中3数学 冬休みの計算 第2回 全35問
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$ \boxed{\phantom{ho}}$←ここに四角形が表示されていたら準備OKです。
問題をクリックすると答えがでます。
① $10-6\times3$
答え $-8$
\begin{eqnarray*} &&10-6\times3\\ &=&10-18\\ &=&-8 \end{eqnarray*}② $\cfrac{3}{8}-1+\cfrac{1}{6}$
答え $-\cfrac{11}{24}$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{3}{8}-1+\cfrac{1}{6}\\ &=&\cfrac{9}{24}-\cfrac{24}{24}+\cfrac{4}{24}\\ &=&-\cfrac{11}{24} \end{eqnarray*}③ $(-1)^3\times(-4)^2$
答え $-16$
\begin{eqnarray*} &&(-1)^3\times(-4)^2\\ &=&-1\times16\\ &=&-16 \end{eqnarray*}④ $(3x-8)-2(2x-3)$
答え $-x-2$
\begin{eqnarray*} &&3x-8-4x+6\\ &=&3x-4x-8+6\\ &=&-x-2 \end{eqnarray*}⑤ $(10a^2b+25ab^2)\div\cfrac{5}{3}ab$
答え $6a+15b$
\begin{eqnarray*} &&(10a^2b+25ab^2)\div\cfrac{5}{3}ab\\ &=&(10a^2b+25ab^2)\times\cfrac{3}{5ab}\\ &=&10a^2b\times\cfrac{3}{5ab}+25ab^2\times\cfrac{3}{5ab}\\ &=&6a+15b \end{eqnarray*}⑥ $\cfrac{x-3y}{2}-\cfrac{5x-7y}{9}$
答え $\cfrac{-x-13y}{18}\\\quad\left(-\cfrac{x+13y}{18},\ -\cfrac{1}{18}x-\cfrac{3}{18}yも可\right)$
\begin{eqnarray*} &&\cfrac{x-3y}{2}-\cfrac{5x-7y}{9}\\ &=&\cfrac{9(x-3y)-2(5x-7y)}{18}\\ &=&\cfrac{9x-27y-10x+14y}{18}\\ &=&\cfrac{-x-13y}{18} \end{eqnarray*}⑦ $2(x+3)(x-6)$
答え $2x^2-6x-36$
\begin{eqnarray*} &&2(x+3)(x-6)\\ &=&2(x^2-3x-18)\\ &=&2x^2-6x-36 \end{eqnarray*}⑧ $(4x-5y)^2$
答え $16x^2-40xy+25y^2$
⑨ $\left(\cfrac{1}{3}x+2y\right)\left(\cfrac{1}{3}x-2y\right)$
答え $\cfrac{1}{9}x^2-4y^2$
⑩ $\sqrt{216}-\cfrac{8\sqrt3}{\sqrt2}$
答え $2\sqrt6$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{216}-\cfrac{8\sqrt3}{\sqrt2}\\ &=&6\sqrt6-\cfrac{8\sqrt6}{2}\\ &=&6\sqrt6-4\sqrt6\\ &=&2\sqrt6 \end{eqnarray*}⑪ $\sqrt{12}\div6\sqrt3\times\sqrt2$
答え $\cfrac{\sqrt2}{3}$
\begin{eqnarray*} &&\sqrt{12}\div6\sqrt3\times\sqrt2\\ &=&\cfrac{\sqrt{12}\times\sqrt2}{6\sqrt3}\\ &=&\cfrac{\sqrt8}{6}\\ &=&\cfrac{2\sqrt2}{6}\\ &=&\cfrac{\sqrt2}{3} \end{eqnarray*}⑫ $\left(3\sqrt2-2\right)^2$
答え $22-12\sqrt2$
\begin{eqnarray*} &&\left(3\sqrt2-2\right)^2\\ &=&18-12\sqrt2+4\\ &=&22-12\sqrt2 \end{eqnarray*}① $10x^2-15x$
答え $5x(2x-3)$
② $x^2-4x-45$
答え $(x-9)(x+5)$
③ $9x^2-6xy+y^2$
答え $(3x-y)^2$
④ $x^2-y^2$
答え $(x+y)(x-y)$
⑤ $3x^2-15x-18$
答え $3(x+1)(x-6)$
\begin{eqnarray*} &&3x^2-15x-18\\ &=&3(x^2-5x-6)\\ &=&3(x+1)(x-6) \end{eqnarray*}① $3x-1=\cfrac{5}{3}x+\cfrac{7}{2}$
答え $x=\cfrac{27}{8}$
\begin{eqnarray*} 3x-1&=&\cfrac{5}{3}x+\cfrac{7}{2}\quad(\times6) \\ 18x-6&=&10x+21 \\ 18x-10x&=&21+6\\ 8x&=&27 \\ x&=&\cfrac{27}{8} \end{eqnarray*}② $\left\{\begin{array}{l} 6x-7y=27\\ 3(x+y)=5y \end{array}\right.$
③ $x^2-12x+27=0$
答え $x=9,\ x=3$
\begin{eqnarray*} x^2-12x+27&=&0 \\ (x-9)(x-3)&=&0\\ x&=&9,\ x=3 \end{eqnarray*}④ $32x^2=50$
答え $x=\pm\cfrac{5}{4}$
\begin{eqnarray*} 32x^2&=&50 \\ x^2&=&\cfrac{50}{32}=\cfrac{25}{16}\\ x&=&\pm \sqrt {\frac{\ 25\ }{\ 16\ }}=\pm \cfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\pm \cfrac{5}{4} \end{eqnarray*}⑤ $x^2=5x$
答え $x=0 ,\ x=5$
\begin{eqnarray*} x^2&=&5x \\ x^2-5x&=&0\\ x(x-5)&=&0\\ x&=&0,\ x=5 \end{eqnarray*}⑥ $2x^2-3x-3=0$
答え $x=\cfrac{3\pm\sqrt{33}}{4}$
\begin{eqnarray*} x&=&\cfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\times2\times(-3)}}{2\times2}\\ &=&\cfrac{3\pm\sqrt{9+24}}{4}\\ &=&\cfrac{3\pm\sqrt{33}}{4} \end{eqnarray*}次の式を$[\phantom{x}]$内の文字について解きなさい。
①
$y=\cfrac{2}{3}x+1\quad[x]$
答え $x=\cfrac{3y-3}{2}\\\left(\cfrac{3}{2}y-\cfrac{3}{2}も可\right)$
\begin{eqnarray*} y&=&\cfrac{2}{3}x+1\quad(左辺と右辺をとりかえる） \\ \cfrac{2}{3}x+1&=&y\quad(\times3) \\ 2x+3&=&3y\\ 2x&=&3y-3\\ x&=&\cfrac{3y-3}{2} \end{eqnarray*}$x=\sqrt3-2$ のとき、次の式の値を求めなさい。
②
$x^2-4x$
答え $15-8\sqrt3$
\begin{eqnarray*} &&x^2-4x\\ &=&(\sqrt3-2)^2-4(\sqrt3-2)\\ &=&3-4\sqrt3+4-4\sqrt3+8\\ &=&15-8\sqrt3 \end{eqnarray*}③ $y$ が $x$ に比例し、$x=6$ のとき、$y=-3$ である。$x=-4$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=2$
比例の式の形は $y=ax$ $$a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{-3}{6}=-\cfrac{1}{2}\\ y=-\cfrac{1}{2}x\ に\ x=-4 を代入する\\ y=-\cfrac{1}{2}\times(-4)=2$$④ $y$ が $x$ に反比例し、$x=-\cfrac{1}{15}$ のとき、$y=45$ である。$x=-12$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=\cfrac{1}{4}$
反比例の式の形は $y=\cfrac{a}{x}$ $$a=x \times y=-\cfrac{1}{15}\times45=-3\\ y=-\cfrac{3}{x}\ に\ x=-12\ を代入する\\ y=-\cfrac{3}{-12}=\cfrac{1}{4}$$⑤ $2$ 点 $(-2,\ 1),\ (1,\ -2)$ を通る直線の式を求めなさい。
答え $y=-x-1$
直線の式の形は $y=ax+b$ \begin{eqnarray*} a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\ &=&\cfrac{-2-1}{1-(-2)}=\cfrac{-3}{3}=-1\\ \end{eqnarray*} $y=-x+b$ に $x=-2,\ y=1$ を代入 \begin{eqnarray*} 1&=&-1\times(-2)+b\\ 1&=&2+b\\ -1&=&b \end{eqnarray*}⑥ $y$ が $x$ の $2$ 乗に比例し、$x=\cfrac{1}{2}$ のとき、$y=-\cfrac{1}{3}$ である。$x=-3$ のときの $y$ の値を求めなさい。
答え $y=-12$
$2$ 乗に比例する式の形は $y=ax^2$ \begin{eqnarray*} -\cfrac{1}{3}&=&a\times\left(\cfrac{1}{2}\right)^2\\ -\cfrac{1}{3}&=&\cfrac{1}{4}a\quad両辺に\times4\\ -\cfrac{4}{3}&=&a \end{eqnarray*} $$y=-\cfrac{4}{3}x^2\ に\ x=-3 を代入する\\ y=-\cfrac{4}{3}\times(-3)^2=-\cfrac{4}{3}\times9=-12$$⑦ $6$ 人の生徒があるテストを受けた。得点はそれぞれ、$81$ 点、$45$ 点、$35$ 点、$90$ 点、$67$ 点、$83$ 点だった。このときの中央値（メジアン）を求めなさい。
答え $74\ 点$
得点を低い順にならべると、$$35,\ 45,\ 67,\ 81,\ 83,\ 90$$ $6$ 人の中央値（メジアン）は $3$ 番目と $4$ 番目の平均だから、 $$(67+81)\div2=74$$
⑧ $2$ 個のサイコロを同時に投げるとき、出る目の積が $10$ 以上になる確率を求めなさい。
$①$ $2$ 点 $A, \ B$ の座標をそれぞれ求めなさい。
答え
$A(-3, \ 9)\quad B(1, \ 1)$
$2$ 点とも、関数$y=x^2$ のグラフ上にあるのですから、この式を利用して、$x=-3$ のときの $y$ の値と、$x=1$ のときの $y$ の値をそれぞれ求めていけばよいです。
まず、$x=-3$ のとき
$y=x^2$ に $x=-3$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
y&=&(-3)^2=9
\end{eqnarray*}
次に、
$x=1$ のとき
$y=x^2$ に $x=1$ を代入して、
\begin{eqnarray*}
y&=&1^2=1
\end{eqnarray*}
これで、$x=-3$ のとき $y=9, \ x=1$ のとき $y=1$ というふに、$x$ と $y$ の $2$ つの組が求められました。
$②$ 直線 $l$ の式を求めなさい。
答え
$y=-2x+3$
$2$ 点 $(-3, \ 9), \ (1, \ 1)$ を通る直線の式を求めればよいです。
直線の式の形は $y=ax+b$
\begin{eqnarray*}
a&=&\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=&\cfrac{1-9}{1-(-3)}=\cfrac{-8}{4}=-2\\
\end{eqnarray*}
$y=-2x+b$ に $x=1,\ y=1$ を代入
\begin{eqnarray*}
1&=&-2\times1+b\\
1&=&-2+b\\
1+2&=&b\\
3&=&b\\
\end{eqnarray*}
$③$ $\triangle OAB$ の面積を求めなさい。
答え
$6$
$\triangle OAB$ の面積は、赤 $\times$ 緑 $\times\cfrac{1}{2}$ です。
直線 $l$ の $y$ 切片は $3$ です。赤の長さは、$2$ 点 $A, \ B$ の $x$ 座標をみればよいです。なので、
$$4×3×\cfrac{1}{2}=6$$
$④$ 原点を通り、$\triangle OAB$ の面積を $2$ 等分する直線の式を求めなさい。
答え
$y=-5x$
＜中線＞
三角形の $1$ つの頂点から、むかいあう辺の中点を通るようにひいた線を中線といいます。三角形の中線は、その三角形の面積を二等分します。
なので、$AB$ の中点を求めて、そこと原点を通る直線の式を答えればよいです。
＜中点＞
中点の座標は、「足して $2$ で割る」です。$x$ 座標と $y$ 座標のそれぞれを足して $2$ で割ればよいです。
点 $A$ の座標は $(-3, \ 9),$ 点 $B$ の座標は $(1, \ 1)$ です。なのでその中点を $M$ とすると、その座標は、
\begin{eqnarray*}
&&\left(\cfrac{x+x}{2}, \ \cfrac{y+y}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{-3+1}{2}, \ \cfrac{9+1}{2}\right)\\
&=&\left(\cfrac{-2}{2}, \ \cfrac{10}{2}\right)\\
&=&(-1, \ 5)\\
\end{eqnarray*}
というわけで中点 $M$ の座標は $(-1, \ 5)$ です。
では答えをだしていきましょう。原点と点 $M \ (-1, \ 5)$ を通る直線の式を求めればよいです。原点を通る直線なのですから、比例の式をいえばよくて、答えの形は $y=ax$ です。
\begin{eqnarray*}
a=\cfrac{y}{x}=\cfrac{5}{-1}=-5
\end{eqnarray*}
これで $a$ がわかりました。では答えです。
$$y=-5x$$
答え
$\boxed{\large{\ 1\ }}①-8②-\cfrac{11}{24}③-16④-x-2\\ ⑤6a+15b⑥\cfrac{-x-13y}{18}⑦2x^2-6x-36\\ ⑧16x^2-40xy+25y^2⑨\cfrac{1}{9}x^2-4y^2\\ ⑩2\sqrt{6}⑪\cfrac{\sqrt{2}}{3}⑫22-12\sqrt{2}\\ \boxed{\large{\ 2\ }}①5x(2x-3)②(x-9)(x+5)\\ ③(3x-y)^2④(x+y)(x-y)\\ ⑤3(x+1)(x-6)\\ \boxed{\large{\ 3\ }}①x=\cfrac{27}{8}②x=-6,y=-9\\ ③x=9,3④x=\pm\cfrac{5}{4}⑤x=0,5\\ ⑥x=\cfrac{3\pm\sqrt{33}}{4}\\ \boxed{\large{\ 4\ }}①x=\cfrac{3y-3}{2}②15-8\sqrt{3}③y=2\\ ④y=\cfrac{1}{4}⑤y=-x-1⑥y=-12⑦74点⑧\cfrac{19}{36}\\ \boxed{\large{\ 5\ }}①A(-3, \ 9)\quad B(1, \ 1)②y=-2x+3\\③6④y=-5x $