中3数学 2学期の計算 第8回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-7+18\div2$
答え $2$
\begin{eqnarray*} &&-7+18\div2\\ &=&-7+9\\ &=&2 \end{eqnarray*}② $-2^2\times3-(-6)^2\div9$
答え $-16$
\begin{eqnarray*} &&-2^2\times3-(-6)^2\div9\\ &=&-4\times3-36\div9\\ &=&-12-4\\ &=&-16 \end{eqnarray*}③ $3+\cfrac{15}{8}\div\left(-\cfrac{5}{12}\right)$
答え $-\cfrac{3}{2}$
\begin{eqnarray*} &&3+\cfrac{15}{8}\div\left(-\cfrac{5}{12}\right)\\ &=&3+\cfrac{15}{8}\times\left(-\cfrac{12}{5}\right)\\ &=&3-\cfrac{9}{2}\\ &=&\cfrac{6}{2}-\cfrac{9}{2}\\ &=&-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}④ $6(3x-2)-\cfrac{2}{3}(15x-21)$
答え $8x+2$
\begin{eqnarray*} &&6(3x-2)-\cfrac{2}{3}(15x-21)\\ &=&18x-12-10x+14\\ &=&8x+2 \end{eqnarray*}⑤ $(49x^2y-7xy^2)\div\left(-\cfrac{7}{3}xy\right)$
答え $-21x+3y$
\begin{eqnarray*} &&(49x^2y-7xy^2)\div\left(-\cfrac{7}{3}xy\right)\\ &=&(49x^2y-7xy^2)\times\left(-\cfrac{3}{7xy}\right)\\ &=&49x^2y\times\left(-\cfrac{3}{7xy}\right)-7xy^2\times\left(-\cfrac{3}{7xy}\right)\\ &=&-21x+3y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{4x+5y}{6}-\cfrac{4x+3y}{3}$
答え $\cfrac{-4x-y}{6}\\\quad\left(-\cfrac{4x+y}{6},-\cfrac{2}{3}x-\cfrac{1}{6}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{4x+5y}{6}-\cfrac{4x+3y}{3}\\ &=&\cfrac{(4x+5y)-2(4x+3y)}{6}\\ &=&\cfrac{4x+5y-8x-6y}{6}\\ &=&\cfrac{-4x-y}{6} \end{eqnarray*}⑦ $(x-8)(x-7)$
答え $x^2-15x+56$
⑧ $\left(3a-\cfrac{1}{2}b\right)^2$
答え $9a^2-3ab+\cfrac{1}{4}b^2$
⑨ $(a+1)(a-1)$
答え $a^2-1$
⑩ $2(3x-1)(2x-1)-(4x-3)^2$
答え $-4x^2+14x-7$
\begin{eqnarray*} &&2(3x-1)(2x-1)-(4x-3)^2\\ &=&2(6x^2-3x-2x+1)-(16x^2-24x+9)\\ &=&2(6x^2-5x+1)-(16x^2-24x+9)\\ &=&12x^2-10x+2-16x^2+24x-9\\ &=&-4x^2+14x-7 \end{eqnarray*}⑪ $2\sqrt{6}\times2\sqrt{8}-\cfrac{8\sqrt{5}}{\sqrt{15}}$
答え $\cfrac{40\sqrt{3}}{3}$
\begin{eqnarray*} &&2\sqrt{6}\times2\sqrt{8}-\cfrac{8\sqrt{5}}{\sqrt{15}}\\ &=&4\sqrt{48}-\cfrac{8}{\sqrt{3}}\\ &=&16\sqrt{3}-\cfrac{8\sqrt{3}}{3}\\ &=&\cfrac{48\sqrt{3}}{3}-\cfrac{8\sqrt{3}}{3}\\ &=&\cfrac{40\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}⑫ $6\sqrt{12}\div2\sqrt{21}\div\left(-\sqrt{\cfrac{6}{7}}\right)$
答え $-\sqrt{6}$
\begin{eqnarray*} &&6\sqrt{12}\div2\sqrt{21}\div\left(-\sqrt{\cfrac{6}{7}}\right)\\ &=&6\sqrt{12}\div2\sqrt{21}\div\left(-\cfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\right)\\ &=&\cfrac{6\sqrt{12}}{1}\times\cfrac{1}{2\sqrt{21}}\times\left(-\cfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}\right)\\ &=&-\cfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\ &=&-\cfrac{3\sqrt{6}}{3}\\ &=&-\sqrt{6} \end{eqnarray*}⑬ $(3\sqrt{3}+1)^2$
答え $28+6\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} &&(3\sqrt{3}+1)^2\\ &=&27+6\sqrt{3}+1\\ &=&28+6\sqrt{3} \end{eqnarray*}① $56a^3b^2-84a^2b^3$
答え $28a^2b^2(2a-3b)$
② $x^2-17x-60$
答え $(x-20)(x+3)$
③ $\cfrac{1}{4}x^2-xy+y^2$
答え $\left(\cfrac{1}{2}x-y\right)^2$
④ $1.69x^2-1.21y^2$
答え $\left(1.3x+1.1y\right)\left(1.3x-1.1y\right)$
⑤ $(x-3)^2+2(x-3)+1$
答え $(x-2)^2$
\begin{eqnarray*} &&(x-3)^2+2(x-3)+1\\ &&x-3=Aとする\\ &=&A^2+2A+1\\ &=&(A+1)^2\\ &=&(x-3+1)^2\\ &=&(x-2)^2 \end{eqnarray*}① $\cfrac{-6x+13}{5}=2x+3$
答え $x=-\cfrac{1}{8}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{-6x+13}{5}&=&2x+3\quad(\times5) \\ -6x+13&=&10x+15 \\ -6x-10x&=&15-13\\ -16x&=&2 \\ x&=&-\cfrac{2}{16}=-\cfrac{1}{8} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 3x+2y=-11\\ 4x+4y=y-7 \end{array}\right.$
答え $x=-19,y=23$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=-11\qquad…①\\ 4x+4y=y-7\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②を整理$ \begin{eqnarray*} 4x+4y&=&y-7\\ 4x+4y-y&=&-7\\ 4x+3y&=&-7\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times3-③\times2$ \begin{eqnarray*} 9x+6y=-33\\ \underline{-) \quad 8x+6y=-14} \\ x\phantom{+16y}=-19 \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} x=-19を①に代入\\ 3\times(-19)+2y&=&-11\\ -57+2y&=&-11\\ 2y&=&-11+57\\ 2y&=&46\\ y&=&23 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-19\\ y=23 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $3x^2+8x-20=2x^2+9x+10$
答え $x=6 ,\ x=-5$
\begin{eqnarray*} 3x^2+8x-20&=&2x^2+9x+10\\ 3x^2+8x-20&-&2x^2-9x-10=0 \\ x^2-x-30&=&0 \\ (x-6)(x+5)&=&0\\ x&=&6,\ x=-5 \end{eqnarray*}④ $40x^2-5=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{4}$
\begin{eqnarray*} 40x^2-5&=&0 \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{5}\right)\\ 8x^2-1&=&0 \\ 8x^2&=&1\\ x^2&=&\cfrac{1}{8}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{1}{8}}=\pm\cfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}=\pm\cfrac{1}{2\sqrt{2}}=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{4} \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{2}{3}x^2=-x$
答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{3}{2}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{2}{3}x^2&=&-x\quad(両辺に\times3)\\ 2x^2&=&-3x\\ 2x^2+3x&=&0\\ x(2x+3)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=-\cfrac{3}{2} \end{eqnarray*}⑥ $400x^2-400x+100=0$
答え $x=\cfrac{1}{2}$
\begin{eqnarray*} 400x^2-400x+100&=&0\quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{100}\right)\\ 4x^2-4x+1&=&0\\ (2x-1)^2&=&0\\ x&=&\cfrac{1}{2} \end{eqnarray*}⑦ $6(x+1)^2-72=0$
答え $x=-1\pm2\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} 6(x+1)^2-72&=&0\\ 6(x+1)^2&=&72\\ (x+1)^2&=&12\\ x+1&=&\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}\\ x&=&-1\pm2\sqrt{3} \end{eqnarray*}⑧ $-12x^2-x+6=0$
答え $x=\cfrac{2}{3} ,\ x=-\cfrac{3}{4}$
\begin{eqnarray*} -12x^2&-&x+6=0\quad(両辺に\times-1)\\ 12x^2&+&x-6=0\\ x&=&\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times12\times(-6)}}{2\times12}\\ &=&\cfrac{-1\pm\sqrt{1+288}}{24}\\ &=&\cfrac{-1\pm\sqrt{289}}{24}\\ &=&\cfrac{-1\pm17}{24}\\ x&=&\cfrac{16}{24} ,\ x=-\cfrac{18}{24}\\ x&=&\cfrac{2}{3} ,\ x=-\cfrac{3}{4} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$-y=\cfrac{2}{3}(x+5)\quad[x]$
答え $x=-\cfrac{3}{2}y-5$
\begin{eqnarray*} -y&=&\cfrac{2}{3}(x+5)\quad(左辺と右辺をとりかえる)\\ \cfrac{2}{3}(x+5)&=&-y\quad(両辺に\times3)\\ 2(x+5)&=&-3y\\ x+5&=&-\cfrac{3}{2}y\\ x&=&-\cfrac{3}{2}y-5 \end{eqnarray*}$x=2\sqrt{2}+2$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-4x-45$
答え $-41$
\begin{eqnarray*} &&x^2-4x-45\\ &=&(x+5)(x-9)\\ &=&(2\sqrt{2}+2+5)(2\sqrt{2}+2-9)\\ &=&(2\sqrt{2}+7)(2\sqrt{2}-7)\\ &=&8-49\\ &=&-41 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&x^2-4x-45\\ &=&(2\sqrt{2}+2)^2-4(2\sqrt{2}+2)-45\\ &=&8+8\sqrt{2}+4-8\sqrt{2}-8-45\\ &=&-41 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-27$ のとき、$y=18$ である。$x=\cfrac{6}{7}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{4}{7}$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{18}{-27}=-\cfrac{2}{3}\\ y=-\cfrac{2}{3}xに\ x=\cfrac{6}{7}\ を代入する\\ y=-\cfrac{2}{3}\times\cfrac{6}{7}=-\cfrac{4}{7}$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-6$ のとき、$y=15$ である。$x=10$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-9$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-6\times15=-90\\ y=-\cfrac{90}{x}\ に\ x=10\ を代入する\\ y=-\cfrac{90}{10}=-9$$⑤ $2$ 点 $(-3, \ -3), \ (12, \ 7)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{2}{3}x-1$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{7-(-3)}{12-(-3)}=\cfrac{10}{15}=\cfrac{2}{3}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{2}{3}x+b$ に $x=-3,\ y=-3$ を代入 \begin{eqnarray*} -3&=&\cfrac{2}{3}\times(-3)+b\\ -3&=&-2+b\\ -3+2&=&b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-5$ のとき、$y=-15$ である。$x=6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{108}{5}$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{-15}{(-5)^2}=\cfrac{-15}{25}=-\cfrac{3}{5}\\ y=-\cfrac{3}{5}x^2に\ x=6\ を代入する\\ y=-\cfrac{3}{5}\times6^2=-\cfrac{3}{5}\times36=-\cfrac{108}{5}$$⑦ 下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
答え 放物線…$y=x^2$
点 $Q$ の座標…$(3, \ 9)$
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P(-2, \ 4)$ だから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y}{x^2}\\ &=&\cfrac{4}{(-2)^2}=\cfrac{4}{4}=1\\ \end{eqnarray*} ＜点 $Q$ の座標＞
$x$ 座標は $3$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=x^2$ に $x=3$ を代入
$ y=3^2=9 $
⑧ 袋の中に赤玉が $3$ 個と白玉が $2$ 個はいっている。袋の中から玉を $2$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めなさい。
答え $\cfrac{2}{5}$
①，②，③，④，⑤と、$5$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②と③が赤玉、④と⑤が白玉ということにします。①②③④⑤という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を同時に取り出す」ときは、同じ玉を取り出せないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{8}{20}=\cfrac{2}{5}$$
⑨ 袋の中に赤玉が $2$ 個と白玉が $3$ 個はいっている。袋の中から玉を $1$ 個取り出してからそれを袋にもどし、また $1$ 個取り出す。このとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めなさい。
答え $\cfrac{13}{25}$
①，②，③，④，⑤と、$5$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②が赤玉、③と④と⑤が白玉ということにします。①②③④⑤という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を $1$ 個取り出してからそれを袋にもどし、また $1$ 個取り出す」ときは、同じ玉を取り出せるので、表にナナメ線は入れません。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{13}{25}$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①2②-16③-\cfrac{3}{2}④8x+2\\ ⑤-21x+3y\\ ⑥\cfrac{-4x-y}{6}\quad\left(-\cfrac{4x+y}{6},-\cfrac{2}{3}x-\cfrac{1}{6}yも可\right)\\ ⑦x^2-15x+56 ⑧9a^2-3ab+\cfrac{1}{4}b^2⑨a^2-1\\ ⑩-4x^2+14x-7 ⑪\cfrac{40\sqrt{3}}{3}⑫-\sqrt{6}⑬28+6\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①28a^2b^2(2a-3b)②(x-20)(x+3)\\ ③\left(\cfrac{1}{2}x-y\right)^2④(1.3x+1.1y)(1.3x-1.1y)\\ ⑤(x-2)^2\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{1}{8}②x=-19,y=23\\ ③x=6,x=-5④x=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{4}⑤x=0,x=-\cfrac{3}{2}\\ ⑥x=\cfrac{1}{2}⑦x=-1\pm2\sqrt{3}⑧x=\cfrac{2}{3},x=-\cfrac{3}{4}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=-\cfrac{3}{2}y-5 ②-41③y=-\cfrac{4}{7}④y=-9\\ ⑤y=\cfrac{2}{3}x-1⑥y=-\cfrac{108}{5}\\ ⑦放物線…y=x^2，Ｑの座標(3,9) ⑧\cfrac{2}{5}⑨\cfrac{13}{25} $