こういう線を放物線といいます。$y$ 軸 について対称になっています。頂点は原点になっています。$a \gt 0$ のとき、グラフは $x$ 軸 より上側にあって、上に開きます。$a \lt 0$ のとき、グラフは $x$ 軸 より下側にあって、下に開きます。

「$y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、 $x=m$ のとき $y=n$ である。 $y$ を $x$ の式で表しなさい。」といわれたら、答えの形は $y=ax^2$ で、$a$ を求めるのが目標になります。$a$ の求め方は $a=\cfrac{y}{x^2}$ です。
この $a=\cfrac{y}{x^2}$ に $x=2$ , $y=-2$ を代入すると、 $$ a=\cfrac{-2}{2^2}=\cfrac{-2}{4}=-\cfrac{1}{2} $$ これで $a=-\cfrac{1}{2}$ というふうに、 $a$ が求められました。では答えを書きましょう。 $$y=-\cfrac{1}{2}x^2$$

$2$ 乗に比例する関数 $y=ax^2$ の $a$ の求め方は $a=\cfrac{y}{x^2}$ です。
この $a=\cfrac{y}{x^2}$ に $x=2$ , $y=4$ を代入すると、 $$ a=\cfrac{4}{2^2}=\cfrac{4}{4}=1 $$ これが答えです。

「$y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し」といわれたら、式の形は $y=ax^2$ で、まず $a$ を求めてしまいましょう。問題に分数がでてきたときの $a$ の求め方は $a=\cfrac{y}{x^2}$ はやめておきましょう。そうではなく、 $y=ax^2$ に $x$ と $y$ を代入して $a$ を求めていきましょう。
$y=ax^2$ に $x=-3$ , $y=\cfrac{3}{2}$ を代入すると、 \begin{eqnarray*} \cfrac{3}{2}&=&a×(-3)^2\\ \cfrac{3}{2}&=&9a\qquad\qquad(×2)\\ 3&=&18a\\ \cfrac{3}{18}&=&a\\ \cfrac{1}{6}&=&a \end{eqnarray*} これで $a=\cfrac{1}{6}$ というふうに、 $a$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$y=\cfrac{1}{6}x^2$$

「$y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し」といわれたら、式の形は $y=ax^2$ で、まず $a$ を求めてしまいましょう。$a$ の求め方は $a=\cfrac{y}{x^2}$ 。
この $a=\cfrac{y}{x^2}$ に $x=-9$ , $y=27$ を代入すると、 $$ a=\cfrac{27}{(-9)^2}=\cfrac{27}{81}=\cfrac{1}{3} $$ これで $a=\cfrac{1}{3}$ というふうに、 $a$ が求められました。これを $y=ax^2$ の $a$ に代入すると $$y=\cfrac{1}{3}x^2$$ となります。この式に $x=3$ を代入して、 $$y=\cfrac{1}{3}×3^2=\cfrac{1}{3}×9=3$$ これが答えです。

「$x$ の変域が $a \leqq x \leqq b$ のとき、$y$ の変域を求めなさい。」という定番の問題があって、大まかなグラフを書いて求めていくというのがちゃんとしたなやり方です。でも、グラフを書かなくても答えられます。テストのときは、時間の節約にもなるので、グラフを書かないやり方がおすすめです。
まず、答えの形はこうなります。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。$y$ の範囲を答えるわけです。グラフをかかずにそれを求めるためには、場合分けというものをしなくちゃならなくて、それはこんな感じです。

①$x$ の変域が $0$ をまたいでいるか。
②$x$ の変域が $0$ をまたいでいるのなら、$a$ はプラスかマイナスか。

この問題は、$x$ の変域が $1 \leqq x \leqq 3$ だから、$0$ をまたいでいません。この場合のやり方は、単純に $1 \leqq x \leqq 3$ の両はじにかかれている $1$ と $3$ を $y=2x^2$ に代入して、でてきた数を $$小 \leqq y \leqq 大$$ の小と大にあてはめればOKです。じゃあ答えていきます。
まず $x=1$ を $y=2x^2$ に代入します。 $$y=2×1^2=2×1=2$$ つぎに $x=3$ を $y=2x^2$ に代入します。 $$y=2×3^2=2×9=18$$ これで、$2$ と $18$ というふたつの数がえられました。これを小と大にあてはめればOKです。答えを書きます。 $$2 \leqq y \leqq 18$$

上の問題でも説明したように、答えの形はこうなります。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。それを求めるためには、場合分けというものをしなくちゃならなくて、それはこんな感じです。

①$x$ の変域が $0$ をまたいでいるか。
②$x$ の変域が $0$ をまたいでいるのなら、$a$ はプラスかマイナスか。

この問題は、$x$ の変域が $-2 \leqq x \leqq 8$ だから、$0$ をまたいでいます。この場合は、次に $y=ax^2$ の $a$ の符号がプラスかマイナスかをみます。この問題は、$\cfrac{1}{2}$ だからプラス。 $a$ がプラスのときは答えは $$0 \leqq y \leqq 数$$ となります。
$a$ がプラスのときは、左側（最小値）が $0$ です。
右側の数（最大値）は、$x$ の変域、 $-2 \leqq x \leqq 8$ の両はじの数のうち、$0$ から遠いほうを $y=\cfrac{1}{2}x^2$ に代入してでてくる数です。$-2$ と $8$ は、どちらのほうが $0$ から遠いかといえば、もちろん $8$ です。この $8$ を $y=\cfrac{1}{2}x^2$ に代入します。 $$y=\cfrac{1}{2}×8^2=\cfrac{1}{2}×64=32$$ この $32$ というのが、答えの右側の数（最大値）です。では答えを書きます。 $$0 \leqq y \leqq 32$$

上の問題でも説明したように、答えの形はこうなります。 $$小 \leqq y \leqq 大$$ んで、小と大にそれぞれ、小さい数と大きい数を書いておけばいいです。それを求めるためには、場合分けというものをしなくちゃならなくて、それはこんな感じです。

①$x$ の変域が $0$ をまたいでいるか。
②$x$ の変域が $0$ をまたいでいるのなら、$a$ はプラスかマイナスか。

この問題は、$x$ の変域が $-3 \leqq x \leqq 6$ だから、$0$ をまたいでいます。この場合は、次に $y=ax^2$ の $a$ の符号がプラスかマイナスかをみます。この問題は、$-\cfrac{1}{3}$ だからマイナス。 $a$ がマイナスのときは答えは $$数 \leqq y \leqq 0$$ となります。
$a$ がマイナスのときは、右側（最大値）が $0$ です。
左側の数（最小値）は、$x$ の変域、 $-3 \leqq x \leqq 6$ の両はじの数のうち、$0$ から遠いほうを $y=-\cfrac{1}{3}x^2$ に代入してでてくる数です。$-3$ と $6$ は、どちらのほうが $0$ から遠いかといえば、もちろん $6$ です。この $6$ を $y=-\cfrac{1}{3}x^2$ に代入します。 $$y=-\cfrac{1}{3}×6^2=-\cfrac{1}{3}×36=-12$$ この $-12$ というのが、答えの左側の数（最小値）です。では答えを書きます。 $$-12 \leqq y \leqq 0$$

＜ちゃんとしたやり方＞
「変化の割合」をきかれたときは、$\cfrac{yの増加量\phantom{hoge}}{xの増加量\phantom{hoge}}$ です。$\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ という式に、$x$ と $y$ の値の組を代入すれば求められます。$1$ 次関数で、$2$ 点を通る直線の式をきかれたときに、$a$ を求めるアレです。あれをやればいいです。「変化の割合」を求めるこのやり方は、比例でも反比例でも $1$ 次関数でも $2$ 乗に比例する関数でも、なんでもいけます。なんでもこいです。たとえば反比例の式で、「$x$ の値がなんちゃらからかんちゃらまで増加するときの変化の割合を求めなさい」ときかれたときは、おとなしくこれでやってください。 ただ、このやり方は、$2$ 乗に比例する関数のときは、損なやり方です。めんどくさいからです。

＜テストのときはこうやってしまいましょう＞
$2$ 乗に比例する関数 $y=ax^2$ で変化の割合をきかれたときは、問題文の

「$x$ の値が $x=-3$ から $x=-1$ まで変化するときの」

というところの、「 $x=-3$ から $x=-1$ 」というところを見ます。このふたつの数を足します。そしてそこに、$y=3x^2$ の $3$ を掛けます。それが答えです。つまり、 $$\{-3+(-1)\}×3=-4×3=-12$$ これが答えです。「これとこれを足して、これを掛ければ変化の割合。」というふうにおぼえてしまいましょう。もっとちゃんと書くと、

「関数 $y=ax^2$ について、$x$ の値が $x_1$ から $x_2$ まで変化するときの、変化の割合は？」ときかれたら、 $(x_1+x_2)\times a$ を答えればよい。

という感じです。
なぜこれでうまくいくのかについては、下の説明ボタンを押して考えてみてください。

$2$ 乗に比例する関数 $y=ax^2$ で変化の割合をきかれたときは、問題文の

「$x$ の値が $x=2$ から $x=4$ まで変化するときの」

というところの $2$ と $4$ を足します。そしてそこに、$y=-\cfrac{1}{3}x^2$ の $-\cfrac{1}{3}$ を掛けます。それが答えです。 $$(2+4)×(-\cfrac{1}{3})=6×(-\cfrac{1}{3})=-2$$ これが答えです。「これとこれを足して、これを掛ければ変化の割合。」というふうにおぼえてしまいましょう。

物を自然に落としたときの平均の速さをきかれたら、問題文の

「 $3$ 秒後から $5$ 秒後までの」

というところを見ます。 $3$ と $5$ というところを見ます。このふたつの数を足します。そしてそこに、$y=5x^2$ の $5$ を掛けます。それが答えです。つまり、 $$(3+5)×5=40$$ これが答えです。「これとこれを足して、これを掛ければ平均の速さ。」というふうにおぼえてしまいましょう。

$2$ 乗に比例する関数 $y=ax^2$ の、変化の割合にかんする問題なので、「これとこれを足して、これを掛けたら変化の割合。」を利用しましょう。この問題は、どれとどれを足して、どれを掛けたら変化の割合になっているか、やってみると、 $$\{-3+(-1)\}×a=3$$ となります。あとは解くだけ。 \begin{eqnarray*} -4a&=&3\\ a&=&-\cfrac{3}{4} \end{eqnarray*} これが答えです。

放物線で「$y$ を $x$ の式で表しなさい。」といわれたら、答えの形は $y=ax^2$ で $a$ を求めるのが目標となります。$a$ を求めるには、グラフのどこかカドを通っている点をさがして、その座標を $y=ax^2$ にいれればよいです。たとえばこのグラフは点 $(1,1)$ を通っているから、 $x=1$ , $y=1$ を $y=ax^2$ に代入して $a$ を求めます。 \begin{eqnarray*} 1&=&a×1^2\\ 1&=a \end{eqnarray*} これで、$a=1$ というふうに $a$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$y=x^2$$ あともちろん、$a$ を求めるのに $a=\cfrac{y}{x^2}$ を使ってもかまいません。この問題の場合は $$a=\cfrac{1}{1^2}=1$$ ってなります。もちろんこうやるのもアリです。好きなやり方でやってください。

放物線で「$y$ を $x$ の式で表しなさい。」といわれたら、答えの形は $y=ax^2$ で $a$ を求めるのが目標となります。$a$ を求めるには、グラフのどこかカドを通っている点をさがして、その座標を $y=ax^2$ にいれればよいです。たとえばこのグラフは点 $(1,-2)$ を通っているから、 $x=1$ , $y=-2$ を $y=ax^2$ に代入して $a$ を求めます。 \begin{eqnarray*} -2&=&a×1^2\\ -2&=a \end{eqnarray*} これで、$a=-2$ というふうに $a$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$y=-2x^2$$

「$x \gt 0$ のとき」というのは、 $y$ 軸より右側で、という意味です。グラフの右半分で、と思っちゃっていいです。
「$x$ の値が増加すると $y$ の値が減少する」というのは、グラフが右下がりになっている、という意味です。
まとめていうと、「 $y$ 軸より右側で、グラフが右下がりになってるのはどれだ？」ということです。
んで、こういうときは、テキトーでいいからだいたいのグラフをこんな感じにかいてしまうのがよいです。アは下に開く放物線で、イは切片がマイナスの右上がりの直線で、ウは原点を通る右下がりの直線で、エは上に開く放物線。
グラフをかいたら、いわれてるやつをさがしましょう。$y$ 軸より右側で、グラフが右下がりになってるのは、アとウです。

$y=\cfrac{1}{3}x^2$ に、$x=-3$ と $x=6$ を代入して、それぞれの $y$ を求めていけばよいです。
まず $y=\cfrac{1}{3}x^2$ に $x=-3$ を代入して、 $$y=\cfrac{1}{3}×(-3)^2=\cfrac{1}{3}×9=3$$ つぎに $y=\cfrac{1}{3}x^2$ に $x=6$ を代入して、 $$y=\cfrac{1}{3}×6^2=\cfrac{1}{3}×36=12$$ これで、$x=-3$ のとき $y=3$、$x=6$ のとき $y=12$ ということがわかりました。じゃあ答えを書きましょう。 $$A(-3,-3) \quad B(6,12)$$

「直線の式を求めよ」といわれたら、答えの形は $y=ax+b$ で、 $a$ と $b$ を求めるのが目標になります。
$(1)$ 番の問題の答えから、 直線 $l$ は $2$ 点 $A(-3,-3) \quad B(6,12)$ を通ることがわかっています。 $2$ 点がわかっていて、その $2$ 点を通る直線の式をきかれたときは、 $$a=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ という公式を使って $a$ を求めましょう。
$2$ 点の座標 $(-3,3),(6,12)$ を $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ だということにして、上の公式にあてはめると、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{12-3}{6-(-3)}\\ &=&\cfrac{9}{9}\\ &=&1\\ \end{eqnarray*} これで $a=1$ だということがわかりました。これを $y=ax+b$ に代入して、 $$y=x+b$$ ここに、 $(-3,3),(6,12)$ のどちらかを代入して $b$ を求めます。代入するのはどっちでもよいです。計算さえまちがえなければ、どっちをいれても答えは同じになります。だから、計算がラクそうなほうをいれるのが得。今回は、 $(-3,3)$ のほうをいれてみましょう。 \begin{eqnarray*} 3&=&-3+b\\ 3+3&=&b\\ 6&=&b \end{eqnarray*} これで $a=1$ , $b=6$ というふうに、$a$ と $b$ が求められました。じゃあ答えを書きましょう。
$$y=x+6$$
ところで、この問題に関してはもうひとつ、連立方程式をたてて $a$ と $b$ を求めていく、という定番のやり方があります。ここで紹介しているやり方と、連立方程式をたてるのと、好きなほうでやってください。

直線 $l$ と $y$ 軸との交点を $C$ とします。
三角形の面積=底辺×高さ× $\cfrac{1}{2}$ です。だから底辺と高さを求めていけばいいんだけど、この問題の場合は、いきなり $\triangle OAB$ の底辺と高さを求めていくのはちょっとしんどいです。$\triangle OAB$ を $y$ 軸のところでふたつにわけて、$\triangle OAC$ と $\triangle OBC$ の面積をそれぞれだして、最後にそれを足して答えましょう。水色の三角形と黄色の三角形の面積をだして、それを足せば答え、という感じです。
じゃあまず、$\triangle OAC$（水色）の面積からいきます。底辺は $OC$ にします。$C$ の $y$ 座標は直線 $y=x+6$ の切片だから $6$ 。つまり $OC=6$ です。それから高さ。点 $A$ から $y$ 軸におろした垂線と $y$ 軸との交点を $D$ ということにします。するとこの三角形の高さは $AD$ ということになります。その長さは、点 $A$ の $x$ 座標をみればいいから、$AD=3$。これで底辺と高さがわかったので、面積をだしましょう。 $$\triangle OAC=6×3×\cfrac{1}{2}=9$$ つぎに $\triangle OBC$（黄色）の面積をだしましょう。底辺はやはり $OC$ にします。$OC=6$ でしたね。高さは、点 $B$ から $y$ 軸におろした垂線と $y$ 軸との交点を $E$ ということにします。するとこの三角形の高さは $BE$ ということになります。その長さは、点 $B$ の $x$ 座標をみればいいから、$BE=6$。これで底辺と高さがわかったので、面積をだしましょう。 $$\triangle OBC=6×6×\cfrac{1}{2}=18$$ さあ、これでめでたく水色と黄色の三角形の面積が求められました。このふたつの三角形を足したものがこの問題の答えです。じゃあ答えをだしましょう。 \begin{eqnarray*} \triangle OAB&=&\triangle OAC+\triangle OBC\\ &=&9+18=27 \end{eqnarray*}

ところでこの問題の $\triangle OAB$ というのは、右の図の緑色の三角形と面積がおなじだ、と考えることができます。するとその面積は、$9×6×\cfrac{1}{2}=27$ というふうに、一発で求められます。つまり、赤い線を底辺と高さということにして、赤×赤×$\cfrac{1}{2}$とやれば、一発で答えです。ここの長さとここの長さを掛けて２分の１、というこのやり方をおぼえちゃうとすごく簡単になります。なぜこれでうまくいくのかは、下の説明ボタンを押して考えてみてください。

2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=-2x^2\\ y=-2x-4 \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} -2x^2&=&-2x-4\\ -2x^2+2x+4&=&0\qquad \quad \left(両辺を\div(-2)\right) \\ x^2-x-2&=&0\\ (x-2)(x+1)&=&0\\ x&=&2,\quad x=-1 \end{eqnarray*} こんなふうに2つの $x$ が求められました。こんどはそれぞれの $x$ について、$y$ をだしていきましょう。使う式は $y=-2x^2$ と $y=-2x-4$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。今回は $y=-2x^2$ を使ってみましょう。
$x=2$ のとき $$y=-2×2^2=-2×4=-8$$ $x=-1$ のとき $$y=-2×(-1)^2=-2×1=-2$$ こうして、$x=2$ のとき $y=-8$ , $x=-1$ のとき $y=-2$ というふうに、$x$ と $y$ の2つの組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$A(-1,-2) \quad , \quad B(2,-8)$$ $A$ は $x$ がマイナスのほう、$B$ は $x$ がプラスのほうを答えましょう。それはグラフを見て判断しましょう。

この三角形の面積をきかれたときは、（赤の横線の長さ）×（赤の縦線の長さ）×$\cfrac{1}{2}$ です。よく出る問題なので、これをおぼえてしまいましょう。こことここを掛けて2分の1。いいでしょうか。じゃあ実際にやってみましょう。赤の横線の長さは点 $A$ と点 $B$ の $x$ 座標をみればいいから、それぞれ $-1$ と $2$。だから赤の横線の長さは $3$。それから赤の縦線の長さは直線 $y=-2x-4$ の切片をみればいいから $-4$ 。長さは $4$ 。これで赤の横線と縦線の線の長さがわかりました。答えをだしましょう。 $$3×4×\cfrac{1}{2}=6$$ 赤×赤×2分の1。これでOKです。なぜこれでうまくいくのかは下の説明ボタンを押して考えてみてください。18番での説明とおなじですけど。

$O$ から $B$ までのあいだの放物線上のどこかに点 $P$ をとって、$\triangle PAB$ をつくりなさい。ただし、$\triangle PAB$ の面積は $\triangle OAB$ とおなじであるようにしてください、という問題です。

はじめに、三角形の等積変形の基本的な考え方について、もういちどおさらいしておきましょう。

右の図で、$l /\!/ m$ とすると、$\triangle AEF$ と $\triangle BEF$ と $\triangle CEF$ と $\triangle DEF$ の面積はどれも同じす。$EF$ を底辺とすると、どれも底辺が共通で高さの長さが同じだからです。このことをふまえて、

直線 $y=-2x-4$ を $l$ ということにします。点 $O$ を通って直線 $l$ と平行な直線をひきます。この直線と放物線との交点が、$P$ です。こうやって $P$ をとれば、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺が共通で、高さが等しいからです。
この、「～を通って～と平行な直線をひく」というのがでてくるかどうかが、この手の問題が解けるかどうかのわかれめです。


じゃあ点 $P$ の座標を求めていきましょう。
＜点 $O$ を通って 直線 $l$ と平行な直線＞
直線の式を求めるのだから、式の形は $y=ax+b$ です。この場合、点$O$ （原点）を通るのだから、$b=0$ です。
傾きが等しいとき、$2$ 直線は平行になるのだから、$l$ と平行な直線というのは、傾きが $l$ と等しくなります。$l$ の傾きは $-2$ だから、求めたい直線の傾きも $-2$ です。$a=-2$ です。
というわけで、$O$ を通って $l$ に平行な直線の式は、 $$y=-2x$$ となります。

＜直線と放物線の交点＞
2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。つまり、 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} y=-2x^2\\ y=-2x \end{array} \right. \end{eqnarray*} を解けばいいです。代入法で、（上の式の右辺）＝（下の式の右辺）という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。 \begin{eqnarray*} -2x^2&=&-2x\\ -2x^2+2x&=&0\qquad \quad \left(両辺を\div(-2)\right) \\ x^2-x&=&0\\ x(x-1)&=&0\\ x&=&0,\quad x=1 \end{eqnarray*} こんなふうに2つの $x$ が求められました。点 $P$ の $x$ 座標は、$1$ のほうです。こんどは $x=1$ のときの $y$ をだしていきましょう。使う式は $y=-2x^2$ と $y=-2x$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。今回は $y=-2x$ を使ってみましょう。
$x=1$ のとき $$y=-2×1=-2$$ こうして、$x=1$ のとき $y=-2$というふうに、$x$ と $y$ の組が求められました。じゃあ答えを書きましょう。 $$(1,-2)$$ $P$ の座標が $(1,-2)$ のとき、$\triangle OAB$ と $\triangle PAB$ は面積がおなじです。底辺が共通で、高さが等しいからです。