数学 中2 2章 連立方程式 第2回)
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
連立方程式とその解
(1) 次の $ \boxed{\LARGE\phantom{hoge}}$ の中にあてはまる言葉をいれましょう。
①$ax+by=c$ の形で表される方程式を、$x, \ y$ についての $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehogehogeho}}$ という。方程式を成り立たせる $x, \ y$ の値の組を、その方程式の $ \boxed{\LARGE\phantom{ho}}$ という。
②たとえば、
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
3x+2y=1\\
4x-3y=6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
このように、方程式を組にしたものを $ \boxed{\LARGE\phantom{hogehogeho}}$ という。これらの方程式を両方とも成り立たせる $x, \ y$ の値の組を、その連立方程式の $ \boxed{\LARGE\phantom{ho}}$ という。解を求めることを、その連立方程式を $ \boxed{\LARGE\phantom{hoge}}$ という。
答え
①$ax+by=c$ の形で表される方程式を、$x, \ y$ についての $ \boxed{2元1次方程式\phantom{hogeho}}$ という。方程式を成り立たせる $x, \ y$ の値の組を、その方程式の $ \boxed{解}$ という。
②たとえば、
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
3x+2y=-1\\
4x-3y=10
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
このように、方程式を組にしたものを $ \boxed{連立方程式}$ という。これらの方程式を両方とも成り立たせる $x, \ y$ の値の組を、その連立方程式の $ \boxed{解}$ という。解を求めることを、その連立方程式を $ \boxed{解く}$ という。
(2) 次のア~エの式の中から、$2$ 元 $1$ 次方程式であるものをすべて選びなさい。
\begin{eqnarray*}
&ア& \quad y=-\cfrac{2}{3}x&イ& \quad 3x+3=-4(x+1)+2\\
\\
&ウ& \quad -x+2(3y-1)+4(x+1)\quad&エ& \quad 2(x+1)-3(y-2)=1
\end{eqnarray*}
答え
ア,エ
イ… $x$ だけしか文字が使われていません。なのでアはダメです。
ウ… $\large{=}$(イコール)がなかったら方程式とはいえません。なのでウもダメです。
(3) 次の連立方程式の解を、下のア~ウの中から選びなさい。
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
-x+2y=-2\\
2x-3y=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$ア \ (-2,-2)$ $イ \ (2,1)$ $ウ (-4,-3)$
答え
ウ
アは、$-x+2y=-2$ は成り立ちますが、$2x-3y=1$ は成り立ちません。
イは、$2x-3y=1$ は成り立ちますが、$-x+2y=-2$ は成り立ちません。
ウは、
\begin{eqnarray*}
&& -x+2y=-(-4)+2\times(-3)=-2\\
&& 2x-3y=2\times(-4)-3\times(-3)=1
\end{eqnarray*}
となって、どちらも成り立ちます。このように、$(x,y)$ の値の組をそれぞれの式に代入して、どちらの式も成り立つものがその連立方程式の解です。かたほうの式だけしか成り立たなかったら、それはその連立方程式の解ではありません。
解のかき方についてですが、
$$ア(-4,-3) \qquad イx=-4, \ y=-3 \qquadウ
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-4\\
y=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$$
上のア~ウはぜんぶ同じ意味です。問題集によっていろんな答えのかき方をしていて、どれでもいいと思うんですけど、自分が答えをかくときは、学校の先生のおっしゃるとおりにしてください。学校の先生最強。
代入法
(4) ①次の $ \boxed{\LARGE\phantom{hoge}}$ の中にあてはまる言葉をいれましょう。
連立方程式の解き方で、一方の式をもう一方の式に代入して、文字を消去していくやり方を $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ という。
②次の連立方程式を、代入法で解きなさい。
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
y=-x+1\\
x-3y=-11
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
答え
$①代入法 ②\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-2\\
y=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
連立方程式の解き方として、「代入法」と「加減法」の $2$ つのやり方を教わります。両方ともできるようにしとかなくちゃだめです。
んで、どっちでやっても全部解けます。じっさいに解くときは、好きなほうでやってください。ただ、問題の式に「$x=$」とか「$y=$」とかの式があるときは、ふつう代入法でやります。そのほうがラクなので。
<代入法>
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
y=-x+1\qquad…①\\
x-3y=-11\qquad…②
\end{array}
\right.\\
\end{eqnarray*}
$①の -x+1 を②の y に代入$
\begin{eqnarray*}
x-3(-x+1)&=&-11\\
x+3x-3&=&-11\\
4x-3&=&-11\\
4x&=&-8\\
x&=&-2
\end{eqnarray*}
$x=-2を①に代入$
\begin{eqnarray*}
y&=&-(-2)+1\\
y&=&3\\
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-2\\
y=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$x$ が求められたあと、$y$ を求めるには、問題の①か②の式のどちらかに、$x$ の値を代入すればいいです。それは、どちらの式でもいいです。どちらにいれても $y$ の値は同じになります。なので、計算がラクそうなほうにいれましょう。
※答えの確かめ
連立方程式では、解が求められたら、確かめをしましょう。解を問題の $2$ つの式に代入して、両方とも成り立てばOKです。両方とも成り立たなくちゃダメです。テストのときは、一通り終えたあとは時間のかぎり確かめをしましょう。
加減法
(5) ①次の $ \boxed{\LARGE\phantom{hoge}}$ の中にあてはまる言葉をいれましょう。
連立方程式の解き方で、上の式を下の式に足したり、上の式から下の式を引いたりして、文字を消去していくやり方を $ \boxed{\LARGE\phantom{hogeho}}$ という。
②次の連立方程式を、加減法で解きなさい。
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=1\\
x-3y=9
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
答え
$①加減法 ②\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=3\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
連立方程式の解き方として、「代入法」と「加減法」の $2$ つのやり方を教わります。両方ともできるようにしとかなくちゃだめです。
んで、どっちでやっても全部解けます。じっさいに解くときは、好きなほうでやってください。この問題は「加減法で解きなさい」ということなので、加減法でやります。
<加減法>
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x+y=1\qquad…①\\
x-3y=9\qquad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①の式から②の式を引く$
\begin{eqnarray*}
x+\phantom{3}y=\phantom{-}1\\
\underline{-) \quad x-3y=\phantom{-}9} \\
4y=-8\\
y=-2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
y=-2を①に代入\\
x+(-2)&=&1\\
x&=&3\\
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=3\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$y$ が求められたあと、$x$ を求めるには、問題の①か②の式のどちらかに、$y$ の値を代入すればいいです。それは、どちらの式でもいいです。どちらにいれても $x$ の値は同じになります。なので、計算がラクそうなほうにいれましょう。
※答えの確かめ
連立方程式では、解が求められたら、確かめをしましょう。解を問題の $2$ つの式に代入して、両方とも成り立てばOKです。両方とも成り立たなくちゃダメです。テストのときは、一通り終えたあとは時間のかぎり確かめをしましょう。
加減法のいろいろな問題
(6) 次の ①~③の連立方程式を加減法で解きなさい。
$
\begin{eqnarray*}
&①& \ \left\{
\begin{array}{l}
2x-5y=1\\
-3x+4y=16
\end{array}
\right.
\qquad② \ \left\{
\begin{array}{l}
3(x-y)+2=-x+2y\\
3x-4y=-1
\end{array}
\right.\\
\\
\\
\\
&③& \ \left\{
\begin{array}{l}
\cfrac{2}{3}x-\cfrac{3}{5}y=7\\
0.3x+0.5y=-0.7\\
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$
答え
$①\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-12\\
y=-5
\end{array}
\right.
\quad②
\left\{
\begin{array}{l}
x=-3\\
y=-2
\end{array}
\right.
\quad③
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=-5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
①番 $x$ や $y$ の係数がそろっていなときは、そろえます。基本的には係数の最小公倍数を考えます。この問題は、$x$ の係数は $6,$ $y$ の係数は $20$ でそろいます。どちらをそろえてもいいです。ラクそうなほうをそろえましょう。ということで、今回は $x$ をそろえることにします。①$\times3$ に②$\times2$を足していきます。
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
2x-5y=1\quad…①\\
-3x+4y=16\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①\times3 +②\times2$
\begin{eqnarray*}
6x-15y=\phantom{3}3\\
\underline{+) \quad -6x+\phantom{1}8y=32}\\
-7y=35\\
y=-5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
y=-5を①に代入\\
2x-5\times(-5)&=&1\\
2x+25&=&1\\
2x&=&-24\\
x&=&-12\\
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-12\\
y=-5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
②番 ごちゃごちゃと長い式があるときは、かっこがあるならはずし、整理して、基本的には $ax+by=c$ の形になおします。そのあとは①番の問題と同じ考え方でOKです。
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
3(x-y)+2=-x+2y\quad…①\\
3x-4y=-1\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①を整理する$
\begin{eqnarray*}
3(x-y)+2&=&-x+2y\\
3x-3y+2&=&-x+2y\\
3x-3y+x-2y&=&-2\\
4x-5y&=&-2\quad…③
\end{eqnarray*}
$③\times3-②\times4$
\begin{eqnarray*}
12x-15y=-6\\
\underline{-) \quad 12x-16y=-4}\\
y=-2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
y=-2を②に代入\\
3x-4\times(-2)&=&-1\\
3x+8&=&-1\\
3x&=&-9\\
x&=&-3\\
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-3\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
③番 分数があるときは分母の公倍数をかけて分母をはらいます。小数があるときは $\times10$ や $\times100$ をして小数を消します。そのへんは $1$ 次方程式のときと同じです。そのあとは $x$ か $y$ の係数をそろえて足すか引くかして、$1$ 文字消去していけばいいです。
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
\cfrac{2}{3}x-\cfrac{3}{5}y=7\quad…①\\
0.3x+0.5y=-0.7\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①の式に15をかけて分母をはらう$
\begin{eqnarray*}
\cfrac{2}{3}x-\cfrac{3}{5}y&=&7\\
10x-9y&=&105\qquad…③
\end{eqnarray*}
$②の式に10をかけて小数をなくす$
\begin{eqnarray*}
0.3x+0.5y&=&-0.7\\
3x+5y&=&-7\qquad…④
\end{eqnarray*}
$③\times3\ - \ ④\times10$
\begin{eqnarray*}
30x-27y=315\\
\underline{-) \quad 30x+50y=-70}\\
-77y=385\\
y=-5
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
y=-5を④に代入\\
3x+5\times(-5)&=&-7\\
3x-25&=&-7\\
3x&=&18\\
x&=&6\\
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=-5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$A=B=C$ の形の方程式
(7) 次の方程式を解きなさい。
$$
2x+y=5x+4y=2
$$
答え
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=2\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$A=B=C$ の形の方程式は、次の $3$ つの連立方程式のどれで解いてもよい。
$\large{
\qquad
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
A=B\\
A=C
\end{array}
\right.
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
A=B\\
B=C
\end{array}
\right.
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
A=C\\
B=C
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
}$
$2x+y=5x+4y=2$ のような形の方程式は、式の一部をかくして、式を $2$ つつくります。まず、まんなかをかくせば、
$2x+y=2$ という式ができます。
それから、左がわをかくせば、
$5x+4y=2$ という式ができます。
んで、この $2$ つの式を連立させて解けばいいです。
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
2x+y=2\qquad…①\\
5x+4y=2\qquad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
加減法で $y$ をそろえて解くことにして、
$①\times4 \ - \ ②$
\begin{eqnarray*}
8x+4y=8\\
\underline{-) \quad 5x+4y=2}\\
3x\phantom{+21y}=6\\
x=2
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
x=2を①に代入\\
2\times(2)+y&=&2\\
4+y&=&2\\
y&=&-2\\
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=2\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
いろいろな連立方程式
(8) 次の ①~⑤の連立方程式を解きなさい。また、⑥の方程式を解きなさい。
$
\begin{eqnarray*}
&①& \ \left\{
\begin{array}{l}
5x+9y=12\\
y=-\cfrac{2}{3}x
\end{array}
\right.
&②& \ \left\{
\begin{array}{l}
y=4x-12\\
3x-2y=-6
\end{array}
\right.\\
\\
\\
\\
\\
&③& \ \left\{
\begin{array}{l}
2(x-2y)=-y+1\\
5x-7y=1
\end{array}
\right.
\qquad&④& \ \left\{
\begin{array}{l}
0.7x+0.2y=-0.5\\
-13x-3y=15
\end{array}
\right.\\
\\
\\
\\
\\
&⑤& \ \left\{
\begin{array}{l}
\cfrac{1}{3}x+\cfrac{5}{2}y=12\\
5x+6y=-9
\end{array}
\right.
&⑥& \ 3x+2y=9x+5y-3=3
\end{eqnarray*}
$
答え
$①\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-12\\
y=8
\end{array}
\right.
\quad②
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=12
\end{array}
\right.
\quad③
\left\{
\begin{array}{l}
x=-4\\
y=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
$④\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-3\\
y=8
\end{array}
\right.
\quad⑤
\left\{
\begin{array}{l}
x=-9\\
y=6
\end{array}
\right.
\quad⑥
\left\{
\begin{array}{l}
x=-1\\
y=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
①番 代入法で、②の式を①の式に代入して解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
5x+9y=12\quad…①\\
y=-\cfrac{2}{3}x\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$②を①に代入$
\begin{eqnarray*}
5x+9\times\left(-\cfrac{2}{3}x\right)&=&12\\
5x-6x&=&12\\
-x&=&12\\
x&=&-12
\end{eqnarray*}
$x=-12を②に代入$
\begin{eqnarray*}
y&=&-\cfrac{2}{3}\times(-12)\\
&=&8
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-12\\
y=8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
②番 代入法で、①の式を②の式に代入して解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
y=4x-12\quad…①\\
3x-2y=-6\quad…②
\end{array}
\right.\\
\end{eqnarray*}
$①を②に代入$
\begin{eqnarray*}
3x-2(4x-12)&=&-6\\
3x-8x+24&=&-6\\
-5x&=&-30\\
x&=&6
\end{eqnarray*}
$x=6を①に代入$
\begin{eqnarray*}
y&=&4\times6-12\\
&=&12
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=12
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
③番 ①の式のかっこをはずし、整理します。加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
2(x-2y)=-y+1\quad①\\
5x-7y=1\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①を整理$
\begin{eqnarray*}
2(x-2y)&=&-y+1\\
2x-4y&=&-y+1\\
2x-4y+y&=&1\\
2x-3y&=&1\quad…③
\end{eqnarray*}
$②\times2 \ - \ ③\times5$
\begin{eqnarray*}
10x-14y=\phantom{-}2\\
\underline{-) \quad 10x-15y=\phantom{-}5}\\
y=-3
\end{eqnarray*}
$y=-3を③に代入$
\begin{eqnarray*}
2x-3\times(-3)&=&1\\
2x+9&=&1\\
2x&=&-8\\
x&=&-4
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-4\\
y=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
④番 ①の式を $10$ 倍して小数をなくします。加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
0.7x+0.2y=-0.5\quad…①\\
-13x-3y=15\quad…②
\end{array}
\right.\\
\end{eqnarray*}
$①\times10$
\begin{eqnarray*}
7x+2y&=&-5…③
\end{eqnarray*}
$②\times2 \ + \ ③\times3$
\begin{eqnarray*}
-26x-6y=\phantom{-}30\\
\underline{+) \quad 21x+6y=-15}\\
-5x\phantom{4xyz}=\phantom{-}15\\
x=-3\phantom{-}
\end{eqnarray*}
$x=-3を③に代入$
\begin{eqnarray*}
7\times(-3)+2y&=&-5\\
-21+2y&=&-5\\
2y&=&16\\
y&=&8
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-3\\
y=8
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
⑤番 ①の式を $6$ 倍して分母をはらいます。加減法で、$y$ を消去して解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
\cfrac{1}{3}x+\cfrac{5}{2}y=12\quad…①\\
5x+6y=-9…\quad②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①\times6$
\begin{eqnarray*}
2x+15y&=&72\quad…③
\end{eqnarray*}
$②\times5 \ - \ ③\times2$
\begin{eqnarray*}
25x+30y=-45\\
\underline{-) \quad 4x+30y=\phantom{1}144}\\
21x\phantom{+30y}=-189\\
x=-9\phantom{18}
\end{eqnarray*}
$x=-9を②に代入$
\begin{eqnarray*}
5\times(-9)+6y&=&-9\\
-45+6y&=&-9\\
6y&=&36\\
y&=&6
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-9\\
y=6
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
⑥番 まんなかをかくした式をつくり、①とします。左側をかくした式をつくって整理し、②とします。①の式と②の式を連立させ、$x$ の係数をそろえて加減法で解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ 3x+2y=9x+5y-3=3
\end{eqnarray*}
$まんなかをかくした式をたてる$
\begin{eqnarray*}
3x+2y&=&3\quad…①
\end{eqnarray*}
$左側をかくした式をたてて整理する$
\begin{eqnarray*}
9x+5y-3&=&3\\
9x+5y&=&6\quad…②
\end{eqnarray*}
$①と②を連立させる$
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
3x+2y=3\quad…①\\
9x+5y=6\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①\times3 \ - \ ②\times2$
\begin{eqnarray*}
9x+6y=9\\
\underline{-) \quad 9x+5y=6}\\
y=3
\end{eqnarray*}
$y=3を①に代入$
\begin{eqnarray*}
3x+2\times(3)&=&3\\
3x+6&=&3\\
3x&=&-3\\
x&=&-1
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-1\\
y=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
ここから先は定番の文章題です。がんばって!
個数を求める問題
(9) $1$ 個 $120$ 円の柿と、$1$ 個 $150$ 円の梨をあわせて $9$ 個買い、全部で $1170$ 円はらった。柿と梨はそれぞれ何個ずつ買ったか。
答え
柿…$6$個 梨…$3$個
柿を $x$ 個、梨を $y$ 個買ったことにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、柿と梨をあわせて $9$ 個買ったのですから、
$$x+y=9$$
$2$ つ目の式は、金額で式をたてます。あわせて $1170$ 円はらったのですから、
$$120x+150y=740$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
x+y=9\quad…①\\
120x+150y=1170\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
加減法で、$x$ の係数をそろえて解きます。
$①\times12 \ - \ ②\div10$
\begin{eqnarray*}
12x+12y=108\\
\underline{-) \quad 12x+15y=117}\\
-3y=-9\phantom{1}\\
y=3\phantom{-2}
\end{eqnarray*}
$y=3を①に代入$
\begin{eqnarray*}
x+3&=&9\\
x&=&6
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
※かならず、きかれていることに答えましょう。$x=6, \ y=3$ なんて答えてしまったら、マルになりません。柿 $6$ 個、梨 $3$ 個と答えましょう。
金額を求める問題
(10) コーヒー $2$ 杯とケーキ $5$ 個で $2600$ 円、コーヒー $3$ 杯とケーキ $1$ 個で $1300$ 円である。コーヒー $1$ 杯とケーキの $1$ 個の値段はそれぞれいくらか。
答え
コーヒー…$300$円 ケーキ…$400$円
コーヒー $1$ 杯 $x$ 円、ケーキ $1$ 個 $y$ 円とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、コーヒー $2$ 杯とケーキ $5$ 個で $2600$ 円ですから、
$$2x+5y=2600$$
$2$ つ目の式は、コーヒー $3$ 杯とケーキ $1$ 個で $1300$ 円ですから、
$$3x+y=1300$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
2x+5y=2600\quad…①\\
3x+y=1300\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
$①\times3 \ - \ ②\times5$
\begin{eqnarray*}
2x+5y=\phantom{-}2600\\
\underline{-) \quad 15x+5y=\phantom{-}6500}\\
-13x\phantom{+5y}=-3900\\
x=300\phantom{12}
\end{eqnarray*}
$x=300を②に代入$
\begin{eqnarray*}
3\times(300)+y&=&1300\\
900+y&=&1300\\
y&=&400
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=300\\
y=400
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
途中で速さが変わる問題
(11) $A$ 地点から $C$ 地点まで $76km$ の道のりを、$A$ 地点から途中の $B$ 地点までは時速 $20km$ で進み、$B$ 地点から $C$ 地点までは時速 $10km$ で進んだところ、全部で $4$ 時間 $36$ 分かかった。$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりと、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりをそれぞれ求めなさい。
答え
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$60km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$16km$
$A$ 地点から $B$ 地点までの道のりを $xkm$、$B$ 地点から $C$ 地点までの道のりを $ykm$ とします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、道のりは全部で $76km$ ですから、
$$x+y=76$$
$2$ つ目の式は、$A~B$ 間にかかった時間と $B~C$ 間にかかった時間をあわせたら $4$ 時間 $36$ 分で式をたてます。
「時間$=$道のり$\div$速さ」ですから、
$$\cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}=4\cfrac{36}{60}$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
x+y=76\quad…①\\
\cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}=4\cfrac{36}{60}\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$②の分母をはらう\\
\begin{eqnarray*}
\qquad\cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}&=&4\cfrac{36}{60}\\
\qquad\cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}&=&4\cfrac{3}{5}\\
\cfrac{x}{20}+\cfrac{y}{10}&=&\cfrac{23}{5}\quad \class{mathbg-r}{(両辺に\times20)}\\
x+2y&=&92\quad…③
\end{eqnarray*}
$
加減法で、$x$ を消去します。
$③ \ - \ ①$
\begin{eqnarray*}
x+2y=92\\
\underline{-) \quad x+\phantom{2}y=76}\\
y=16\\
\end{eqnarray*}
$y=16を①に代入$
\begin{eqnarray*}
x+16&=&76\\
x&=&60
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=60\\
y=16
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
食塩水をまぜる問題
(12) $10$ %の食塩水と $5$ %の食塩水をまぜて、$8$ %の食塩水を $400g$ つくりたい。$10$ %の食塩水と $5$ %の食塩水は、それぞれ何 $g$ ずつまぜればよいか。
答え
$10$ %の食塩水…$240g$
$\phantom{1}5$ %の食塩水…$160g$
$10$ %の食塩水を $xg$、$5$ %の食塩水を $yg$ まぜることにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、食塩水全体の重さは $400g$ ですから、
$$x+y=400$$
$2$ つ目の式は、$10$ %の食塩水 $xg$ にふくまれる食塩の重さと $5$ %の食塩水 $yg$ にふくまれる食塩の重さをあわせたら、全体の食塩水 $400g$ にふくまれる食塩の重さということで式をたてます。
「食塩$=$食塩水$\times$濃度」ですから、
$$\cfrac{10}{100}x+\cfrac{5}{100}y=\cfrac{8}{100}\times400$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
x+y=400\quad…①\\
\cfrac{10}{100}x+\cfrac{5}{100}y=\cfrac{8}{100}\times400\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$②の分母をはらう\\
\begin{eqnarray*}
\qquad10x+5y&=&3200\quad \class{mathbg-r}{(両辺を5で割る)}\\
2x+y&=&640\quad…③
\end{eqnarray*}
$
加減法で、$y$ を消去します。
$③ \ - ①$
\begin{eqnarray*}
2x+y=640\\
\underline{-) \quad x+y=400}\\
x\phantom{+3y}=240
\end{eqnarray*}
$x=240を①に代入$
\begin{eqnarray*}
240+y&=&400\\
y&=&160
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=240\\
y=160
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
今年度の男子と女子の人数を求める問題
(13) ある学校の昨年度の生徒数は $480$ 人だったが、今年度は昨年度にくらべて男子は $6$ %増え、女子は$10$ %減ったため、$472$ 人となった。今年度の男子、女子の生徒数をそれぞれ求めなさい。
答え
男子…$265$ 人
女子…$207$ 人
さいしょにポイントがあります。昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。
ふつう、方程式の文章題はきかれたことをそのまま $x, \ y$ にするものですが、この問題は特別です。昨年度の男子女子をきかれているのなら昨年度の男子女子を $x, \ y$ にすればよいのですが、今年度の男子女子をきかれていたとしても、昨年度の男子女子を $x, \ y$ にして式をたてましょう。今年度の男子女子を $x, \ y$ にするのはやめたほうがいいです。やってみればわかるんですけど。
ということで、昨年度の男子生徒を $x$ 人、女子生徒を $y$ 人ということにします。文字を $2$ つ使うので、式も $2$ つたてなければ解けません。文字の数だけ式がいります。
$1$ つ目の式は、昨年度の生徒数は $480$ 人ですから、
$$x+y=480$$
$2$ つ目は、男子の $6$ %増と、女子の $10$ %減をあわせたら、全体としては $8$ 人減っている、ということで式をたてます。
$$\cfrac{6}{100}x-\cfrac{10}{100}y=-8$$
この$2$ つの式を連立させて解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
x+y=480\quad…①\\
\cfrac{6}{100}x-\cfrac{10}{100}y=-8\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$②の分母をはらう\\
\begin{eqnarray*}
\qquad6x-10y&=&-800\quad \class{mathbg-r}{(両辺を2で割る)}\\
3x-5y&=&400\quad…③
\end{eqnarray*}
$
加減法で、$y$ の係数をそろえて解きます。
$①\times5 \ + \ ③$
\begin{eqnarray*}
5x+5y=2400\\
\underline{+) \quad 3x-5y=-400}\\
8x\phantom{+55y}=2000\\
x=250\phantom{-}
\end{eqnarray*}
昨年度の男子生徒数を $x$ ということにして、$x$ が求められました。きかれているのは、今年度の男子と女子です。男子は昨年度にくらべて、$6$ %増えているのですから、
$$250\times1.06=265$$
となって、今年度の男子生徒は $265$ 人です。
また、今年度の生徒数は全体で $472$ 人ですから、
$$472-265=207$$
となって、今年度の女子生徒は $207$ 人です。
答え(中2 2章 連立方程式 第2回)
(1) ①$ax+by=c$ の形で表される方程式を、$x, \ y$ についての $ \boxed{2元1次方程式\phantom{hogeho}}$ という。方程式を成り立たせる $x, \ y$ の値の組を、その方程式の $ \boxed{解}$ という。
②たとえば、
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
3x+2y=-1\\
4x-3y=10
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
このように、方程式を組にしたものを $ \boxed{連立方程式}$ という。これらの方程式を両方とも成り立たせる $x, \ y$ の値の組を、その連立方程式の $ \boxed{解}$ という。解を求めることを、その連立方程式を $ \boxed{解く}$ という。
(2)ア,エ
(3)ウ
(4)$①代入法 ②\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-2\\
y=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
(5)$①加減法 ②\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=3\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
(6)$①\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-12\\
y=-5
\end{array}
\right.
\quad②
\left\{
\begin{array}{l}
x=-3\\
y=-2
\end{array}
\right.
\quad③
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=-5
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
(7)$\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=2\\
y=-2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
(8)$①\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-12\\
y=8
\end{array}
\right.
\quad②
\left\{
\begin{array}{l}
x=6\\
y=12
\end{array}
\right.
\quad③
\left\{
\begin{array}{l}
x=-4\\
y=-3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
$④\phantom{ho}\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
x=-3\\
y=8
\end{array}
\right.
\quad⑤
\left\{
\begin{array}{l}
x=-9\\
y=6
\end{array}
\right.
\quad⑥
\left\{
\begin{array}{l}
x=-1\\
y=3
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}$
(9)柿…$6$個 梨…$3$個
(10)コーヒー…$300$円 ケーキ…$400$円
(11)$A$ 地点から $B$ 地点までの道のり…$60km$
$B$ 地点から $C$ 地点までの道のり…$16km$
(12)$8$ %の食塩水…$240g$
$3$ %の食塩水…$160g$
(13)男子…$265$ 人
女子…$207$ 人