数学 中3 2学期期末模擬テスト 第2回
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問題をクリックすると答えがでます。
ふつうのテストより問題数は多いです。なのでふつうのテストをやるときより時間がかかると思います。がんばって！
$\huge{1}$ 次の①～⑥の計算をしなさい。⑦～⑨の各問いに答えなさい。
$\qquad①$ $\quad 4+5\times(-2) \qquad ② \quad 5\times(-3^2)-7\times(-8)$
答え
$①-6$ $②11$
\begin{eqnarray*} &①& 4+5\times(-2)\\ &=&4-10\\ &=& -6 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &②& 5\times(-3^2)-7\times(-8)\\ &=& 5\times(-9)-7\times(-8)\\ &=& -45+56\\ &=& 11 \end{eqnarray*}
$\qquad③$ $-\cfrac{3}{4}+\left(-\cfrac{15}{16}\right)\div\left(-\cfrac{9}{8}\right) \qquad ④ \quad -2(4x+3y)+3(5x-2y) $
答え
$①\cfrac{1}{12}$ $④7x-12y$
\begin{eqnarray*} \require{cancel} &③& -\cfrac{3}{4}+\left(-\cfrac{15}{16}\right)\div\left(-\cfrac{9}{8}\right) \\ &=& -\cfrac{3}{4}+\left(-\cfrac{15}{16}\right)\times\left(-\cfrac{8}{9}\right) \\ &=& -\cfrac{3}{4}+\left(-\cfrac{{}^5\bcancel{15}}{{}^2\bcancel{16}}\right)\times\left(-\cfrac{\bcancel{8}}{{}^3\bcancel{9}}\right) \\ &=& -\cfrac{3}{4}+\cfrac{5}{6}\\ &=& -\cfrac{9}{12}+\cfrac{10}{12}\\ &=& \cfrac{1}{12} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &④& -2(4x+3y)+3(5x-2y)\\ &=& -8x-6y+15x-6y\\ &=& 7x-12y \end{eqnarray*}
$\qquad⑤$ $\sqrt{\cfrac{8}{9}}-\sqrt{\cfrac{9}{8}} \qquad ⑥ \quad 6\sqrt{48}\div\sqrt{6}\div\sqrt{12} $
答え
$⑤-\cfrac{\sqrt{2}}{12}$ $⑥2\sqrt{6}$
\begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑤& \sqrt{\cfrac{8}{9}}-\sqrt{\cfrac{9}{8}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}-\cfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{2}}{3}-\cfrac{3}{2\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{2\sqrt{2}}{3}-\cfrac{3\sqrt{2}}{4}\\ &=&\cfrac{8\sqrt{2}}{12}-\cfrac{9\sqrt{2}}{12}\\ &=&-\cfrac{\sqrt{2}}{12} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \require{cancel} &⑥& 6\sqrt{48}\div\sqrt{6}\div\sqrt{12}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{48}}{\sqrt{6}\times\sqrt{12}}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ &=&\cfrac{6\sqrt{6}}{3}\\ &=&2\sqrt{6} \end{eqnarray*}
$\qquad$⑦ $x^2-12xy+36y^2$ を因数分解しなさい。
答え
$(x-6y)^2$
$\qquad$⑧ 方程式 $2x-3y=3x-4y+2=7$ を解きなさい。
答え
$x=-13,y=-11$
まんなかをかくした式をつくり、①とします。左側をかくした式をつくって整理し、②とします。①の式と②の式を連立させ、$x$ の係数をそろえて加減法で解きます。
\begin{eqnarray*}
&& \ 2x-3y=3x-4y+2=7
\end{eqnarray*}
$まんなかをかくした式をたてる$
\begin{eqnarray*}
2x-3y&=&7\quad…①
\end{eqnarray*}
$左側をかくした式をたてて整理する$
\begin{eqnarray*}
3x-4y+2&=&7\\
3x-4y&=&5\quad…②
\end{eqnarray*}
$①と②を連立させる$
\begin{eqnarray*}
&& \ \left\{
\begin{array}{l}
2x-3y=7\quad…①\\
3x-4y=5\quad…②
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$①\times3 \ - \ ②\times2$
\begin{eqnarray*}
6x-9y=21\\
\underline{-) \quad 6x-8y=10}\\
-y=11\\
y=-11
\end{eqnarray*}
$y=-11を①に代入$
\begin{eqnarray*}
2x-3\times(-11)&=&7\\
2x+33&=&7\\
2x&=&-26\\
x&=&-13
\\
\left\{
\begin{array}{l}
x=-13\\
y=-11
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
$\qquad$⑨ $2$ 次方程式 $4x^2-14=0$ を解きなさい。
答え
$x=\pm\cfrac{\sqrt{14}}{2}$
\begin{eqnarray*} 4x^2-14&=&0 \quad(\div2)\\ 2x^2-7&=&0 \\ 2x^2&=&7 \\ x^2&=&\cfrac{7}{2}\\ x&=&\pm \sqrt{\cfrac{7}{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{14}}{2} \end{eqnarray*}
$\huge{2}$ 次の①～③の各問いに答えなさい。
$①$ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-5$ のとき $y=-\cfrac{15}{2}$ である。$x=-2$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え
$y=-\cfrac{6}{5}$
$y=ax^2$ に $x=-5$ , $y=-\cfrac{15}{2}$ を代入すると、
\begin{eqnarray*}
-\cfrac{15}{2}&=&a×(-5)^2\\
-\cfrac{15}{2}&=&25a\qquad\qquad(\times2)\\
-15&=&50a\\
-\cfrac{15}{50}&=&a\\
-\cfrac{3}{10}&=&a
\end{eqnarray*}
これで $a=-\cfrac{3}{10}$ というふうに、 $a$ が求められました。$y=ax^2$ に $a=-\cfrac{3}{10}$ を代入して、
$$y=-\cfrac{3}{10}x^2$$
この式に $x=-2$ を代入して、
$y=-\cfrac{3}{10}×(-2)^2=-\cfrac{3}{{}^5\bcancel{10}}×{}^2\bcancel{4}=-\cfrac{6}{5}$
$②$ 関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $-4$ から $3$ まで増加するときの、変化の割合が $-1$ である。$a$ の値を求めなさい。
答え
$a=1$
関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $p$ から $q$ まで増加するときの変化の割合は $$(p+q)\times a=変化の割合$$ を利用します。この問題の場合は、 $$(-4+3)\times a=-1$$ となります。あとはこれを解くだけ。 \begin{eqnarray*} (-4+3)\times a&=&-1\\ -a&=&-1\\ a&=&1 \end{eqnarray*}
$③$ 関数 $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ について、$x$ の変域が $-\cfrac{7}{2} \leqq x \leqq 3$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。
答え
$-\cfrac{49}{8} \leqq y \leqq 0$
「関数 $y=ax^2$ について、$x$ の変域が $p \leqq x \leqq q$ のとき、$y$ の変域を求めなさい」ときかれたら、
＜手順①＞まず $p \leqq x \leqq q$ が $0$ をまたいでいるかを確認します。この問題の場合は、 $-\cfrac{7}{2} \leqq x \leqq 3$ なのでまたいでいます。
＜手順②＞またいでいるときは、 $y=ax^2$ の $a$ の符号を確認します。
$a$ がプラスの時は、答えの形は $0 \leqq y \leqq 〇$ です。
$a$ がマイナスの時は、答えの形は $〇 \leqq y \leqq 0$ です。
〇のところには数がはいります。
この問題の場合は、$a$ はマイナスです。
＜手順③＞〇のところにはいる数は、 $p \leqq x \leqq q$ の $p$ と $q$ のうち、$0$ から遠いほうを $y=ax^2$ の $x$ に代入してでてきた数です。
この問題の場合は、$-\cfrac{7}{2} \leqq x \leqq 3$ ですから $0$ から遠いのは $-\cfrac{7}{2}$ です。$-\cfrac{7}{2}$ を $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ の $x$ に代入して、
\begin{eqnarray*}
y&=&-\cfrac{1}{2}\times\left(-\cfrac{7}{2}\right)^2\\
&=&-\cfrac{1}{2}\times\cfrac{49}{4}\\
&=&-\cfrac{49}{8}
\end{eqnarray*}
なので答えは
$$-\cfrac{49}{8} \leqq y \leqq 0$$
$\huge{3}$ 下の図のなかから、相似な三角形の組を見つけ、記号 ∽ を使って表しなさい。また、そのときに使った相似条件をいいなさい。
答え
$\triangle ABC$ ∽$\triangle RQP$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle JKL$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle GHI$ ∽$\triangle NMO$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。
対応する辺や角に注意する。
$\huge{4}$ 右の図で、$\angle ACB=\angle DAB$ である。
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$を証明しなさい。
答え
〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle ACB=\angle DAB$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
対応する辺や角に注意しましょう。
相似な図形どうしを、対応する辺や角に注意して、向きをそろえてかいてしまうのがよいです。問題の図の下や横に、こんな感じで図をかき加えてしまいましょう。→
すると、辺や角のいい方のミスが少なくなります。
$\huge{5}$ 下の①～⑤の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、①～⑤まで、すべて $\ DE /\!/ BC$ とする。
答え
① $x=12, \ y=\cfrac{9}{2}$
② $x=8, \ y=\cfrac{34}{3}$
③ $x=7, \ y=16$
④ $x=\cfrac{35}{13}, \ y=\cfrac{252}{13}$
⑤ $x=10, \ y=\cfrac{49}{5}$
$\triangle ABC$ で、辺 $AB, \ AC$ 上の点をそれぞれ $D, \ E$ とする。
１ $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:AB=AE:AC=DE:BC$
２ $\ DE /\!/ BC$ ならば、
$\quad AD:DB=AE:EC$
※すべて上の定理を利用しています。以下のやり方は一例です。このほかにもいろんな式のたて方があります。
\begin{eqnarray*}
①
12:18&=&x:18\\
x&=&12
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
9:y&=&12:18-12\\
9:y&=&12:6\\
9:y&=&2:1\\
2y&=&9\\
y&=&\cfrac{9}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
②
12:18&=&x:12\\
2:3&=&x:12\\
3x&=&24\\
x&=&8
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
12:18&=&y:17\\
2:3&=&y:17\\
3y&=&y:34\\
y&=&\cfrac{34}{3}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
③
6:12&=&x:14\\
1:2&=&x:14\\
x&=&7
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
6:12&=&8:y\\
1:2&=&8:y\\
y&=&16
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
④
13:5&=&7:x\\
13x&=&35\\
x&=&\cfrac{35}{13}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
13:13+5&=&14:y\\
13:18&=&14:y\\
13y&=&252\\
y&=&\cfrac{252}{13}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
⑤
12:5&=&14+x:x\\
12x&=&5(14+x)\\
12x&=&70+5x\\
12x-5x&=&70\\
7x&=&70\\
x&=&10
\end{eqnarray*}
($x=10$ を利用して)
\begin{eqnarray*}
14:10&=&y:7\\
7:5&=&y:7\\
5y&=&49\\
y&=&\cfrac{49}{5}
\end{eqnarray*}
$\huge{6}$
下の①、②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$\angle BAD=\angle CAD$ とする。
答え
① $x=\cfrac{45}{7}$ ② $x=\cfrac{64}{9}$
$\triangle ABC$ で、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ との交点を $D$ とすると、
$\quad AB:AC=BD:CD$
上の定理を利用します。
①
\begin{eqnarray*}
9:12&=&x:15-x\\
3:4&=&x:15-x\\
4x&=&3(15-x)\\
4x&=&45-3x\\
4x+3x&=&45\\
7x&=&45\\
x&=&\cfrac{45}{7}
\end{eqnarray*}
②
\begin{eqnarray*}
12:15&=&x:16-x\\
4:5&=&x:16-x\\
5x&=&4(16-x)\\
5x&=&64-4x\\
5x+4x&=&64\\
9x&=&64\\
x&=&\cfrac{64}{9}
\end{eqnarray*}
$\huge{7}$
下の①，②の図で、$x$ の値を求めなさい。③，④の図で、$x, \ y$ の値を求めなさい。ただし、どの図も$\ l /\!/ m /\!/ n$ とする。
答え
① $x=6$ ② $x=\cfrac{32}{9}$ ③ $x=18, \ y=16$ ④$x=6, \ y=\cfrac{58}{7}$
$3$ つ以上の平行線に、$1$ つの直線がどのように交わっても、その直線は平行線によって一定の比に分けられる。
①
\begin{eqnarray*}
8:4&=&x:3\\
2:1&=&x:3\\
x&=&6
\end{eqnarray*}
②
\begin{eqnarray*}
4:9&=&x:8\\
9x&=&32\\
x&=&\cfrac{32}{9}
\end{eqnarray*}
③
\begin{eqnarray*}
7:14&=&6:x-6\\
1:2&=&6:x-6\\
x-6&=&12\\
x&=&12+6\\
x&=&18
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
7:14&=&8:y\\
1:2&=&8:y\\
y&=&16
\end{eqnarray*}
④
\begin{eqnarray*}
6:8&=&4.5:x\\
3:4&=&4.5:x\\
3x&=&18\\
x&=&6
\end{eqnarray*}
〈$y$ の求め方〉
右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。
\begin{eqnarray*}
6:6+8&=&y-7:10-7\\
6:14&=&y-7:3\\
3:7&=&y-7:3\\
7(y-7)&=&9\\
7y-49&=&9\\
7y&=&9+49\\
7y&=&58\\
y&=&\cfrac{58}{7}
\end{eqnarray*}
$\huge{8}$
下の①，②の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、①の図は $\ AD /\!/ EF /\!/ BC$ , ②の図は $\ AB /\!/ EF /\!/ CD$ とする。
答え
① $x=10$ ② $x=3$
①右の図のように、補助線をひきます。で、青い部分の相似な三角形で式をたてていきます。
\begin{eqnarray*}
8:8+16&=&x-3:21\\
8:24&=&x-3:21\\
1:3&=&x-3:21\\
3(x-3)&=&21\\
3x-9&=&21\\
3x&=&21+9\\
3x&=&30\\
x&=&10
\end{eqnarray*}
②$\triangle EAB$ ∽$\ \triangle EDC$ (青いところ)で、その相似比は $4:12=1:3$ です。なので、$BE:EC=1:3$ です。
この比を、$\triangle BEF$ ∽$\ \triangle BCD$ (黄色いところ)に使って $x$ を求めていきます。
\begin{eqnarray*}
1:1+3&=&x:12\\
1:4&=&x:12\\
4x&=&12\\
x&=&3
\end{eqnarray*}
$\huge{9}$ 右の図で、線分 $AD,$ $BD,$ $BC,$ $AC$ の中点をそれぞれ $P,Q,R,S$ とする。四角形 $PQRS$ は平行四辺形となることを証明しなさい。
三角形の $2$ つの辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分である。
答え
〈証明〉
$\triangle ABD$ で、中点連結定理より、
$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$ …①
$\triangle ABC$ で、中点連結定理より、
$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、
四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。
中点連結定理を使った証明です。
青い三角形で、$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$
黄色い三角形で、$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$
$PQ$ と $SR$ は、どちらも $AB$ と平行で、長さが $AB$ の半分。したがって、$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$ となります。
平行四辺形になるための条件は $4$つありましたね(定義をふくめれば $5$つ)。その最後のやつです。「$1$ 組の対辺が平行で長さが等しい」。これでうまくいきます。
$\huge{10}$ 右の図で、$x$ の値を求めなさい。ただし、$AD=DB, \ AE=EC=CG$ とする。
答え
$x=15$
$\triangle ABC$ で、$AD:DB=AE:EC=1:1$
中点連結定理より、$BC=2DE=20$ …①
また、$DE /\!/ BC, \ EC:CG=1:1$ だから、$DF:FG=1:1$
$\triangle DGE$ で、中点連結定理より、
$FC=\cfrac{1}{2}DE=5$ …②
①②より、$x=BC-FC=20-5=15$
$\huge{11}$ 右の図で、$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DEF$ であり、その相似比は $4:5$ である。
$\triangle ABC$ の面積が $8cm^2$ のとき、$\triangle DEF$ の面積を求めなさい。
相似比が $m:n$ である $2$ つの図形の面積の比は、$m^2:n^2$ である。
答え
$\cfrac{25}{2}cm^2$
$\triangle DEF$ の面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^2:5^2&=&8:x\\ 16:25&=&8:x\\ 16x&=&25\times8\\ x&=&\cfrac{25\times8}{16}=\cfrac{25}{2} \end{eqnarray*}
$\huge{12}$ 右の図の $\triangle ABC$ で、$AD:DF:FB=3:2:1,$ $\ DE /\!/ FG /\!/ BC$ である。以下の①～③の問いに答えなさい。
$①$ $\triangle ADE$ と $\triangle AFG$ と $\triangle ABC$ の面積の比をいいなさい。
相似比が $m:n$ である $2$ つの図形の面積の比は、$m^2:n^2$ である。
答え
$9:25:36$
仮定から、$\triangle ADE$ ∽$\ \triangle AFG$ ∽$\ \triangle ABC$ です。相似比は $3:5:6$ です。
なので、面積比は $3^2:5^2:6^2=9:25:36$ です。
$②$ $\triangle ADE$ の面積を $x$ とする。
台形$DFGE$ の面積を $y$ とする。
台形$FBCG$ の面積を $z$ とする。
$x:y:z$ の比を求めなさい。
答え
$9:16:11$
①の問題の答えから、$x=9$ とすると、$\triangle AFG$ の面積は $25$ です。また、$\triangle ABC$ の面積は $36$ です。
なので、
$\quad y=25-9=16$
$\quad z=36-25=11$
なので、$x:y:z=9:16:11$
$③$ $\triangle ABC$ の面積が $30cm^2$ であるとき、台形$FBCG$ の面積を求めなさい。
答え
$\cfrac{55}{6}cm^2$
台形$FBCG$ の面積は全体($\triangle ABC$)の $\cfrac{11}{36}$ です。なので、
$\quad 30\times \cfrac{11}{36}=\cfrac{55}{6}$
$\huge{13}$ 右の図で、三角すい$P$ と三角すい$Q$ は相似であり、その相似比は $4:5$ である。以下の①②の問いに答えなさい。
$①$ 三角すい$P$ の表面積が $32cm^2$ のとき、三角すい$Q$ の表面積を求めなさい。
相似比が $m:n$ である $2$ つの立体の表面積の比は、$m^2:n^2$ である。
答え
$50cm^2$
$Q$ の表面積を $x$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^2:5^2&=&32:x\\ 16:25&=&32:x\\ 16x&=&25\times 32\\ x&=&\cfrac{25\times32}{16}=50 \end{eqnarray*}
$②$ 三角すい$P$ の体積が $128cm^3$ のとき、三角すい$Q$ の体積を求めなさい。
相似比が $m:n$ である $2$ つの立体の体積の比は、$m^3:n^3$ である。
答え
$250cm^3$
$Q$ の体積を $y$ とすると、 \begin{eqnarray*} 4^3:5^3&=&128:y\\ 64:125&=&128:y\\ 64y&=&125\times128\\ y&=&\cfrac{125\times128}{64}=250 \end{eqnarray*}
$\huge{14}$ 右の図のように、関数$y=ax^2$ のグラフと直線 $l$ が $2$ 点 $A$,$B$ で交わっていて、点 $B$ の座標は $(2, \ 4)$ である。直線 $l$ と $x$ 軸との交点を $C$ とする。$AB:BC=5:4$ であるとき、以下の $(1)～(4)$ の問いに答えなさい。
$(1)$ $a$ の値を求めなさい。
答え
$a=1$
$y=ax^2$ に、$x=2, \ y=4$ を代入して、$a$ を求めればよいです。
\begin{eqnarray*}
4&=&a\times2^2\\
4&=&4a\\
1&=&a\\
\end{eqnarray*}
$(2)$ 点 $A$ の座標を求めなさい。
答え
$(-3, \ 9)$
右の図のように、点 $A, \ B$ から $x$ 軸へ垂線をおろし、その交点をそれぞれ $D, \ E$ とします。$ AD /\!/ BE$ ですから、$\triangle CAD$ ∽$\ \triangle CBE$ になります。
こんなふうに、この問題は三角形の相似を利用して考えます。
$AB:BC=5:4$ なのですから、$AC:BC=9:4$ です。なので、$\triangle CAD$ と $\triangle CBE$ の相似比は、$9:4$ です。
なので、$AD:BE=9:4$ となります。
点 $B$ の $y$ 座標は $4$ なのですから、$BE=4$ です。なので、$AD=9$ となります。点 $A$ の $y$ 座標は、$9$ です。
次に $x$ 座標を求めます。$(1)$ の問題で、この放物線の式は $y=x^2$ だということがわかっています。この式に $y=9$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
9&=&x^2\\
\pm\sqrt{9}&=&x\\
\pm3&=&x\\
\end{eqnarray*}
$x\lt0$ ですから、$x=-3$ です。
$(3)$ $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。
答え
$15$
この三角形の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。赤のほうは、点 $D$ と 点 $E$ の $x$ 座標はそれぞれ $-3, \ 2$ なので、長さは $5$ です。
このように赤の長さはすぐにわかるですが、緑のほうは、直線 $l$ の $y$ 切片を求める必要があります。
直線 $l$ の式は、点 $(-3, \ 9), \ (2, \ 4)$ の $2$ 点を通る直線の式、ということで求めていきます。
\begin{eqnarray*}
a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=&\cfrac{4-9}{2-(-3)}\\
&=&\cfrac{-5}{5}\\
&=&-1
\end{eqnarray*}
$y=-x+b$ に $x=2, \ y=4$ を代入する
\begin{eqnarray*}
4&=&-2+b\\
4+2&=&b\\
6&=&b
\end{eqnarray*}
これで直線 $l$ の $y$ 切片は $6$ だとわかりました。
なのでこの問題の答えは
$$\triangle OAB=5\times6\times\cfrac{1}{2}=15$$
この三角形の面積が、なぜ「赤×緑×$\cfrac{1}{2}$」とすればうまくいくのかがわからないときは、下の説明ボタンを押して考えてみてください。
$(4)$ 点 $A$ を通り、$\triangle OAB$ の面積を $2$ 等分する直線の式を求めなさい。
答え
$y=-\cfrac{7}{4}x+\cfrac{15}{4}$
＜中線＞
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
＜中点＞
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。「中点は、足して $2$ で割る」。わりとよく使う知識なので、おぼえちゃったほうが話が早いです。
この問題の場合は、点 $O$ と 点 $B$ の中点の座標を知りたいわけです。点 $O$ の座標は $(0, \ 0),$ 点 $B$ の座標は $(2, \ 4)$ です。なのでその中点の座標は、
\begin{eqnarray*}
&&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{0+2}{2}, \ \cfrac{0+4}{2}\right)\\
&=&(1, \ 2)
\end{eqnarray*}
となります。中点 $M$ の座標は $(1, \ 2)$ です。
では答えをだしていきましょう。もう一回おなじ図をはっておきます。点 $A(-3, \ 9)$ と点 $M(1, \ 2)$ を通る直線の式を求めればよいです。図の青い線です。
直線の式を求めるときは、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ に $2$ 点 $A(-3, \ 9)$ と $M(1, \ 2)$ をあてはめて、
\begin{eqnarray*}
a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=&\cfrac{2-9}{1-(-3)}\\
&=&-\cfrac{7}{4}
\end{eqnarray*}
これで $a=-\cfrac{7}{4}$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、
$$y=-\cfrac{7}{4}x+b$$
この式に、$x=1, \ y=2$ を代入して $b$ を求めます。
\begin{eqnarray*}
2&=&-\cfrac{7}{4}+b\\
2+\cfrac{7}{4}&=&b\\
\cfrac{8}{4}+\cfrac{7}{4}&=&b\\
\cfrac{15}{4}&=&b
\end{eqnarray*}
これで、$a=-\cfrac{7}{4}, \ b=\cfrac{15}{4}$ だとわかりました。答えは
$$y=-\cfrac{7}{4}x+\cfrac{15}{4}$$
答え(中3 2学期期末模擬テスト 第2回)
1$①-6$ $②11$ $③\cfrac{1}{12}$ $④7x-12y$ $⑤-\cfrac{\sqrt{2}}{12}$ $⑥2\sqrt{6}$ $⑦(x-6y)^2$ $⑧x=-13, \ y=-11$ $⑨x=\pm\cfrac{\sqrt{14}}{2}$
2$①y=-\cfrac{6}{5}$ $②a=1$ $③-\cfrac{49}{8} \leqq y \leqq 0$
3$\triangle ABC$ ∽$\triangle RQP$…$2$ 組の辺の比とその間の角が等しい。
$\triangle DEF$ ∽$\triangle JKL$…$2$ 組の角がそれぞれ等しい。
$\triangle GHI$ ∽$\triangle NMO$…$3$ 組の辺の比がすべて等しい。
4〈証明〉
$\triangle ABC$ と $\triangle DBA$ で、
仮定から、$\angle ACB=\angle DAB$ ……①
共通な角だから、$\angle ABC=\angle DBA$ ……②
①②より、$2$ 組の角がそれぞれ等しいので
$\triangle ABC$ ∽$\ \triangle DBA$
5① $x=12, \ y=\cfrac{9}{2}$
② $x=8, \ y=\cfrac{34}{3}$
③ $x=7, \ y=16$
④ $x=\cfrac{35}{13}, \ y=\cfrac{252}{13}$
⑤ $x=10, \ y=\cfrac{49}{5}$
6$①x=\cfrac{45}{7}$ $②x=\cfrac{64}{9}$
7$①x=6$ $②x=\cfrac{32}{9}$ $③x=18, \ y=16$ $④x=8, \ y=\cfrac{58}{7}$
8$①x=10$ $②x=3$
9〈証明〉
$\triangle ABD$ で、中点連結定理より、
$\quad PQ /\!/ AB, \ PQ=\cfrac{1}{2}AB$ …①
$\triangle ABC$ で、中点連結定理より、
$\quad SR /\!/ AB, \ SR=\cfrac{1}{2}AB$ …②
四角形 $PQRS$ で、①②より、
$\quad PQ /\!/ SR, \ PQ=SR$
$1$ 組の対辺が平行で長さが等しいので、
四角形 $PQRS$ は平行四辺形である。
10 $x=15$
11 $\cfrac{25}{2}cm^2$
12 $①9:25:36$ $②9:16:11$ $③\cfrac{55}{6}cm^2$
13 $①50cm^2$ $②250cm^3$
14 (1)$a=1$ (2)$ \ (-3, \ 9)$ (3)$15$ (4)$y=-\cfrac{7}{4}x+\cfrac{15}{4}$