\cfrac{49}{64}x^2-\cfrac{81}{100}y^2$
⑩ $-(2x+y)(x-y)-2(x+2y)^2$
答え $-4x^2-7xy-7y^2$
\begin{eqnarray*} &&-(2x^2-xy-y^2)-2(x^2+4xy+4y^2)\\ &=&-2x^2+xy+y^2-2x^2-8xy-8y^2\\ &=&-4x^2-7xy-7y^2 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{\cfrac{4}{5}}-\sqrt{45}$
答え $-\cfrac{13\sqrt{5}}{5}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{\cfrac{4}{5}}-\sqrt{45}\\ &=&\cfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}-3\sqrt{5}\\ &=&\cfrac{2}{\sqrt{5}}-3\sqrt{5}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{5}}{5}-\cfrac{15\sqrt{5}}{5}\\\ &=&-\cfrac{13\sqrt{5}}{5} \end{eqnarray*}⑫ $2\sqrt{18}\div8\sqrt{288}\times16\sqrt{8}$
答え $2\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&2\sqrt{18}\div8\sqrt{288}\times16\sqrt{8}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{18}\times16\sqrt{8}}{8\sqrt{288}}\\ &=&\cfrac{4}{\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{4\sqrt{2}}{2}\\ &=&2\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑬ $\left(\sqrt{6}-4\sqrt{3}\right)^2$
答え $54-24\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\left(\sqrt{6}-4\sqrt{3}\right)^2\\ &=&6-8\sqrt{18}+48\\ &=&54-24\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $30x^2y-45xy$
答え $15xy(2x-3)$
② $x^2-14x+24$
答え $(x-12)(x-2)$
③ $x^2+2xy+y^2$
答え $(x+y)^2$
④ $16a^2-\cfrac{1}{9}$
答え $\left(4a+\cfrac{1}{3}\right)\left(4a-\cfrac{1}{3}\right)$
⑤ $4x^2-8xy-12y^2$
答え $4(x+y)(x-3y)$
\begin{eqnarray*} &&4x^2-8xy-12y^2\\ &=&4(x^2-2xy-3y^2)\\ &=&4(x+y)(x-3y) \end{eqnarray*}① $\cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{3}=-2x+\cfrac{4}{3}$
答え $x=\cfrac{2}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2}x-\cfrac{1}{3}&=&-2x+\cfrac{4}{3}\quad(\times6) \\ 3x-2&=&-12x+8 \\ 3x+12x&=&8+2\\ 15x&=&10\\ x&=&\cfrac{10}{15}=\cfrac{2}{3} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 4x+3y=8\\ -1.2x+0.5y=1.8 \end{array}\right.$
答え $x=-\cfrac{1}{4},y=3$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 4x+3y=8\qquad…①\\ -1.2x+0.5y=1.8\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②\times10$ \begin{eqnarray*} -1.2x+0.5y&=&1.8\\ -12x+5y&=&-18\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times3+③$ \begin{eqnarray*} 12x+9y=24\\ \underline{+) \quad -12x+5y=18} \\ 14y=42 \\ y=3\phantom{1} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=3を①に代入\\ 4x+3\times3&=&8\\ 4x+9&=&8\\ 4x&=&8-9\\ 4x&=&-1\\ x&=&-\cfrac{1}{4} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\cfrac{1}{4}\\ y=3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2-19x+60=0$
答え $x=15 ,\ x=4$
\begin{eqnarray*} x^2-19x+60&=&0 \\ (x-15)(x-4)&=&0\\ x&=&15,\ x=4 \end{eqnarray*}④ $16x^2+8x+1=0$
答え $x=-\cfrac{1}{4}$
\begin{eqnarray*} 16x^2+8x+1&=&0 \\ (4x+1)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{1}{4} \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{1}{3}x^2-9=0$
答え $x=\pm 3\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{3}x^2-9&=&0 \quad(\times3)\\ x^2-27&=&0 \\ x^2&=&27 \\ x&=&\pm \sqrt {27}=\pm 3\sqrt{3} \end{eqnarray*}⑥ $10x^2=\cfrac{1}{4}x$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{1}{40}$
\begin{eqnarray*} 10x^2&=&\cfrac{1}{4}x \quad(\times4)\\ 40x^2&=&x \\ 40x^2-x&=&0\\ x(40x-1)&=&0\\ x&=&0,\ x=\cfrac{1}{40} \end{eqnarray*}⑦ $2x^2-3=-x^2-12x+9$
答え $x=-2\pm2\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} 2x^2-3&=&-x^2-12x+9\\ 2x^2-3+x^2+12x-9&=&0\\ 3x^2+12x-12&=&0\qquad(\div3)\\ x^2+4x-4&=&0 \end{eqnarray*} $2$ 次方程式の解の公式により、 \begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times1\times(-4)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{-4\pm\sqrt{16+16}}{2}\\ &=&\cfrac{-4\pm\sqrt{32}}{2}\\ &=&\cfrac{-4\pm4\sqrt{2}}{2}\\ &=&-2\pm2\sqrt{2} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$-3x=\cfrac{5}{2}y-5\quad[y]$
答え $y=\cfrac{-6x+10}{5}\\ \left(-\cfrac{6x-10}{5},-\cfrac{6}{5}x+2も可\right)$
\begin{eqnarray*} -3x&=&\cfrac{5}{2}y-5\quad(\times2) \\ -6x&=&5y-10\quad(左辺と右辺をとりかえる) \\ 5y-10&=&-6x\\ 5y&=&-6x+10\\ y&=&\cfrac{-6x+10}{5} \end{eqnarray*}$x=4+3\sqrt{5}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-8x+16$
答え $45$
\begin{eqnarray*} &&x^2-8x+16\\ &=&(x-4)^2\quad \class{mathbg-r}{（ここで代入する）} \\ &=&(4+3\sqrt{5}-4)^2\\ &=&(3\sqrt{5})^2\\ &=&45 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや、自信がないときは、単に代入して、がんばって計算すれば同じ答えがでます。 \begin{eqnarray*} &&x^2-8x+16\\ &=&(4+3\sqrt{5})^2-8(4+3\sqrt{5})+16\\ &=&16+24\sqrt{5}+45-32-24\sqrt{5}+16\\ &=&45 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=3$ のとき、$y=\cfrac{1}{2}$ である。$x=4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{2}{3}$
比例の式の形は $y=ax$ \begin{eqnarray*} \cfrac{1}{2}&=&a\times3\\ \cfrac{1}{2}&=&3a\quad(\times2)\\ 1&=&6a\\ \cfrac{1}{6}&=&a \end{eqnarray*} $$ y=\cfrac{1}{6}xに\ x=4\ を代入する\\ y=\cfrac{1}{6}\times4=\cfrac{2}{3}$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-4$ のとき、$y=2$ である。$x=12$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{2}{3}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-4\times2=-8\\ y=-\cfrac{8}{x}\ に\ x=12\ を代入する\\ y=-\cfrac{8}{12}=-\cfrac{2}{3}$$⑤ 下の直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{1}{2}x+3$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-1-4}{-8-2}=\cfrac{-5}{-10}=\cfrac{1}{2}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{1}{2}x+b$ に $x=2,\ y=4$ を代入 \begin{eqnarray*} 4&=&\cfrac{1}{2}\times2+b\\ 4&=&1+b\\ 3&=&b \end{eqnarray*}⑥ $8$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$16$ 点、$9$ 点、$12$ 点、$19$ 点、$8$ 点、$11$ 点、$10$ 点、$13$ 点だった。このときの中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $11.5\ 点$
得点を低い順にならべると、$$8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 16,\ 19$$ $8$ 人の中央値（メジアン）は $4$ 番目と $5$ 番目の平均だから、 $$(11+12)\div2=11.5$$
⑦ $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の和が $4$ の倍数になる確率を求めなさい。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-1②\cfrac{1}{12}③-5④2x-8⑤18x-14y\ ⑥\cfrac{-2a+13b}{12}\\\quad\left(-\cfrac{2a-13b}{12},-\cfrac{1}{6}a+\cfrac{13}{12}bも可\right)\\ ⑦x^2+8x+15 ⑧x^2-\cfrac{5}{3}x+\cfrac{25}{36}⑨\cfrac{49}{64}x^2-\cfrac{81}{100}y^2\\ ⑩-4x^2-7xy-7y^2 ⑪-\cfrac{13\sqrt{5}}{5}⑫2\sqrt{2}⑬54-24\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①15xy(2x-3)②(x-12)(x-2)\\ ③(x+y)^2④\left(4a+\cfrac{1}{3}\right)\left(4a-\cfrac{1}{3}\right)\\ ⑤4(x+y)(x-3y)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{2}{3}②x=-\cfrac{1}{4},y=3③x=15,x=4\\ ④x=-\cfrac{1}{4}⑤x=\pm3\sqrt{3}⑥x=0,x=\cfrac{1}{40}\\ ⑦x=-2\pm2\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①y=\cfrac{-6x+10}{5} \left(-\cfrac{6x-10}{5},-\cfrac{6}{5}x+2も可\right)\\ ②45③y=\cfrac{2}{3} ④y=-\cfrac{2}{3}⑤y=\cfrac{1}{2}x+3⑥11.5点⑦\cfrac{1}{4} $