中3数学 2学期の計算 第6回 全35問
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問題をクリックすると答えがでます。
① $8-12\div4$
答え $5$
\begin{eqnarray*} &&8-12\div4\\ &=&8-3\\ &=&5 \end{eqnarray*}② $(-3)^2\times(-6)-5^2\times(-2)$
答え $-4$
\begin{eqnarray*} &&(-3)^2\times(-6)-5^2\times(-2)\\ &=&9\times(-6)-25\times(-2)\\ &=&-54+50\\ &=&-4 \end{eqnarray*}③ $-8+\cfrac{2}{5}\div\left(-\cfrac{3}{10}\right)$
答え $-\cfrac{28}{3}$
\begin{eqnarray*} &&-8+\cfrac{2}{5}\div\left(-\cfrac{3}{10}\right)\\ &=&-8+\cfrac{2}{5}\times\left(-\cfrac{10}{3}\right)\\ &=&-8-\cfrac{4}{3}\\ &=&-\cfrac{24}{3}-\cfrac{4}{3}\\ &=&-\cfrac{28}{3} \end{eqnarray*}④ $\cfrac{3}{4}(8x+12)-(5x+7)$
答え $x+2$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3}{4}(8x+12)-(5x+7)\\ &=&6x+9-5x-7\\ &=&x+2 \end{eqnarray*}⑤ $(36p^2q-48pq^2)\div\left(-\cfrac{12}{13}pq\right)$
答え $-39p+52q$
\begin{eqnarray*} &&(36p^2q-48pq^2)\div\left(-\cfrac{12}{13}pq\right)\\ &=&(36p^2q-48pq^2)\times\left(-\cfrac{13}{12pq}\right)\\ &=&36p^2q\times\left(-\cfrac{13}{12pq}\right)-48pq^2\times\left(-\cfrac{13}{12pq}\right)\\ &=&-39p+52q \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{3x+y}{4}-\cfrac{5x+3y}{6}$
答え $\cfrac{-x-3y}{12}\\\quad\left(-\cfrac{x+3y}{12},-\cfrac{1}{12}x-\cfrac{1}{4}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3x+y}{4}-\cfrac{5x+3y}{6}\\ &=&\cfrac{3(3x+y)-2(5x+3y)}{12}\\ &=&\cfrac{9x+3y-10x-6y}{12}\\ &=&\cfrac{-x-3y}{12} \end{eqnarray*}⑦ $(x-9)(x+8)$
答え $x^2-x-72$
⑧ $\left(\cfrac{3}{5}a-\cfrac{3}{4}b\right)^2$
答え $\cfrac{9}{25}a^2-\cfrac{9}{10}ab+\cfrac{9}{16}b^2$
⑨ $\left(\cfrac{9}{25}a^2+\cfrac{9}{10}ab\right)\left(\cfrac{9}{25}a^2-\cfrac{9}{10}ab\right)$
答え $\cfrac{81}{625}a^4-\cfrac{81}{100}a^2b^2$
⑩ $5(3x+1)(3x-1)-10(x-1)^2$
答え $35x^2+20x-15$
\begin{eqnarray*} &&5(3x+1)(3x-1)-10(x-1)^2\\ &=&5(9x^2-1)-10(x^2-2x+1)\\ &=&45x^2-5-10x^2+20x-10\\ &=&35x^2+20x-15 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{10}\times\sqrt{2}-\cfrac{2}{\sqrt{5}}$
答え $\cfrac{8\sqrt{5}}{5}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{10}\times\sqrt{2}-\cfrac{2}{\sqrt{5}}\\ &=&\sqrt{20}-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\\ &=&2\sqrt{5}-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\\ &=&\cfrac{10\sqrt{5}}{5}-\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\\ &=&\cfrac{8\sqrt{5}}{5} \end{eqnarray*}⑫ $3\sqrt{6}\div12\sqrt{80}\div\sqrt{\cfrac{3}{20}}$
答え $\cfrac{\sqrt{2}}{8}$
\begin{eqnarray*} &&3\sqrt{6}\div12\sqrt{80}\div\sqrt{\cfrac{3}{20}}\\ &=&3\sqrt{6}\div12\sqrt{80}\div\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{20}}\\ &=&\cfrac{3\sqrt{6}}{1}\times\cfrac{1}{12\sqrt{80}}\times\cfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{3}}\\ &=&\cfrac{1}{4\sqrt{2}}\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}}{8} \end{eqnarray*}⑬ $(3-2\sqrt{2})^2$
答え $17-12\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&(3-2\sqrt{2})^2\\ &=&9-12\sqrt{2}+8\\ &=&17-12\sqrt{2} \end{eqnarray*}① $42p^2q-66pq^2+6pq$
答え $6pq(7p-11q+1)$
② $x^2-20x+84$
答え $(x-14)(x-6)$
③ $25x^2-10xy+y^2$
答え $(5x-y)^2$
④ $\cfrac{1}{4}x^2-\cfrac{9}{121}y^2$
答え $\left(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{3}{11}y\right)\left(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{3}{11}y\right)$
⑤ $6x^2-18x-60$
答え $6(x+2)(x-5)$
\begin{eqnarray*} &&6x^2-18x-60\\ &=&6(x^2-3x-10)\\ &=&6(x+2)(x-5) \end{eqnarray*}① $-\cfrac{2}{3}x+1=\cfrac{4}{3}x+\cfrac{6}{5}$
答え $x=-\cfrac{1}{10}$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{2}{3}x+1&=&\cfrac{4}{3}x+\cfrac{6}{5}\quad(\times15) \\ -10x+15&=&20x+18 \\ -10x-20x&=&18-15\\ -30x&=&3 \\ x&=&-\cfrac{3}{30}=-\cfrac{1}{10} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 6x-6y=1\\ 4x+2y=-\cfrac{7}{3} \end{array}\right.$
答え $x=-\cfrac{1}{3},y=-\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 6x-6y=1\qquad…①\\ 4x+2y=-\cfrac{7}{3}\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう$ \begin{eqnarray*} 4x+2y&=&-\cfrac{7}{3}\quad(両辺に\times3)\\ 12x+6y&=&-7\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times2-③$ \begin{eqnarray*} 12x-12y=\phantom{-}2\\ \underline{-) \quad 12x+\phantom{1}6y=-7} \\ -18y=\phantom{-}9 \\ y=-\cfrac{9}{18}=-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-\cfrac{1}{2}を①に代入\\ 6x-6\times\left(-\cfrac{1}{2}\right)&=&1\\ 6x+3&=&1\\ 6x&=&1-3\\ 6x&=&-2\\ x&=&-\cfrac{2}{6}=-\cfrac{1}{3} \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-\cfrac{1}{3}\\ y=-\cfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x+12=x^2$
答え $x=4 ,\ x=-3$
\begin{eqnarray*} x+12&=&x^2\\ -x^2+x+12&=&0 \\ x^2-x-12&=&0 \\ (x-4)(x+3)&=&0\\ x&=&4,\ x=-3 \end{eqnarray*}④ $15x^2-40=0$
答え $x=\pm\cfrac{2\sqrt{6}}{3}$
\begin{eqnarray*} 15x^2-40&=&0 \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{5}\right)\\ 3x^2-8&=&0 \\ 3x^2&=&8\\ x^2&=&\cfrac{8}{3}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{8}{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{24}}{3}=\pm\cfrac{2\sqrt{6}}{3} \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{2}{3}x^2=5x$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{15}{2}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3}x^2&=&5x\quad(両辺に\times3)\\ 2x^2&=&15x\\ 2x^2-15x&=&0\\ x(2x-15)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=\cfrac{15}{2} \end{eqnarray*}⑥ $24x^2-24x+6=0$
答え $x=\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} 24x^2-24x+6&=&0\quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{6}\right)\\ 4x^2-4x+1&=&0\\ (2x-1)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}⑦ $4(x+2)^2-16=0$
答え $x=0 ,\ x=-4$
\begin{eqnarray*} 4(x+2)^2-16&=&0\\ 4(x+2)^2&=&16\\ (x+2)^2&=&4\\ x+2&=&\pm\sqrt{4}=\pm2\\ x&=&-2\pm2\\ x&=&0 ,\ x=-4 \end{eqnarray*}⑧ $-x^2+2x+2=0$
答え $x=1\pm\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} -x^2&+&2x+2=0\quad(両辺に\times-1)\\ x^2&-&2x-2=0\\ x&=&\cfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times1\times(-2)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm2\sqrt{3}}{2}\\ &=&1\pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$-6y=\cfrac{3}{4}(x+1)\quad[x]$
答え $x=-8y-1$
\begin{eqnarray*} -6y&=&\cfrac{3}{4}(x+1)\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ \cfrac{3}{4}(x+1)&=&-6y\quad(両辺に\times4)\\ 3(x+1)&=&-24y\\ x+1&=&-8y\\ x&=&-8y-1 \end{eqnarray*}$x=4+3\sqrt{2}, \ y=4-3\sqrt{2}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$2x^2-4xy+2y^2$
答え $144$
\begin{eqnarray*} &&2x^2-4xy+2y^2\\ &=&2(x^2-2xy+y^2)\\ &=&2(x-y)^2\\ &=&2\{(4+3\sqrt{2})-(4-3\sqrt{2})\}^2\\ &=&2(4+3\sqrt{2}-4+3\sqrt{2})^2\\ &=&2(6\sqrt{2})^2\\ &=&2\times72\\ &=&144 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&2x^2-4xy+2y^2\\ &=&2(4+3\sqrt{2})^2-4(4+3\sqrt{2})(4-3\sqrt{2})+2(4-3\sqrt{2})^2\\ &=&2(16+24\sqrt{2}+18)-4(16-18)+2(16-24\sqrt{2}+18)\\ &=&2(34+24\sqrt{2})-4\times(-2)+2(34-24\sqrt{2})\\ &=&68+48\sqrt{2}+8+68-48\sqrt{2}\\ &=&144 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-9$ のとき、$y=3$ である。$x=\cfrac{12}{7}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{4}{7}$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{3}{-9}=-\cfrac{1}{3}\\ y=-\cfrac{1}{3}xに\ x=\cfrac{12}{7}\ を代入する\\ y=-\cfrac{1}{3}\times\cfrac{12}{7}=-\cfrac{4}{7}$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-\cfrac{5}{12}$ のとき、$y=24$ である。$x=15$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{2}{3}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-\cfrac{5}{12}\times24=-10\\ y=-\cfrac{10}{x}\ に\ x=15\ を代入する\\ y=-\cfrac{10}{15}=-\cfrac{2}{3}$$⑤ $2$ 点 $(-6, \ 3), \ (9, \ -7)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{2}{3}x-1$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-7-3}{9-(-6)}=\cfrac{-10}{15}=-\cfrac{2}{3}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{2}{3}x+b$ に $x=-6,\ y=3$ を代入 \begin{eqnarray*} 3&=&-\cfrac{2}{3}\times(-6)+b\\ 3&=&4+b\\ 3-4&=&b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=2$ のとき、$y=-3$ である。$x=6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-27$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{-3}{2^2}=-\cfrac{3}{4}\\ y=-\cfrac{3}{4}x^2に\ x=6\ を代入する\\ y=-\cfrac{3}{4}\times6^2=-\cfrac{3}{4}\times36=-27$$⑦ 下の放物線が点 $P$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{3}{2}x^2$
放物線の式の形は $y=ax^2$点 $P(-2, \ -6)$ だから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y}{x^2}\\ &=&\cfrac{-6}{(-2)^2}=-\cfrac{6}{4}=-\cfrac{3}{2}\\ \end{eqnarray*}
⑧ $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 2\ }}$$\boxed{\large{\ 4\ }}$$\boxed{\large{\ 8\ }}$ と数字のかかれたカードが全部で $4$ 枚ある。この中から $2$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$2$ けたの整数をつくるとき、 $6$ の倍数となる確率を求めなさい。
赤でチェックしたところが $6$ の倍数。⑨ $2$ 個のサイコロを投げるとき、出る目の和が $5$ 以下になる確率を求めなさい。
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①5②-4③-\cfrac{28}{3}④x+2\\ ⑤-39p+52q\\ ⑥\cfrac{-x-3y}{12}\quad\left(-\cfrac{x+3y}{12},-\cfrac{1}{12}x-\cfrac{1}{4}yも可\right)\\ ⑦x^2-x-72 ⑧\cfrac{9}{25}a^2-\cfrac{9}{10}ab+\cfrac{9}{16}b^2⑨\cfrac{81}{625}a^4-\cfrac{81}{100}a^2b^2\\ ⑩35x^2+20x-15 ⑪\cfrac{8\sqrt{5}}{5}⑫\cfrac{\sqrt{2}}{8}⑬17-12\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①6pq(7p-11q+1)②(x-14)(x-6)\\ ③(5x-y)^2④\left(\cfrac{1}{2}x+\cfrac{3}{11}y\right)\left(\cfrac{1}{2}x-\cfrac{3}{11}y\right)\\ ⑤6(x+2)(x-5)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{1}{10}②x=-\cfrac{1}{3},y=-\cfrac{1}{2}\\ ③x=4,x=-3④x=\pm\cfrac{2\sqrt{6}}{3}⑤x=0,x=\cfrac{15}{2}⑥x=\cfrac{1}{2}\\ ⑦x=0,x=-4⑧x=1\pm\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=-8y-1 ②144③y=-\cfrac{4}{7}④y=-\cfrac{2}{3}\\ ⑤y=-\cfrac{2}{3}x-1⑥y=-27⑦y=-\cfrac{3}{2}x^2⑧\cfrac{4}{9}⑨\cfrac{5}{18} $