中3数学 2学期の計算 第7回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-6-15\div3$
答え $-11$
\begin{eqnarray*} &&-6-15\div3\\ &=&-6-5\\ &=&-11 \end{eqnarray*}② $(-12)\div(-2)^2-3^2\times2$
答え $-21$
\begin{eqnarray*} &&(-12)\div(-2)^2-3^2\times2\\ &=&(-12)\div4-9\times2\\ &=&-3-18\\ &=&-21 \end{eqnarray*}③ $6+\cfrac{4}{7}\div\left(-\cfrac{3}{14}\right)$
答え $\cfrac{10}{3}$
\begin{eqnarray*} &&6+\cfrac{4}{7}\div\left(-\cfrac{3}{14}\right)\\ &=&6+\cfrac{4}{7}\times\left(-\cfrac{14}{3}\right)\\ &=&6-\cfrac{8}{3}\\ &=&\cfrac{18}{3}-\cfrac{8}{3}\\ &=&\cfrac{10}{3} \end{eqnarray*}④ $-(4x+7)-\cfrac{3}{4}(12x-8)$
答え $-13x-1$
\begin{eqnarray*} &&-(4x+7)-\cfrac{3}{4}(12x-8)\\ &=&-4x-7-9x+6\\ &=&-13x-1 \end{eqnarray*}⑤ $(24x^2y-18xy^2)\div\left(-\cfrac{6}{5}xy\right)$
答え $-20x+15y$
\begin{eqnarray*} &&(24x^2y-18xy^2)\div\left(-\cfrac{6}{5}xy\right)\\ &=&(24x^2y-18xy^2)\times\left(-\cfrac{5}{6xy}\right)\\ &=&24x^2y\times\left(-\cfrac{5}{6xy}\right)-18xy^2\times\left(-\cfrac{5}{6xy}\right)\\ &=&-20x+15y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{x+2y}{2}-\cfrac{5x+3y}{6}$
答え $\cfrac{-2x+3y}{6}\\\quad\left(-\cfrac{2x-3y}{6},-\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{2}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x+2y}{2}-\cfrac{5x+3y}{6}\\ &=&\cfrac{3(x+2y)-(5x+3y)}{6}\\ &=&\cfrac{3x+6y-5x-3y}{6}\\ &=&\cfrac{-2x+3y}{6} \end{eqnarray*}⑦ $(x-3)(x+6)$
答え $x^2+3x-18$
⑧ $\left(\cfrac{3}{7}a-\cfrac{5}{6}b\right)^2$
答え $\cfrac{9}{49}a^2-\cfrac{5}{7}ab+\cfrac{25}{36}b^2$
⑨ $(abc+xyz)(abc-xyz)$
答え $a^2b^2c^2-x^2y^2z^2$
⑩ $-(2x+3)(2x-3)-(3x-1)^2$
答え $-13x^2+6x+8$
\begin{eqnarray*} &&-(2x+3)(2x-3)-(3x-1)^2\\ &=&-(4x^2-9)-(9x^2-6x+1)\\ &=&-4x^2+9-9x^2+6x-1\\ &=&-13x^2+6x+8 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{3}\times2\sqrt{6}-\cfrac{4}{\sqrt{2}}$
答え $4\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{3}\times2\sqrt{6}-\cfrac{4}{\sqrt{2}}\\ &=&2\sqrt{18}-\cfrac{4\sqrt{2}}{2}\\ &=&6\sqrt{2}-2\sqrt{2}\\ &=&4\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑫ $15\sqrt{26}\div3\sqrt{50}\div\left(-\sqrt{\cfrac{13}{5}}\right)$
答え $-\sqrt{5}$
\begin{eqnarray*} &&15\sqrt{26}\div3\sqrt{50}\div\left(-\sqrt{\cfrac{13}{5}}\right)\\ &=&15\sqrt{26}\div3\sqrt{50}\div\left(-\cfrac{\sqrt{13}}{\sqrt{5}}\right)\\ &=&\cfrac{15\sqrt{26}}{1}\times\cfrac{1}{3\sqrt{50}}\times\left(-\cfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}\right)\\ &=&-\cfrac{5}{\sqrt{5}}\\ &=&-\cfrac{5\sqrt{5}}{5}\\ &=&-\sqrt{5} \end{eqnarray*}⑬ $(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^2$
答え $30-12\sqrt{6}$
\begin{eqnarray*} &&(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^2\\ &=&12-12\sqrt{6}+18\\ &=&30-12\sqrt{6} \end{eqnarray*}① $5x^2y-15xy^2$
答え $5xy(x-3y)$
② $x^2-17x+52$
答え $(x-13)(x-4)$
③ $36x^2-\cfrac{12}{5}xy+\cfrac{1}{25}y^2$
答え $\left(6x-\cfrac{1}{5}y\right)^2$
④ $0.01x^2-0.09y^2$
答え $\left(0.1x+0.3y\right)\left(0.1x-0.3y\right)$
⑤ $ax-ay-bx+by$
答え $(x-y)(a-b)$
\begin{eqnarray*} &&ax-ay-bx+by\\ &=&a(x-y)-b(x-y)\\ &&x-y=Aとする\\ &=&aA-bA\\ &=&A(a-b)\\ &=&(x-y)(a-b) \end{eqnarray*}① $\cfrac{-10x+12}{3}=\cfrac{2}{3}x+6$
答え $x=-\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{-10x+12}{3}&=&\cfrac{2}{3}x+6\quad(\times3) \\ -10x+12&=&2x+18 \\ -10x-2x&=&18-12\\ -12x&=&6 \\ x&=&-\cfrac{6}{12}=-\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 5x+3y=5\\ \cfrac{3}{4}x+2y=-7 \end{array}\right.$
答え $x=4,y=-5$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 5x+3y=5\qquad…①\\ \cfrac{3}{4}x+2y=-7\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②の分母をはらう$ \begin{eqnarray*} \cfrac{3}{4}x+2y&=&-7\quad(両辺に\times4)\\ 3x+8y&=&-28\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times3-③\times5$ \begin{eqnarray*} 15x+\phantom{1}9y=\phantom{-1}15\\ \underline{-) \quad 15x+40y=-140} \\ -31y=\phantom{-}155 \\ y=-5\phantom{11} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=-5を①に代入\\ 5x+3\times(-5)&=&5\\ 5x-15&=&5\\ 5x&=&5+15\\ 5x&=&20\\ x&=&4 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=4\\ y=-5 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $2x^2+8x-15=x^2+14x+25$
答え $x=10 ,\ x=-4$
\begin{eqnarray*} 2x^2+8x-15&=&x^2+14x+25\\ 2x^2+8x-15&-&x^2-14x-25=0 \\ x^2-6x-40&=&0 \\ (x-10)(x+4)&=&0\\ x&=&10,\ x=-4 \end{eqnarray*}④ $8x^2-12=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{2}$
\begin{eqnarray*} 8x^2-12&=&0 \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{4}\right)\\ 2x^2-3&=&0 \\ 2x^2&=&3\\ x^2&=&\cfrac{3}{2}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{3}{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{2} \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{5}{4}x^2=-2x$
答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{8}{5}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{5}{4}x^2&=&-2x\quad(両辺に\times4)\\ 5x^2&=&-8x\\ 5x^2+8x&=&0\\ x(5x+8)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=-\cfrac{8}{5} \end{eqnarray*}⑥ $288x^2-624x+338=0$
答え $x=\cfrac{13}{12}$
\begin{eqnarray*} 288x^2-624x+338&=&0\quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{2}\right)\\ 144x^2-312x+169&=&0\\ (12x-13)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{13}{12} \end{eqnarray*}⑦ $5(x+3)^2-40=0$
答え $x=-3\pm2\sqrt{2}$
\begin{eqnarray*} 5(x+3)^2-40&=&0\\ 5(x+3)^2&=&40\\ (x+3)^2&=&8\\ x+3&=&\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}\\ x&=&-3\pm2\sqrt{2} \end{eqnarray*}⑧ $-x^2+6x+2=0$
答え $x=3\pm\sqrt{11}$
\begin{eqnarray*} -x^2&+&6x+2=0\quad(両辺に\times-1)\\ x^2&-&6x-2=0\\ x&=&\cfrac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^2-4\times1\times(-2)}}{2\times1}\\ &=&\cfrac{6\pm\sqrt{36+8}}{2}\\ &=&\cfrac{6\pm\sqrt{44}}{2}\\ &=&\cfrac{6\pm2\sqrt{11}}{2}\\ &=&3\pm\sqrt{11} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$-3y=\cfrac{5}{6}(x+2)\quad[x]$
答え $x=-\cfrac{18}{5}y-2$
\begin{eqnarray*} -3y&=&\cfrac{5}{6}(x+2)\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ \cfrac{5}{6}(x+2)&=&-3y\quad(両辺に\times6)\\ 5(x+2)&=&-18y\\ x+2&=&-\cfrac{18}{5}y\\ x&=&-\cfrac{18}{5}y-2 \end{eqnarray*}$x=3+2\sqrt{3}, \ y=3-2\sqrt{3}$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$5x^2-10xy+5y^2$
答え $240$
\begin{eqnarray*} &&5x^2-10xy+5y^2\\ &=&5(x^2-2xy+y^2)\\ &=&5(x-y)^2\\ &=&5\{(3+2\sqrt{3})-(3-2\sqrt{3})\}^2\\ &=&5(3+2\sqrt{3}-3+2\sqrt{3})^2\\ &=&5(4\sqrt{3})^2\\ &=&5\times48\\ &=&240 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&5x^2-10xy+5y^2\\ &=&5(3+2\sqrt{3})^2-10(3+2\sqrt{3})(3-2\sqrt{3})+5(3-2\sqrt{3})^2\\ &=&5(9+12\sqrt{3}+12)-10(9-12)+5(9-12\sqrt{3}+12)\\ &=&5(21+12\sqrt{3})-10\times(-3)+5(21-12\sqrt{3})\\ &=&105+60\sqrt{3}+30+105-60\sqrt{3}\\ &=&240 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-15$ のとき、$y=6$ である。$x=\cfrac{3}{4}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{3}{10}$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{6}{-15}=-\cfrac{2}{5}\\ y=-\cfrac{2}{5}xに\ x=\cfrac{3}{4}\ を代入する\\ y=-\cfrac{2}{5}\times\cfrac{3}{4}=-\cfrac{3}{10}$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-9$ のとき、$y=8$ である。$x=12$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-6$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-9\times8=-72\\ y=-\cfrac{72}{x}\ に\ x=12\ を代入する\\ y=-\cfrac{72}{12}=-6$$⑤ $2$ 点 $(-8, \ 8), \ (4, \ -1)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{3}{4}x+2$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-1-8}{4-(-8)}=\cfrac{-9}{12}=-\cfrac{3}{4}\\ \end{eqnarray*} $y=-\cfrac{3}{4}x+b$ に $x=4,\ y=-1$ を代入 \begin{eqnarray*} -1&=&-\cfrac{3}{4}\times4+b\\ -1&=&-3+b\\ -1+3&=&b\\ 2&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-4$ のとき、$y=-8$ である。$x=\cfrac{1}{3}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{1}{18}$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{-8}{(-4)^2}=\cfrac{-8}{16}=-\cfrac{1}{2}\\ y=-\cfrac{1}{2}x^2に\ x=\cfrac{1}{3}\ を代入する\\ y=-\cfrac{1}{2}\times\left(-\cfrac{1}{3}\right)^2=-\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{9}=-\cfrac{1}{18}$$⑦ 下の放物線が点 $P$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{2}{5}x^2$
放物線の式の形は $y=ax^2$点 $P(-5, \ -10)$ だから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y}{x^2}\\ &=&\cfrac{10}{(-5)^2}=\cfrac{10}{25}=\cfrac{2}{5}\\ \end{eqnarray*}
⑧ 袋の中に赤玉が $2$ 個と白玉が $3$ 個はいっている。袋の中から玉を $2$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めなさい。
答え $\cfrac{2}{5}$
①，②，③，④，⑤と、$5$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②が赤玉、③と④と⑤が白玉ということにします。①②③④⑤という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を同時に取り出す」ときは、同じ玉を取り出せないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{8}{20}=\cfrac{2}{5}$$
⑨ $\boxed{\large{\ 0\ }}$$\boxed{\large{\ 3\ }}$$\boxed{\large{\ 6\ }}$$\boxed{\large{\ 9\ }}$ と数字のかかれたカードが全部で $4$ 枚ある。この中から $2$ 枚のカードを抜き取ってならべ、$2$ けたの整数をつくるとき、 $6$ の倍数となる確率を求めなさい。
赤でチェックしたところが $6$ の倍数。答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-11②-21③\cfrac{10}{3}④-13x-1\\ ⑤-20x+15y\\ ⑥\cfrac{-2x+3y}{6}\quad\left(-\cfrac{2x-3y}{6},-\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{2}yも可\right)\\ ⑦x^2+3x-18 ⑧\cfrac{9}{49}a^2-\cfrac{5}{7}ab+\cfrac{25}{36}b^2⑨a^2b^2c^2-x^2y^2z^2\\ ⑩-13x^2+6x+8 ⑪4\sqrt{2}⑫-\sqrt{5}⑬30-12\sqrt{6}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①5xy(x-3y)②(x-13)(x-4)\\ ③\left(6x-\cfrac{1}{5}y\right)^2④(0.1x+0.3y)(0.1x-0.3y)\\ ⑤(x-y)(a-b)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{1}{2}②x=4,y=-5\\ ③x=10,x=-4④x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{2}⑤x=0,x=-\cfrac{8}{5}⑥x=\cfrac{13}{12}\\ ⑦x=-3\pm2\sqrt{2}⑧x=3\pm\sqrt{11}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=-\cfrac{18}{5}y-2 ②240③y=-\cfrac{3}{10}④y=-6\\ ⑤y=-\cfrac{3}{4}x+2⑥y=-\cfrac{1}{18}⑦y=\cfrac{2}{5}x^2⑧\cfrac{2}{5}⑨\cfrac{5}{9} $