「$x \gt 0$ のとき」というのは、 $y$ 軸より右側で、という意味です。グラフの右半分で、と思っちゃっていいです。
「$x$ の値が増加すると $y$ の値が減少する」というのは、グラフが右下がりになっている、という意味です。
まとめていうと、「 $y$ 軸より右側で、グラフが右下がりになってるのはどれだ？」ということです。
んで、こういうときは、テキトーでいいからだいたいのグラフをこんな感じにかいてしまうのがよいです。アは $a$ がマイナスのときの双曲線で、イは上に開く放物線で、ウは切片がマイナスの右下がりの直線で、エは上に開く放物線で、オは原点を通る右上がりの直線で、カは下に開く放物線です。
グラフをかいたら、いわれてるやつをさがしましょう。$y$ 軸より右側で、グラフが右下がりになってるのは、ウとカです。

$y=-\cfrac{1}{3}x^2$ に $y=-27$ を代入して、 \begin{eqnarray*} -27&=&-\cfrac{1}{3}x^2\quad左辺と右辺をとりかえる\\ -\cfrac{1}{3}x^2&=&-27\quad両辺に\times(-3)\\ x^2&=&81\\ x&=&\pm\sqrt{81}=\pm9 \end{eqnarray*}

$y=\cfrac{1}{3}x^2$ に、$x=-3$ と $x=6$ を代入して、それぞれの $y$ を求めていけばよいです。
まず $y=\cfrac{1}{3}x^2$ に $x=-3$ を代入して、 $$y=\cfrac{1}{3}×(-3)^2=\cfrac{1}{3}×9=3$$ つぎに $y=\cfrac{1}{3}x^2$ に $x=6$ を代入して、 $$y=\cfrac{1}{3}×6^2=\cfrac{1}{3}×36=12$$ これで、$x=-3$ のとき $y=3$、$x=6$ のとき $y=12$ ということがわかりました。じゃあ答えを書きましょう。 $$A(-3,-3) \quad B(6,12)$$

「直線の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$(1)$ 番の問題の答えから、 直線 $l$ は $2$ 点 $A(-3,-3) \quad B(6,12)$ を通ることがわかっています。 $2$ 点がわかっていて、その $2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-3,3),(6,12)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{12-3}{6-(-3)}\\ &=&\cfrac{9}{9}\\ &=&1\\ \end{eqnarray*} これで $a=1$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=x+b$$ ここに、 $(-3,3),(6,12)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。計算さえまちがえなければ、どっちをいれても答えは同じになります。だから、計算がラクそうなほうをいれるのが得。今回は、 $(-3,3)$ のほうをいれてみましょう。 \begin{eqnarray*} 3&=&-3+b\\ 3+3&=&b\\ 6&=&b \end{eqnarray*} これで $a=1$ , $b=6$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=x+6$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、連立方程式をたてて $a$ と $b$ を求めていく、という定番のやり方があります。ここで紹介しているやり方と、連立方程式をたてるのと、好きなほうでやってください。

直線 $l$ と $y$ 軸との交点を $C$ とします。
三角形の面積=底辺×高さ× $\cfrac{1}{2}$ です。だから底辺と高さを求めていけばいいんだけど、この問題の場合は、いきなり $\triangle OAB$ の底辺と高さを求めていくのはちょっとしんどいです。$\triangle OAB$ を $y$ 軸のところでふたつにわけて、$\triangle OAC$ と $\triangle OBC$ の面積をそれぞれだして、最後にそれを足して答えましょう。水色の三角形と黄色の三角形の面積をだして、それを足せば答え、という感じです。
じゃあまず、$\triangle OAC$（水色）の面積からいきます。底辺は $OC$ にします。$C$ の $y$ 座標は直線 $y=x+6$ の切片だから $6$ 。つまり $OC=6$ です。それから高さ。点 $A$ から $y$ 軸におろした垂線と $y$ 軸との交点を $D$ ということにします。するとこの三角形の高さは $AD$ ということになります。その長さは、点 $A$ の $x$ 座標をみればいいから、$AD=3$。これで底辺と高さがわかったので、面積をだしましょう。 $$\triangle OAC=6×3×\cfrac{1}{2}=9$$ つぎに $\triangle OBC$（黄色）の面積をだしましょう。底辺はやはり $OC$ にします。$OC=6$ でしたね。高さは、点 $B$ から $y$ 軸におろした垂線と $y$ 軸との交点を $E$ ということにします。するとこの三角形の高さは $BE$ ということになります。その長さは、点 $B$ の $x$ 座標をみればいいから、$BE=6$。これで底辺と高さがわかったので、面積をだしましょう。 $$\triangle OBC=6×6×\cfrac{1}{2}=18$$ さあ、これでめでたく水色と黄色の三角形の面積が求められました。このふたつの三角形を足したものがこの問題の答えです。じゃあ答えをだしましょう。 \begin{eqnarray*} \triangle OAB&=&\triangle OAC+\triangle OBC\\ &=&9+18=27 \end{eqnarray*}

ところでこの問題の $\triangle OAB$ というのは、右の図の緑色の三角形と面積がおなじだ、と考えることができます。するとその面積は、$9×6×\cfrac{1}{2}=27$ というふうに、一発で求められます。つまり、赤い線を底辺と高さということにして、赤×赤×$\cfrac{1}{2}$とやれば、一発で答えです。ここの長さとここの長さを掛けて２分の１、というこのやり方をおぼえちゃうとすごく簡単になります。なぜこれでうまくいくのかは、下の説明ボタンを押して考えてみてください。

＜中線＞
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
リクツはこうです。右の図で、$M$ は $AB$ の中点だということにします。すると、水色の三角形と緑色の三角形は、どちらも底辺と高さが等しくなります。それぞれ $AM$ と $MB$ が底辺だとすると、どちらも高さは 原点から直線 $AB$ までの距離です。$AM=MB$ なのだから底辺は等しいです。高さは共通なんだから、おなじにきまってます。底辺と高さがおなじなんだから、じゃあ面積はおなじだろうと、こういう話です。

＜中点＞
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。「中点は、足して $2$ で割る」。わりとよく使う知識なので、おぼえちゃったほうが話が早いです。
この問題の場合は、点 $A$ と 点 $B$ の中点の座標を知りたいわけです。点 $A$ の座標は $(-3, \ 3),$ 点 $B$ の座標は $(6, \ 12)$ です。なのでその中点の座標は、 \begin{eqnarray*} &&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{-3+6}{2}, \ \cfrac{3+12}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{3}{2}, \ \cfrac{15}{2}\right) \end{eqnarray*} となります。中点 $M$ の座標は $\left(\cfrac{3}{2}, \ \cfrac{15}{2}\right)$ です。

では答えをだしていきましょう。もう一回おなじ図をはっておきます。原点と点 $M\left(\cfrac{3}{2}, \ \cfrac{15}{2}\right)$ を通る直線の式を求めればよいです。図の青い線です。原点を通る直線なのですから、比例の式をいえばよくて、答えの形は $y=ax$ です。
$y=ax$ に $x=\cfrac{3}{2}, \ y=\cfrac{15}{2}$ を代入して、 \begin{eqnarray*} \cfrac{15}{2}&=&\cfrac{3}{2}a\quad両辺に\times2\\ 15&=&3a\\ 5&=&a \end{eqnarray*} これで $a$ がわかりました。では答えです。 $$y=5x$$

2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=-2x^2\\ y=-2x-4 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} -2x^2&=&-2x-4\\ -2x^2+2x+4&=&0\qquad \quad \left(両辺を\div(-2)\right) \\ x^2-x-2&=&0\\ (x-2)(x+1)&=&0\\ x&=&2,\quad x=-1 \end{eqnarray*} こんなふうに2つの $x$ が求められました。こんどはそれぞれの $x$ について、$y$ をだしていきましょう。使う式は $y=-2x^2$ と $y=-2x-4$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。今回は $y=-2x^2$ を使ってみましょう。
$x=2$ のとき $$y=-2×2^2=-2×4=-8$$ $x=-1$ のとき $$y=-2×(-1)^2=-2×1=-2$$ こうして、$x=2$ のとき $y=-8$ , $x=-1$ のとき $y=-2$ というふうに、$x$ と $y$ の2つの組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$A(-1,-2) \quad , \quad B(2,-8)$$ $A$ は $x$ がマイナスのほう、$B$ は $x$ がプラスのほうを答えましょう。それはグラフを見て判断しましょう。

$16$ 番の問題でやったように、$\triangle OAB$ を $y$ 軸でふたつにわけて、右と左の三角形の面積をそれぞれ求めて足していってもいいのですが、もうちょっとラクなやりかたがあります。
この三角形の面積をきかれたときは、（赤の横線の長さ）×（赤の縦線の長さ）×$\cfrac{1}{2}$ です。よく出る問題なので、これをおぼえてしまいましょう。こことここを掛けて2分の1。いいでしょうか。じゃあ実際にやってみましょう。赤の横線の長さは点 $A$ と点 $B$ の $x$ 座標をみればいいから、それぞれ $-1$ と $2$。だから赤の横線の長さは $3$。それから赤の縦線の長さは直線 $y=-2x-4$ の切片をみればいいから $-4$ 。長さは $4$ 。これで赤の横線と縦線の線の長さがわかりました。答えをだしましょう。 $$3×4×\cfrac{1}{2}=6$$ 赤×赤×2分の1。これでOKです。なぜこれでうまくいくのかは下の説明ボタンを押して考えてみてください。16番での説明とおなじですけど。

＜中線＞
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
リクツはこうです。右の図で、$M$ は $OB$ の中点だということにします。すると、水色の三角形と緑色の三角形は、どちらも底辺と高さが等しくなります。それぞれ $OM$ と $MB$ が底辺だとすると、どちらも高さは 点 $A$ から直線 $OB$ までの距離です。$OM=MB$ なのだから底辺は等しいです。高さは共通なんだから、おなじにきまってます。底辺と高さがおなじなんだから、じゃあ面積はおなじだろうと、こういう話です。

＜中点＞
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。「中点は、足して $2$ で割る」。わりとよく使う知識なので、おぼえちゃったほうが話が早いです。
この問題の場合は、原点 $O$ と 点 $B$ の中点の座標を知りたいわけです。原点 $O$ の座標は $(0, \ 0),$ 点 $B$ の座標は $(2, \ -8)$ です。なのでその中点の座標は、 \begin{eqnarray*} &&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\ &=&\left(\cfrac{0+2}{2}, \ \cfrac{0+(-8)}{2}\right)\\ &=&\left(1, \ -4\right) \end{eqnarray*} となります。中点 $M$ の座標は $(1, \ -4)$ です。

では答えをだしていきましょう。もう一回おなじ図をはっておきます。点 $A$ と点 $M$ を通る直線の式を求めればよいです。「直線の式を求めなさい」といわれたら、式の形は $y=ax+b$ で、$a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
点 $A$ と点 $M$ の座標はそれぞれ、$(-1, \ -2), \ (1, \ -4)$ ですから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-4-(-2)}{1-(-1)}\\ &=&\cfrac{-2}{2}\\ &=&-1 \end{eqnarray*} これで $a=-1$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=-x+b$$ ここに、 $(-1, \ -2), \ (1, \ -4)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。今回は、 $(1, \ -4)$ のほうをいれてみることにすると、 \begin{eqnarray*} -4&=&-1+b\\ -4+1&=&b\\ -3&=&b \end{eqnarray*} これで $a=-1$ , $b=-3$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=-x-3$$

$O$ から $B$ までのあいだの放物線上のどこかに点 $P$ をとって、$\triangle PAB$ をつくりなさい。ただし、$\triangle PAB$ の面積は $\triangle OAB$ とおなじであるようにしてください、という問題です。
ちょっとむずかしいです。ただ、偏差値が $55$ くらいからその上の高校をめざすひとは、このパターンの問題はできてたほうがいいです。

ではやり方です。やっぱり三角形の等積変形をもちいます。底辺が共通で高さがおなじであるなら、そういう三角形の面積はみなおなじだろうという例のアレです。$2$ 年生の後半で、図形の勉強をしましたよね。あれのおしまいにでてくるやつです。基本的な考え方について、もういちどおさらいしておきましょう。

右の図で、$l /\!/ m$ とすると、$\triangle AEF$ と $\triangle BEF$ と $\triangle CEF$ と $\triangle DEF$ の面積はどれも同じす。$EF$ を底辺とすると、どれも底辺が共通で高さの長さが同じだからです。このことをふまえて、

直線 $y=-2x-4$ を $l$ ということにします。点 $O$ を通って直線 $l$ と平行な直線をひきます。この直線と放物線との交点が、$P$ です。こうやって $P$ をとれば、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺が共通で、高さが等しいからです。
この、「～を通って～と平行な直線をひく」というのがでてくるかどうかが、この手の問題が解けるかどうかのわかれめです。


じゃあ点 $P$ の座標を求めていきましょう。
＜点 $O$ を通って 直線 $l$ と平行な直線＞
直線の式を求めるのだから、式の形は $y=ax+b$ です。この場合、点$O$ （原点）を通るのだから、$b=0$ です。
傾きが等しいとき、$2$ 直線は平行になるのだから、$l$ と平行な直線というのは、傾きが $l$ と等しくなります。$l$ の傾きは $-2$ だから、求めたい直線の傾きも $-2$ です。$a=-2$ です。
というわけで、$O$ を通って $l$ に平行な直線の式は、 $$y=-2x$$ となります。

＜直線と放物線の交点＞
2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=-2x^2\\ y=-2x \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} -2x^2&=&-2x\\ -2x^2+2x&=&0\qquad \quad \left(両辺を\div(-2)\right) \\ x^2-x&=&0\\ x(x-1)&=&0\\ x&=&0,\quad x=1 \end{eqnarray*} こんなふうに2つの $x$ が求められました。点 $P$ の $x$ 座標は、$1$ のほうです。こんどは $x=1$ のときの $y$ をだしていきましょう。使う式は $y=-2x^2$ と $y=-2x$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。今回は $y=-2x$ を使ってみましょう。
$x=1$ のとき $$y=-2×1=-2$$ こうして、$x=1$ のとき $y=-2$というふうに、$x$ と $y$ の組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$(1,-2)$$ $P$ の座標が $(1,-2)$ のとき、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺が共通で、高さが等しいからです。

①〈式〉
三角形の面積は、底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$ です。底辺を $BQ$、高さを$PB$ ということにして求めます。
$Q$ は秒速 $1cm$ で動くので、$BQ$ の長さは $x$ です。
$P$ は秒速 $2cm$ で動くので、$PB$ の長さは $2x$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=x\times2x\times\cfrac{1}{2}=x^2$ となります。

〈変域〉
$x$ の変域は、$P$ が $B$ 上にあるときは、$0$ 秒後です。最小値は $0$ です。$P$ が $A$ 上にくるのは、$3$ 秒後です。最大値は $3$ です。

②〈式〉
$P$ から $BC$ におろした垂線と、$BC$ との交点を $E$ とします。三角形の面積は、底辺 $\times$ 高さ $\times\cfrac{1}{2}$ です。底辺を $BQ$、高さを$PE$ ということにして求めます。
$Q$ は秒速 $1cm$ で動くので、$BQ$ の長さは $x$ です。
$PE$ の長さは、$P$ がどこにあっても $6$ です。
なので、三角形 $y$ の面積は、$y=x\times6\times\cfrac{1}{2}=3x$ となります。

〈変域〉
$x$ の変域は、$P$ が $A$ 上にきたのは、$3$ 秒後です。最小値は $3$ です。$P$ が $D$ 上にくるのは、$6$ 秒後です。最大値は $6$ です。

〈グラフ〉
変域が $0 \leqq x \leqq 3$ のときの式は $y=x^2$ です。点$(0, \ 0),$ $(1, \ 1),$ $(2, \ 4),$ $\ (3, \ 9)$ を通る放物線をかきましょう。
変域が $3 \leqq x \leqq 6$ のときの式は $y=3x$ です。直線になります。$3$ 秒後の面積は $9cm^2$、$6$ 秒後の面積は $18cm^2$ ですから、$2$ 点$(3, \ 9), \ (6, \ 18)$ をとって定規でむすんでしまいましょう。線は点 $(6, \ 18)$ で終わりにしてください。その先をかいちゃダメです。

〈面積〉
グラフから、面積 $y$ が $8$ になるのは、$P$ が $y=x^2$ 上にあるときです。この式の $y$ に $8$ を代入して $x$ を求めればOKです。 \begin{eqnarray*} 8&=&x^2\\ x^2&=&8\\ x&=&\pm\sqrt{8}\\ &=&\pm2\sqrt{2}\\ \end{eqnarray*} $x=-2\sqrt{2}$ は $x$ の変域に入っていないので、答えてはいけません。
$x=2\sqrt{2}$ が答えです。