中3数学 冬休みの計算 第3回 全35問
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問題をクリックすると答えがでます。
① $6-9\div3$
答え $3$
\begin{eqnarray*} &&6-9\div3\\ &=&6-3\\ &=&3 \end{eqnarray*}② $\cfrac{3}{5}-2+\cfrac{1}{10}$
答え $-\cfrac{13}{10}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3}{5}-2+\cfrac{1}{10}\\ &=&\cfrac{6}{10}-\cfrac{20}{10}+\cfrac{1}{10}\\ &=&-\cfrac{13}{10} \end{eqnarray*}③ $(-2)^3\times(-1)^3$
答え $8$
\begin{eqnarray*} &&(-2)^3\times(-1)^3\\ &=&-8\times(-1)\\ &=&8 \end{eqnarray*}④ $(x-5)-(3x-1)$
答え $-2x-4$
\begin{eqnarray*} &&x-5-3x+1\\ &=&x-3x-5+1\\ &=&-2x-4 \end{eqnarray*}⑤ $(18a^2b+12ab^2)\div\cfrac{6}{5}ab$
答え $15a+10b$
\begin{eqnarray*} &&(18a^2b+12ab^2)\div\cfrac{6}{5}ab\\ &=&(18a^2b+12ab^2)\times\cfrac{5}{6ab}\\ &=&18a^2b\times\cfrac{5}{6ab}+12ab^2\times\cfrac{5}{6ab}\\ &=&15a+10b \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{2x+y}{3}-\cfrac{x-2y}{2}$
答え $\cfrac{x+8y}{6}\\\quad\left(\cfrac{1}{6}x+\cfrac{4}{3}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{2x+y}{3}-\cfrac{x-2y}{2}\\ &=&\cfrac{2(2x+y)-3(x-2y)}{6}\\ &=&\cfrac{4x+2y-3x+6y}{6}\\ &=&\cfrac{x+8y}{6} \end{eqnarray*}⑦ $-(x+9)(x-3)$
答え $-x^2-6x+27$
\begin{eqnarray*} &&-(x+9)(x-3)\\ &=&-(x^2+6x-27)\\ &=&-x^2-6x+27 \end{eqnarray*}⑧ $(2x-5)^2$
答え $4x^2-20x+25$
⑨ $\left(x+\cfrac{1}{4}y\right)\left(x-\cfrac{1}{4}y\right)$
答え $x^2-\cfrac{1}{16}y^2$
⑩ $\sqrt{18}-\cfrac{8}{\sqrt2}$
答え $-\sqrt2$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{18}-\cfrac{8}{\sqrt2}\\ &=&3\sqrt2-\cfrac{8\sqrt2}{2}\\ &=&3\sqrt2-4\sqrt2\\ &=&-\sqrt2 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{8}\div6\sqrt{10}\times\sqrt5$
答え $\cfrac{1}{3}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{8}\div6\sqrt{10}\times\sqrt5\\ &=&\cfrac{\sqrt{8}\times\sqrt5}{6\sqrt{10}}\\ &=&\cfrac{\sqrt4}{6}\\ &=&\cfrac{2}{6}\\ &=&\cfrac{1}{3} \end{eqnarray*}⑫ $\left(2\sqrt2-3\right)^2$
答え $17-12\sqrt2$
\begin{eqnarray*} &&\left(2\sqrt2-3\right)^2\\ &=&8-12\sqrt2+9\\ &=&17-12\sqrt2 \end{eqnarray*}① $3mnx-6mny$
答え $3mn(x-2y)$
② $x^2-10x+24$
答え $(x-6)(x-4)$
③ $x^2-8xy+16y^2$
答え $(x-4y)^2$
④ $\cfrac{1}{4}x^2-y^2$
答え $\left(\cfrac{1}{2}x+y\right)\left(\cfrac{1}{2}x-y\right)$
⑤ $ax^2-ay^2$
答え $a(x+y)(x-y)$
\begin{eqnarray*} &&ax^2-ay^2\\ &=&a(x^2-y^2)\\ &=&a(x+y)(x-y) \end{eqnarray*}① $\cfrac{1}{4}x-1=\cfrac{2}{3}x+\cfrac{7}{6}$
答え $x=-\cfrac{26}{5}$
\begin{eqnarray*} \cfrac{1}{4}x-1&=&\cfrac{2}{3}x+\cfrac{7}{6}\quad(\times12) \\ 3x-12&=&8x+14 \\ 3x-8x&=&14+12\\ -5x&=&26 \\ x&=&\cfrac{26}{-5}=-\cfrac{26}{5} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} x-\cfrac{1}{2}y=-\cfrac{1}{2}\\ 3(x+y)=y-5 \end{array}\right.$
③ $x^2-15x+54=0$
答え $x=9,\ x=6$
\begin{eqnarray*} x^2-15x+54&=&0 \\ (x-9)(x-6)&=&0\\ x&=&9,\ x=6 \end{eqnarray*}④ $12x^2-8=0$
答え $x=\pm\cfrac{\sqrt6}{3}$
\begin{eqnarray*} 12x^2-8&=&0 \\ 12x^2&=&8 \\ x^2&=&\cfrac{8}{12}=\cfrac{2}{3}\\ x&=&\pm \sqrt {\frac{\ 2\ }{\ 3\ }}=\pm \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\pm \cfrac{\sqrt6}{3} \end{eqnarray*}⑤ $2x^2=7x$
答え $x=0 ,\ x=\cfrac{7}{2}$
\begin{eqnarray*} 2x^2&=&7x \\ 2x^2-7x&=&0\\ x(2x-7)&=&0\\ x&=&0,\ x=\cfrac{7}{2} \end{eqnarray*}⑥ $x^2-2x-2=0$
答え $x=1\pm\sqrt{3}$
\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4\times1\times(-2)}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm\sqrt{12}}{2}\\ &=&\cfrac{2\pm2\sqrt{3}}{2}\\ &=&1\pm\sqrt{3} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=\cfrac{3}{4}x-6\quad[x]$
答え $x=\cfrac{4y+24}{3}\\\left(x=\cfrac{4}{3}y+8も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{3}{4}x-6\quad(左辺と右辺をとりかえる） \\ \cfrac{3}{4}x-6&=&y\quad(\times4) \\ 3x-24&=&4y\\ 3x&=&4y+24\\ x&=&\cfrac{4y+24}{3} \end{eqnarray*}$x=\sqrt3+2,\ y=\sqrt3-2$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-xy$
答え $8+4\sqrt3$
\begin{eqnarray*} &&x^2-xy\\ &=&(\sqrt3+2)^2-(\sqrt3+2)(\sqrt3-2)\\ &=&3+4\sqrt3+4-(3-4)\\ &=&8+4\sqrt3 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=-4$ のとき、$y=8$ である。$x=5$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-10$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{8}{-4}=-2\\ y=-2x\ に\ x=5 を代入する\\ y=-2\times5=-10$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=3$ のとき、$y=9$ である。$x=-6$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-\cfrac{9}{2}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=3\times9=27\\ y=\cfrac{27}{x}\ に\ x=-6\ を代入する\\ y=\cfrac{27}{-6}=-\cfrac{9}{2}$$⑤ $2$ 点 $(-5,\ 1),\ (-3,\ -3)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-2x-9$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-3-1}{-3-(-5)}=\cfrac{-4}{2}=-2\\ \end{eqnarray*} $y=-2x+b$ に $x=-5,\ y=1$ を代入 \begin{eqnarray*} 1&=&-2\times(-5)+b\\ 1&=&10+b\\ -9&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=-4$ のとき、$y=8$ である。$x=5$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{25}{2}$
$2$ 乗に比例する式の形は $y=ax^2$ $$a=\cfrac{y}{x^2}=\cfrac{8}{(-4)^2}=\cfrac{8}{16}=\cfrac{1}{2}\\ y=\cfrac{1}{2}x^2\ に\ x=5 を代入する\\ y=\cfrac{1}{2}\times5^2=\cfrac{25}{2}$$⑦ $6$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$6$ 点、$4$ 点、$3$ 点、$7$ 点、$10$ 点、$4$ 点だった。このときの中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $5\ 点$
得点を低い順にならべると、$$3,\ 4,\ 4,\ 6,\ 7,\ 10$$ $6$ 人の中央値（メジアン）は $3$ 番目と $4$ 番目の平均だから、 $$(4+6)\div2=5$$
⑧ $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の差が $2$ 以下になる確率を求めなさい。
$①$ $a$ の値を求めなさい。
答え
$a=-\cfrac{1}{2}$
$y=ax^2$ が、 $\left(-3 , -\cfrac{9}{2}\right)$ を通っているのですから、
$y=ax^2$ に $x=-3, \ y=-\cfrac{9}{2}$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
-\cfrac{9}{2}&=&a\times(-3)^2\\
-\cfrac{9}{2}&=&9a\\
a&=&-\cfrac{9}{2}\times\cfrac{1}{9}=-\cfrac{1}{2}
\end{eqnarray*}
$②$ 点 $B$ の座標を求めなさい。
答え
$(4, \ -8)$
2つの線の交点の座標は連立方程式の解です。放物線と直線についてもおなじこと。直線の式は $y=-\cfrac{1}{2}x-6$ だと問題にかいてあります。放物線の式は、①の問題で求めたように、$y=-\cfrac{1}{2}x^2$ です。なので、
\begin{eqnarray*}
\left\{
\begin{array}{l}
y=-\cfrac{1}{2}x-6\\
y=-\cfrac{1}{2}x^2
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}
を解けばいいです。代入法で、（右辺）＝（右辺）という式をたてて解いていきましょう。2次方程式になります。そして、解は2つでてきます。なぜならグラフが2か所で交わっているからです。
\begin{eqnarray*}
-\cfrac{1}{2}x^2&=&-\cfrac{1}{2}x-6\quad両辺に\times(-2)\\
x^2&=&x+12\\
x^2-x-12&=&0\\
(x-4)(x+3)&=&0\\
x&=&4,\quad x=-3
\end{eqnarray*}
こんなふうに2つの $x$ が求められました。点 $A$ の $x$ 座標は $x=-3$ ですから、点 $B$ の $x$ 座標は $x=4$ のほうです。こんどは $B$ の $y$ 座標をだしていきましょう。使う式は $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ と $y=-\cfrac{1}{2}x-6$ のどっちでもいいです。どっちを使っても同じ答えになります。なので計算がラクな $y=-\cfrac{1}{2}x^2$ を使いましょう。
$x=4$ のとき
$$y=-\cfrac{1}{2}×4^2=-8$$
こうして、$x=4$ のとき $y=-8$ というふうに、$x$ と $y$ の組が求められました。
$③$ $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。
答え
$21$
$\triangle OAB$ の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。
直線の $y$ 切片は $-6$ ですから、緑の長さは $6$ です。赤の長さは、$2$ 点 $A, \ B$ の $x$ 座標をみればよいです。なので、
$$7×6×\cfrac{1}{2}=21$$
$④$ 点 $A$ を通り、$\triangle OAB$ の面積を $2$ 等分する直線の式を求めなさい。
答え
$y=\cfrac{1}{10}x-\cfrac{21}{5}$
＜中線＞
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
なので、$OB$ の中点を求めて、そこと点 $A$ を通る直線の式を答えればよいです。
＜中点＞
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。
原点の座標は $(0, \ 0),$ 点 $B$ の座標は $(4, \ -8)$ です。なのでその中点を $M$ とすると、その座標は、
\begin{eqnarray*}
&&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{0+4}{2}, \ \cfrac{0-8}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{4}{2}, \ \cfrac{-8}{2}\right)\\
&=&(2, \ -4)\\
\end{eqnarray*}
というわけで中点 $M$ の座標は $(2, \ -4)$ です。
では答えをだしていきましょう。点 $A\left(-3, \ -\cfrac{9}{2}\right)$ と点 $M(2, \ -4)$ を通る直線の式を求めればよいです。
直線の方程式は、式の形は $y=ax+b$ で、$a$ と $b$ を求めるのが目標です。
\begin{eqnarray*}
a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=&\cfrac{-4-\left(-\cfrac{9}{2}\right)}{2-(-3)}\\
&=&\cfrac{-\cfrac{8}{2}+\cfrac{9}{2}}{2+3}\\
&=&\cfrac{\cfrac{1}{2}}{5}\\
&=&\cfrac{1}{2}\times\cfrac{1}{5}\\
&=&\cfrac{1}{10}
\end{eqnarray*}
$y=\cfrac{1}{10}x+b$ に $x=2,\ y=-4$ を代入
\begin{eqnarray*}
-4&=&\cfrac{1}{10}\times2+b\\
-4&=&\cfrac{1}{5}+b\\
-4-\cfrac{1}{5}&=&b\\
-\cfrac{20}{5}-\cfrac{1}{5}&=&b\\
-\cfrac{21}{5}&=&b
\end{eqnarray*}
これで $a$ と $b$ がわかりました。では答えです。
$$y=\cfrac{1}{10}x-\cfrac{21}{5}$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①3②-\cfrac{13}{10}③8④-2x-4\\ ⑤15a+10b⑥\cfrac{x+8y}{6}⑦-x^2-6x+27\\ ⑧4x^2-20x+25⑨x^2-\cfrac{1}{16}y^2\\ ⑩-\sqrt{2}⑪\cfrac{1}{3}⑫17-12\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①3mn(x-2y)②(x-6)(x-4)\\ ③(x-4y)^2④(\cfrac{1}{2}x+y)(\cfrac{1}{2}x-y)\\ ⑤a(x+y)(x-y)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=-\cfrac{26}{5}②x=-1,y=-1\\ ③x=9,6④x=\pm\cfrac{\sqrt{6}}{3}⑤x=0,\cfrac{7}{2}\\ ⑥x=1\pm\sqrt{3}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{4y+24}{3}②8+4\sqrt{3}③y=-10\\ ④y=-\cfrac{9}{2}⑤y=-2x-9⑥y=\cfrac{25}{2}\\ ⑦5点⑧\cfrac{2}{3}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①a=-\cfrac{1}{2}②(4, \ -8)③21\\ ④y=\cfrac{1}{10}x-\cfrac{21}{5} $