中3数学 2学期の計算 第9回 全35問
ページがちゃんと表示されるまで$10$秒くらいかかります。印刷するときは、ちょっと待ってからにしてください。
$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $-10-8\div2$
答え $-14$
\begin{eqnarray*} &&-10-8\div2\\ &=&-10-4\\ &=&-14 \end{eqnarray*}② $-3^2\times4-(-2)^2\times3$
答え $-48$
\begin{eqnarray*} &&-3^2\times4-(-2)^2\times3\\ &=&-9\times4-4\times3\\ &=&-36-12\\ &=&-48 \end{eqnarray*}③ $\cfrac{1}{2}+\cfrac{16}{15}\div\left(-\cfrac{24}{25}\right)$
答え $-\cfrac{11}{18}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{1}{2}+\cfrac{16}{15}\div\left(-\cfrac{24}{25}\right)\\ &=&\cfrac{1}{2}+\cfrac{16}{15}\times\left(-\cfrac{25}{24}\right)\\ &=&\cfrac{1}{2}-\cfrac{10}{9}\\ &=&\cfrac{9}{18}-\cfrac{20}{18}\\ &=&-\cfrac{11}{18} \end{eqnarray*}④ $\cfrac{1}{4}(48x-32)-\cfrac{4}{3}(6x-12)$
答え $4x+8$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{1}{4}(48x-32)-\cfrac{4}{3}(6x-12)\\ &=&12x-8-8x+16\\ &=&4x+8 \end{eqnarray*}⑤ $(60x^2y-45xy^2)\div\left(-\cfrac{15}{2}xy\right)$
答え $-8x+6y$
\begin{eqnarray*} &&(60x^2y-45xy^2)\div\left(-\cfrac{15}{2}xy\right)\\ &=&(60x^2y-45xy^2)\times\left(-\cfrac{2}{15xy}\right)\\ &=&60x^2y\times\left(-\cfrac{2}{15xy}\right)-45xy^2\times\left(-\cfrac{2}{15xy}\right)\\ &=&-8x+6y \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{2x+4y}{5}-\cfrac{x+4y}{2}$
答え $\cfrac{-x-12y}{10}\\\quad\left(-\cfrac{x+12y}{10},-\cfrac{1}{10}x-\cfrac{6}{5}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x+4y}{5}-\cfrac{x+4y}{2}\\ &=&\cfrac{2(2x+4y)-5(x+4y)}{10}\\ &=&\cfrac{4x+8y-5x-20y}{10}\\ &=&\cfrac{-x-12y}{10} \end{eqnarray*}⑦ $(x+3)(x-7)$
答え $x^2-4x-21$
⑧ $\left(x-\cfrac{1}{2}y\right)^2$
答え $x^2-xy+\cfrac{1}{4}y^2$
⑨ $\left(12a+\cfrac{3}{13}b\right)\left(12a-\cfrac{3}{13}b\right)$
答え $144a^2-\cfrac{9}{169}b^2$
⑩ $-(x-1)(2x-1)+2(x-1)^2$
答え $-x+1$
\begin{eqnarray*} &&-(x-1)(2x-1)+2(x-1)^2\\ &=&-(2x^2-x-2x+1)+2(x^2-2x+1)\\ &=&-(2x^2-3x+1)+2(x^2-2x+1)\\ &=&-2x^2+3x-1+2x^2-4x+2\\ &=&-x+1 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{\cfrac{1}{2}}-2\sqrt{5}\times\sqrt{10}$
答え $-\cfrac{19\sqrt{2}}{2}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{\cfrac{1}{2}}-2\sqrt{5}\times\sqrt{10}\\ &=&\cfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}-2\sqrt{50}\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}}{2}-10\sqrt{2}\\ &=&\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{20\sqrt{2}}{2}\\ &=&-\cfrac{19\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}⑫ $4\sqrt{42}\div20\sqrt{27}\div\left(-\cfrac{\sqrt{7}}{15\sqrt{6}}\right)$
答え $-2\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} &&4\sqrt{42}\div20\sqrt{27}\div\left(-\cfrac{\sqrt{7}}{15\sqrt{6}}\right)\\ &=&\cfrac{4\sqrt{42}}{1}\times\cfrac{1}{20\sqrt{27}}\times\left(-\cfrac{15\sqrt{6}}{\sqrt{7}}\right)\\ &=&-\cfrac{6}{\sqrt{3}}\\ &=&-\cfrac{6\sqrt{3}}{3}\\ &=&-2\sqrt{3} \end{eqnarray*}⑬ $\left(2\sqrt{3}-\cfrac{1}{2}\right)^2$
答え $\cfrac{49}{4}-2\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} &&\left(2\sqrt{3}-\cfrac{1}{2}\right)^2\\ &=&12-2\sqrt{3}+\cfrac{1}{4}\\ &=&\cfrac{48}{4}+\cfrac{1}{4}-2\sqrt{3}\\ &=&\cfrac{49}{4}-2\sqrt{3} \end{eqnarray*}① $36ab-54b$
答え $18b(2a-3)$
② $x^2-19x+60$
答え $(x-15)(x-4)$
③ $\cfrac{1}{9}x^2-\cfrac{4}{3}xy+4y^2$
答え $\left(\cfrac{1}{3}x-2y\right)^2$
④ $a^2-b^2$
答え $(a+b)(a-b)$
⑤ $(2x-1)^2+6(2x-1)+8$
答え $(2x+1)(2x+3)$
\begin{eqnarray*} &&(2x-1)^2+6(2x-1)+8\\ &&2x-1=Aとする\\ &=&A^2+6A+8\\ &=&(A+2)(A+4)\\ &=&(2x-1+2)(2x-1+4)\\ &=&(2x+1)(2x+3) \end{eqnarray*}① $-\cfrac{5x-3}{4}=\cfrac{1}{2}x+1$
答え $x=-\cfrac{1}{7}$
\begin{eqnarray*} -\cfrac{5x-3}{4}&=&\cfrac{1}{2}x+1\quad(\times4) \\ -5x+3&=&2x+4 \\ -5x-2x&=&4-3\\ -7x&=&1 \\ x&=&-\cfrac{1}{7} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 2x+5y=-1\\ 0.3x+0.2y=-1.8 \end{array}\right.$
答え $x=-8,y=3$
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} 2x+5y=-1\qquad…①\\ 0.3x+0.2y=-1.8\qquad…② \end{array} \right. \end{eqnarray*} $②\times10$ \begin{eqnarray*} 0.3x+0.2y&=&-1.8\quad(\times10)\\ 3x+2y&=&-18\qquad…③ \end{eqnarray*} $①\times3-③\times2$ \begin{eqnarray*} 6x+15y=-\phantom{3}3\\ \underline{-) \quad 6x+\phantom{1}4y=-36} \\ 11y=33\\ y=3\phantom{1} \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} y=3を①に代入\\ 2x+5\times3&=&-1\\ 2x+15&=&-1\\ 2x&=&-1-15\\ 2x&=&-16\\ x&=&-8 \\ \left\{ \begin{array}{l} x=-8\\ y=3 \end{array} \right. \end{eqnarray*}③ $x^2+8x+20=3x^2-22$
答え $x=7 ,\ x=-3$
\begin{eqnarray*} x^2+8x+20&=&3x^2-22\\ x^2+8x+20&-&3x^2+22=0\\ -2x^2+8x+42&=&0 \\ x^2-4x-21&=&0 \\ (x-7)(x+3)&=&0\\ x&=&7,\ x=-3 \end{eqnarray*}④ $24x^2-2=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{6}$
\begin{eqnarray*} 24x^2-2&=&0 \quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{2}\right)\\ 12x^2-1&=&0 \\ 12x^2&=&1\\ x^2&=&\cfrac{1}{12}\\ x&=&\pm\sqrt{\cfrac{1}{12}}=\pm\cfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}=\pm\cfrac{1}{2\sqrt{3}}=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{6} \end{eqnarray*}⑤ $\cfrac{3}{4}x^2=-2x$
答え $x=0 ,\ x=-\cfrac{8}{3}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{3}{4}x^2&=&-2x\quad(両辺に\times4)\\ 3x^2&=&-8x\\ 3x^2+8x&=&0\\ x(3x+8)&=&0\\ x&=&0 ,\ x=-\cfrac{8}{3} \end{eqnarray*}⑥ $27x^2+36x+12=0$
答え $x=-\cfrac{2}{3}$
\begin{eqnarray*} 27x^2+36x+12&=&0\quad\left(両辺に\times\cfrac{1}{3}\right)\\ 9x^2+12x+4&=&0\\ (3x+2)^2&=&0\\ x&=&-\cfrac{2}{3} \end{eqnarray*}⑦ $4(x+3)^2-16=0$
答え $x=-1, \ x=-5$
\begin{eqnarray*} 4(x+3)^2-16&=&0\\ 4(x+3)^2&=&16\\ (x+3)^2&=&4\\ x+3&=&\pm\sqrt{4}=\pm2\\ x&=&-3\pm2\\ x&=&-1, \ x=-5 \end{eqnarray*}⑧ $-4x^2-x+1=0$
答え $x=\cfrac{-1\pm\sqrt{17}}{8}$
\begin{eqnarray*} -4x^2&-&x+1=0\quad(両辺に\times-1)\\ 4x^2&+&x-1=0\\ x&=&\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times4\times(-1)}}{2\times4}\\ &=&\cfrac{-1\pm\sqrt{1+16}}{8}\\ &=&\cfrac{-1\pm\sqrt{17}}{8} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=-\cfrac{4}{5}x-2\quad[x]$
答え $x=\cfrac{-5y-10}{4}\\\left(x=-\cfrac{5y+10}{4},-\cfrac{5}{4}y-\cfrac{5}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&-\cfrac{4}{5}x-2\\ \cfrac{4}{5}x&=&-y-2\quad(両辺に\times5)\\ 4x&=&-5y-10\\ x&=&\cfrac{-5y-10}{4} \end{eqnarray*}$x=3\sqrt{5}+2, \ y=3\sqrt{5}-2$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2+2xy+y^2$
答え $180$
\begin{eqnarray*} &&x^2+2xy+y^2\\ &=&(x+y)^2\\ &=&(3\sqrt{5}+2+3\sqrt{5}-2)^2\\ &=&(6\sqrt{5})^2\\ &=&180 \end{eqnarray*} やり方が思いつかないときや自信がないときは、単に代入して計算すれば答えがでます \begin{eqnarray*} &&x^2+2xy+y^2\\ &=&(3\sqrt{5}+2)^2+2(3\sqrt{5}+2)(3\sqrt{5}-2)+(3\sqrt{5}-2)^2\\ &=&45+12\sqrt{5}+4+2(45-4)+45-12\sqrt{5}+4\\ &=&180 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-15$ のとき、$y=24$ である。$x=\cfrac{5}{4}$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-2$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{24}{-15}=-\cfrac{8}{5}\\ y=-\cfrac{8}{5}xに\ x=\cfrac{5}{4}\ を代入する\\ y=-\cfrac{8}{5}\times\cfrac{5}{4}=-2$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-10$ のとき、$y=6$ である。$x=12$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-5$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-10\times6=-60\\ y=-\cfrac{60}{x}\ に\ x=12\ を代入する\\ y=-\cfrac{60}{12}=-5$$⑤ $2$ 点 $(-8, \ 3), \ (4, \ 6)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=\cfrac{1}{4}x+5$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{6-3}{4-(-8)}=\cfrac{3}{12}=\cfrac{1}{4}\\ \end{eqnarray*} $y=\cfrac{1}{4}x+b$ に $x=4,\ y=6$ を代入 \begin{eqnarray*} 6&=&\cfrac{1}{4}\times4+b\\ 6-1&=&b\\ 5&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=9$ のとき、$y=-27$ である。$x=12$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-48$
$2$ 乗に比例する関数の式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{-27}{(9)^2}=\cfrac{-27}{81}=-\cfrac{1}{3}\\ y=-\cfrac{1}{3}x^2に\ x=12\ を代入する\\ y=-\cfrac{1}{3}\times12^2=-\cfrac{1}{3}\times144=-48$$⑦ 下の放物線が $2$ 点 $P, \ Q$ を通るとき、この放物線の式を求めなさい。また、点 $Q$ の座標を求めなさい。
答え 放物線…$y=-\cfrac{3}{4}x^2$
点 $Q$ の座標…$\left(-3, \ -\cfrac{27}{4}\right)$
放物線の式の形は $y=ax^2$
点 $P(2, \ -3)$ だから、 \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y}{x^2}\\ &=&\cfrac{-3}{(2)^2}=-\cfrac{3}{4}\\ \end{eqnarray*} ＜点 $Q$ の座標＞
$x$ 座標は $-3$ だとわかっているので、あとは $y$ 座標がわかればよい。
$y=-\cfrac{3}{4}x^2$ に $x=-3$ を代入
$ y=-\cfrac{3}{4}\times(-3)^2=-\cfrac{27}{4} $
⑧ 袋の中に赤玉が $4$ 個と白玉が $2$ 個はいっている。袋の中から玉を $2$ 個同時に取り出すとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めなさい。
答え $\cfrac{7}{15}$
①，②，③，④，⑤, ⑥ と、$6$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②と③と④が赤玉、⑤と⑥が白玉ということにします。①②③④⑤⑥という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を同時に取り出す」ときは、同じ玉を取り出せないので、表にナナメ線がはいります。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{7}{15}$$
⑨ 袋の中に赤玉が $4$ 個と白玉が $2$ 個はいっている。袋の中から玉を $1$ 個取り出してからそれを袋にもどし、また $1$ 個取り出す。このとき、取り出した玉の色が同じである確率を求めなさい。
答え $\cfrac{5}{9}$
①，②，③，④，⑤, ⑥ と、$6$ 個の玉に番号をつけてしまいます。そして、①と②と③と④が赤玉、⑤と⑥が白玉ということにします。①②③④⑤⑥という感じ。んで、樹形図をかいてもいけます。または、さいころの問題のときのような表をかいてもいいです。ここでは表でやることにすると、
「玉を $1$ 個取り出してからそれを袋にもどし、また $1$ 個取り出す」ときは、同じ玉を取り出せるので、表にナナメ線は入れません。〇をつけたところが問題にあうところで、 $$\cfrac{20}{36}=\cfrac{5}{9}$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-14②-48③-\cfrac{11}{18}④4x+8 ⑤-8x+6y\\ ⑥\cfrac{-x-12y}{10}\quad\left(-\cfrac{x+12y}{10},-\cfrac{1}{10}x-\cfrac{6}{5}yも可\right)\\ ⑦x^2-4x-21 ⑧x^2-xy+\cfrac{1}{4}y^2⑨144a^2-\cfrac{9}{169}b^2\\ ⑩-x+1 ⑪-\cfrac{19\sqrt{2}}{2}⑫-2\sqrt{3}⑬\cfrac{49}{4}-2\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①18b(2a-3)②(x-15)(x-4)\\ ③\left(\cfrac{1}{3}x-2y\right)^2④(a+b)(a-b) ⑤(2x+1)(2x+3)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{1}{7}②x=-8,y=3\\ ③x=7,x=-3④x=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{6}⑤x=0,x=-\cfrac{8}{3}\\ ⑥x=-\cfrac{2}{3}⑦x=-1,x=-5⑧x=\cfrac{-1\pm\sqrt{17}}{8}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{-5y-10}{4}\left(x=-\cfrac{5y+10}{4},-\cfrac{5}{4}y-\cfrac{5}{2}も可\right)\\ ②180③y=-2④y=-5 ⑤y=\cfrac{1}{4}x+5⑥y=-48\\ ⑦放物線…y=-\cfrac{3}{4}x^2，Ｑの座標\left(-3,-\cfrac{27}{4}\right)\\ ⑧\cfrac{7}{15}⑨\cfrac{5}{9} $